MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1 Structured version   Unicode version

Theorem pgpfac1 17656
Description: Factorization of a finite abelian p-group. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order where one of the factors is cyclic and generated by an element of maximal order. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.ab  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  B ) )
Distinct variable groups:    t,  .0.    t, A    t,  .(+)    t, P   
t, B    t, G    t, S    ph, t    t, K
Allowed substitution hints:    E( t)    O( t)

Proof of Theorem pgpfac1
Dummy variables  s  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 17378 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3 pgpfac1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
43subgid 16762 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
51, 2, 43syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pgpfac1.ab . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
7 pgpfac1.n . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
8 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  u  e.  (SubGrp `  G ) ) )
9 eleq2 2495 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  ( A  e.  s  <->  A  e.  u ) )
108, 9anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( s  =  u  ->  (
( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  <->  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
) ) )
11 eqeq2 2439 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  u  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
t )  =  u ) )
1211anbi2d 708 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  u ) ) )
1312rexbidv 2878 . . . . . 6  |-  ( s  =  u  ->  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) )
1410, 13imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( s  =  u  ->  (
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( (
u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
1514imbi2d 317 . . . 4  |-  ( s  =  u  ->  (
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) ) )
16 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  B  e.  (SubGrp `  G ) ) )
17 eleq2 2495 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  ( A  e.  s  <->  A  e.  B ) )
1816, 17anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  <->  ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  B
) ) )
19 eqeq2 2439 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
t )  =  B ) )
2019anbi2d 708 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  B ) ) )
2120rexbidv 2878 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) )
2218, 21imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  B )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) ) )
2322imbi2d 317 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  (
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  B )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) ) ) )
24 bi2.04 362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  C.  u  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( s  C.  u  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
25 impexp 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )
2625imbi2i 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  C.  u  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( s  C.  u  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
27 impexp 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( s  C.  u  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )
2827imbi2i 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
s  C.  u  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
2924, 26, 283bitr4i 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  C.  u  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )
3029imbi2i 313 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  ( s  C.  u  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
31 bi2.04 362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  C.  u  ->  (
ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( s  C.  u  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
32 bi2.04 362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( ph  ->  ( ( s 
C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
3330, 31, 323bitr4i 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C.  u  ->  (
ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( ph  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
3433albii 1685 . . . . . . 7  |-  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  A. s ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( ph  ->  ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
35 df-ral 2719 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  (SubGrp `  G
) ( ph  ->  ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <->  A. s ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( ph  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
36 r19.21v 2770 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  (SubGrp `  G
) ( ph  ->  ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )
3734, 35, 363bitr2i 276 . . . . . 6  |-  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )
38 psseq1 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
x  C.  u  <->  s  C.  u
) )
39 eleq2 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  s ) )
4038, 39anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  C.  u  /\  A  e.  x
)  <->  ( s  C.  u  /\  A  e.  s ) ) )
41 ineq2 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  ( S  i^i  y )  =  ( S  i^i  t
) )
4241eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
( S  i^i  y
)  =  {  .0.  }  <-> 
( S  i^i  t
)  =  {  .0.  } ) )
43 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  ( S  .(+)  y )  =  ( S  .(+)  t ) )
4443eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
( S  .(+)  y )  =  x  <->  ( S  .(+) 
t )  =  x ) )
4542, 44anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  x ) ) )
4645cbvrexv 2997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  y )  =  x )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  x ) )
47 eqeq2 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  (
( S  .(+)  t )  =  x  <->  ( S  .(+) 
t )  =  s ) )
4847anbi2d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  x )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
4948rexbidv 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  x )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
5046, 49syl5bb 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  ( E. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  y )  =  x )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
5140, 50imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( x  C.  u  /\  A  e.  x
)  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  <->  ( (
s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )
5251cbvralv 2996 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  <->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
53 pgpfac1.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
54 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( K `  { A } )
55 pgpfac1.o . . . . . . . . . 10  |-  O  =  ( od `  G
)
56 pgpfac1.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (gEx `  G )
57 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
58 pgpfac1.l . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
59 pgpfac1.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
6059adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  P pGrp  G )
611adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  G  e.  Abel )
627adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  B  e.  Fin )
63 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
6463adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
65 simprrl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  u  e.  (SubGrp `  G ) )
66 simprrr 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  A  e.  u
)
67 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  A. x  e.  (SubGrp `  G ) ( ( x  C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  y )  =  x ) ) )
6867, 52sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
6953, 54, 3, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 68pgpfac1lem5 17655 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  u ) )
7069exp32 608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  (SubGrp `  G )
( ( x  C.  u  /\  A  e.  x
)  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  -> 
( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7152, 70syl5bir 221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  -> 
( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7271a2i 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7337, 72sylbi 198 . . . . 5  |-  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7473a1i 11 . . . 4  |-  ( u  e.  Fin  ->  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) ) )
7515, 23, 74findcard3 7767 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  B )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) ) )
767, 75mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  B
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) )
775, 6, 76mp2and 683 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715    i^i cin 3378    C. wpss 3380   {csn 3941   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   Basecbs 15064   0gc0g 15281  mrClscmrc 15432   Grpcgrp 16612  SubGrpcsubg 16754   odcod 17108  gExcgex 17110   pGrp cpgp 17112   LSSumclsm 17229   Abelcabl 17374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-rpss 6529  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-ec 7320  df-qs 7324  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-sum 13696  df-dvds 14249  df-gcd 14412  df-prm 14566  df-pc 14730  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-0g 15283  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-mulg 16619  df-subg 16757  df-eqg 16759  df-ga 16887  df-cntz 16914  df-od 17115  df-gex 17117  df-pgp 17119  df-lsm 17231  df-cmn 17375  df-abl 17376
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  17659
  Copyright terms: Public domain W3C validator