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Theorem pgpfac1lem2 16588
Description: Lemma for pgpfac1 16593. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
pgpfac1.ss  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
pgpfac1.2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w )
)
pgpfac1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
pgpfac1.mg  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
Distinct variable groups:    w, A    w, 
.(+)    w, P    w, G    w, U    w, C    w, S    w, W    ph, w    w,  .x.    w, K
Allowed substitution hints:    B( w)    E( w)    O( w)    .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables  k 
s  t  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
21eldifbd 3353 . 2  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W )
)
31eldifad 3352 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  U )
5 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
7 pgpprm 16104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P pGrp 
G  ->  P  e.  Prime )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmz 13779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
11 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1211subgmulgcl 15706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  P  e.  ZZ  /\  C  e.  U )  ->  ( P  .x.  C )  e.  U )
135, 10, 3, 12syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  U )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  U
)
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )
1614, 15eldifd 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  ( U  \  ( S 
.(+)  W ) ) )
17 pgpfac1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
18 pgpfac1.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( K `  { A } )
19 pgpfac1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
20 pgpfac1.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
21 pgpfac1.e . . . . . . . 8  |-  E  =  (gEx `  G )
22 pgpfac1.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
23 pgpfac1.l . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
24 pgpfac1.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
25 pgpfac1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
26 pgpfac1.oe . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
27 pgpfac1.au . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
28 pgpfac1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
29 pgpfac1.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
30 pgpfac1.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
31 pgpfac1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w )
)
3217, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31pgpfac1lem1 16587 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  .x.  C )  e.  ( U  \  ( S 
.(+)  W ) ) )  ->  ( ( S 
.(+)  W )  .(+)  ( K `
 { ( P 
.x.  C ) } ) )  =  U )
3316, 32syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  =  U )
344, 33eleqtrrd 2520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) ) )
3534ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) ) ) )
36 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
37 ablgrp 16294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3824, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
3919subgacs 15728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS `  B )
)
4140acsmred 14606 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4219subgss 15694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
435, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
4443, 27sseldd 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
4517mrcsncl 14562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
4641, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
4718, 46syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
4823lsmsubg2 16353 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
4924, 47, 28, 48syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
5043, 13sseldd 3369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  B )
5117mrcsncl 14562 . . . . . . 7  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  ( P  .x.  C
)  e.  B )  ->  ( K `  { ( P  .x.  C ) } )  e.  (SubGrp `  G
) )
5241, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  {
( P  .x.  C
) } )  e.  (SubGrp `  G )
)
5336, 23, 49, 52lsmelvalm 16162 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. t  e.  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) C  =  ( s ( -g `  G
) t ) ) )
54 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  |->  ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
5519, 11, 54, 17cycsubg2 15730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P  .x.  C )  e.  B )  -> 
( K `  {
( P  .x.  C
) } )  =  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
5638, 50, 55syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K `  {
( P  .x.  C
) } )  =  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
5756rexeqdv 2936 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( K `  {
( P  .x.  C
) } ) C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  E. t  e.  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t ) ) )
58 ovex 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) )  e. 
_V
5958rgenw 2795 . . . . . . . 8  |-  A. k  e.  ZZ  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  _V
60 oveq2 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  ->  ( s
( -g `  G ) t )  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
6160eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  ->  ( C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6254, 61rexrnmpt 5865 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e. 
_V  ->  ( E. t  e.  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6359, 62mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e. 
ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6457, 63bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( K `  {
( P  .x.  C
) } ) C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6564rexbidv 2748 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. t  e.  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
66 rexcom 2894 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
6738ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  G  e.  Grp )
6830, 43sstrd 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  B )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S 
.(+)  W )  C_  B
)
7069sselda 3368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  s  e.  B )
71 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  k  e.  ZZ )
7250ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  B
)
7319, 11mulgcl 15656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  k  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  C )  e.  B )  ->  (
k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  B )
7467, 71, 72, 73syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( k  .x.  ( P  .x.  C
) )  e.  B
)
7543, 3sseldd 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  B )
77 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
7819, 77, 36grpsubadd 15625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( s  e.  B  /\  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  B  /\  C  e.  B ) )  -> 
( ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <->  ( C
( +g  `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
7967, 70, 74, 76, 78syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <-> 
( C ( +g  `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
80 1zzd 10689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  1  e.  ZZ )
8110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  P  e.  ZZ )
8271, 81zmulcld 10765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( k  x.  P )  e.  ZZ )
8319, 11, 77mulgdir 15664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ  /\  C  e.  B )
)  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( ( 1  .x. 
C ) ( +g  `  G ) ( ( k  x.  P ) 
.x.  C ) ) )
8467, 80, 82, 76, 83syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( ( 1  .x. 
C ) ( +g  `  G ) ( ( k  x.  P ) 
.x.  C ) ) )
8519, 11mulg1 15646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  B  ->  (
1  .x.  C )  =  C )
8676, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( 1 
.x.  C )  =  C )
8719, 11mulgass 15669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  C  e.  B )
)  ->  ( (
k  x.  P ) 
.x.  C )  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
8867, 71, 81, 76, 87syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
k  x.  P ) 
.x.  C )  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
8986, 88oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  .x.  C )
( +g  `  G ) ( ( k  x.  P )  .x.  C
) )  =  ( C ( +g  `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
9084, 89eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( C ( +g  `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
9190eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  =  s  <->  ( C
( +g  `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
9279, 91bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <-> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  =  s ) )
93 eqcom 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C )
94 eqcom 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  <->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  s )
9592, 93, 943bitr4g 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) ) )
9695rexbidva 2744 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) ) )
97 risset 2775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W )
s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )
9896, 97syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  <-> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
9998rexbidva 2744 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
10066, 99syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10153, 65, 1003bitrd 279 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10235, 101sylibd 214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10338adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  G  e. 
Grp )
10475adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  B )
105 1z 10688 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
106 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  ZZ )
107 zmulcl 10705 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  P
)  e.  ZZ )
108106, 10, 107syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  P )  e.  ZZ )
109 zaddcl 10697 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  ( k  x.  P
) )  e.  ZZ )
110105, 108, 109sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ )
11119, 20odcl 16051 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  B  ->  ( O `  C )  e.  NN0 )
112104, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  e. 
NN0 )
113112nn0zd 10757 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  e.  ZZ )
114 hashcl 12138 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
11525, 114syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
116115nn0zd 10757 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
117116adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( # `  B )  e.  ZZ )
118 gcdcom 13716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  gcd  ( # `
 B ) )  =  ( ( # `  B )  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
119110, 117, 118syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  B
)  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
12019pgphash 16118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P pGrp  G  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
1216, 25, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  B )
) ) )
122121adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( # `  B )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  B
) ) ) )
123122oveq1d 6118 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( (
# `  B )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
124 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
12510adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  P  e.  ZZ )
126 1zzd 10689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
127 gcdaddm 13725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  ( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
128124, 125, 126, 127syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  ( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
129 gcd1 13728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  gcd  1 )  =  1 )
130125, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  1 )
131128, 130eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P
) ) )  =  1 )
13219grpbn0 15579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
13338, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
134 hashnncl 12146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
13525, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
136133, 135mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
1378, 136pccld 13929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 B ) )  e.  NN0 )
138137adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P 
pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
139 rpexp1i 13819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  ( # `  B ) )  e. 
NN0 )  ->  (
( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 ) )
140125, 110, 138, 139syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 ) )
141131, 140mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 )
142119, 123, 1413eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  1 )
14319, 20oddvds2 16079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( O `  C )  ||  ( # `  B
) )
14438, 25, 75, 143syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  C
)  ||  ( # `  B
) )
145144adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  ||  ( # `  B ) )
146 rpdvds 13822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  e.  ZZ  /\  ( O `  C
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  1  /\  ( O `  C )  ||  ( # `
 B ) ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C ) )  =  1 )
147110, 113, 117, 142, 145, 146syl32anc 1226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C ) )  =  1 )
14819, 20, 11odbezout 16071 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  B  /\  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C
) )  =  1 )  ->  E. a  e.  ZZ  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  =  C )
149103, 104, 110, 147, 148syl31anc 1221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  =  C )
15049ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G )
)
151 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
15211subgmulgcl 15706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ  /\  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
1531523expia 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
154150, 151, 153syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W )  ->  (
a  .x.  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
155 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  e.  ( S 
.(+)  W )  <->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
156155imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  e.  ( S 
.(+)  W ) )  <->  ( (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) ) )
157154, 156syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  =  C  -> 
( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) ) )
158157rexlimdva 2853 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  .x.  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) ) )
159149, 158mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
160159rexlimdva 2853 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
161102, 160syld 44 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W )
) )
1622, 161mt3d 125 1  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    i^i cin 3339    C_ wss 3340    C. wpss 3341   (/)c0 3649   {csn 3889   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   ran crn 4853   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Fincfn 7322   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299   NNcn 10334   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ^cexp 11877   #chash 12115    || cdivides 13547    gcd cgcd 13702   Primecprime 13775    pCnt cpc 13915   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   0gc0g 14390  Moorecmre 14532  mrClscmrc 14533  ACScacs 14535   Grpcgrp 15422   -gcsg 15425  .gcmg 15426  SubGrpcsubg 15687   odcod 16040  gExcgex 16041   pGrp cpgp 16042   LSSumclsm 16145   Abelcabel 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-omul 6937  df-er 7113  df-ec 7115  df-qs 7119  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-acn 8124  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-bc 12091  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-pc 13916  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-eqg 15692  df-ga 15820  df-cntz 15847  df-od 16044  df-pgp 16046  df-lsm 16147  df-cmn 16291  df-abl 16292
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  16591
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