MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1 Unicode version

Theorem pgpfac1 15593
Description: Factorization of a finite abelian p-group. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order where one of the factors is cyclic and generated by an element of maximal order. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.ab  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  B ) )
Distinct variable groups:    t,  .0.    t, A    t,  .(+)    t, P   
t, B    t, G    t, S    ph, t    t, K
Allowed substitution hints:    E( t)    O( t)

Proof of Theorem pgpfac1
Dummy variables  s  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 15372 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3 pgpfac1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
43subgid 14901 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
51, 2, 43syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pgpfac1.ab . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
7 pgpfac1.n . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
8 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  u  e.  (SubGrp `  G ) ) )
9 eleq2 2465 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  ( A  e.  s  <->  A  e.  u ) )
108, 9anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( s  =  u  ->  (
( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  <->  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
) ) )
11 eqeq2 2413 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  u  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
t )  =  u ) )
1211anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  u ) ) )
1312rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( s  =  u  ->  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) )
1410, 13imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( s  =  u  ->  (
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( (
u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . . 4  |-  ( s  =  u  ->  (
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) ) )
16 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  B  e.  (SubGrp `  G ) ) )
17 eleq2 2465 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  ( A  e.  s  <->  A  e.  B ) )
1816, 17anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  <->  ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  B
) ) )
19 eqeq2 2413 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
t )  =  B ) )
2019anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  B ) ) )
2120rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) )
2218, 21imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  B )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) ) )
2322imbi2d 308 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  (
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  B )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) ) ) )
24 bi2.04 351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( s  C.  u  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
25 impexp 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )
2625imbi2i 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( s  C.  u  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
27 impexp 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( s  C.  u  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )
2827imbi2i 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
s  C.  u  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
2924, 26, 283bitr4i 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )
3029imbi2i 304 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  ( s  C.  u  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
31 bi2.04 351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( s  C.  u  -> 
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
32 bi2.04 351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( ph  ->  ( ( s 
C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
3330, 31, 323bitr4i 269 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( ph  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
3433albii 1572 . . . . . . 7  |-  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  A. s ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( ph  ->  ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
35 df-ral 2671 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  (SubGrp `  G
) ( ph  ->  ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <->  A. s ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( ph  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
36 r19.21v 2753 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  (SubGrp `  G
) ( ph  ->  ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )
3734, 35, 363bitr2i 265 . . . . . 6  |-  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )
38 psseq1 3394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
x  C.  u  <->  s  C.  u ) )
39 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  s ) )
4038, 39anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  C.  u  /\  A  e.  x
)  <->  ( s  C.  u  /\  A  e.  s ) ) )
41 ineq2 3496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  ( S  i^i  y )  =  ( S  i^i  t
) )
4241eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
( S  i^i  y
)  =  {  .0.  }  <-> 
( S  i^i  t
)  =  {  .0.  } ) )
43 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  ( S  .(+)  y )  =  ( S  .(+)  t ) )
4443eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
( S  .(+)  y )  =  x  <->  ( S  .(+) 
t )  =  x ) )
4542, 44anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  x ) ) )
4645cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  y )  =  x )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  x ) )
47 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  (
( S  .(+)  t )  =  x  <->  ( S  .(+) 
t )  =  s ) )
4847anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  x )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
4948rexbidv 2687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  x )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
5046, 49syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  ( E. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  y )  =  x )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
5140, 50imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( x  C.  u  /\  A  e.  x
)  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  <->  ( (
s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )
5251cbvralv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  <->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
53 pgpfac1.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
54 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( K `  { A } )
55 pgpfac1.o . . . . . . . . . 10  |-  O  =  ( od `  G
)
56 pgpfac1.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (gEx `  G )
57 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
58 pgpfac1.l . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
59 pgpfac1.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
6059adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  P pGrp  G )
611adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  G  e.  Abel )
627adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  B  e.  Fin )
63 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
6463adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
65 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  u  e.  (SubGrp `  G ) )
66 simprrr 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  A  e.  u
)
67 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  A. x  e.  (SubGrp `  G ) ( ( x  C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  y )  =  x ) ) )
6867, 52sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
6953, 54, 3, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 68pgpfac1lem5 15592 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  u ) )
7069exp32 589 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  (SubGrp `  G )
( ( x  C.  u  /\  A  e.  x
)  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  -> 
( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7152, 70syl5bir 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  -> 
( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7271a2i 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7337, 72sylbi 188 . . . . 5  |-  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7473a1i 11 . . . 4  |-  ( u  e.  Fin  ->  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) ) )
7515, 23, 74findcard3 7309 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  B )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) ) )
767, 75mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  B
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) )
775, 6, 76mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C. wpss 3281   {csn 3774   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   Basecbs 13424   0gc0g 13678  mrClscmrc 13763   Grpcgrp 14640  SubGrpcsubg 14893   odcod 15118  gExcgex 15119   pGrp cpgp 15120   LSSumclsm 15223   Abelcabel 15368
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  15596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-rpss 6481  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-eqg 14898  df-ga 15022  df-cntz 15071  df-od 15122  df-gex 15123  df-pgp 15124  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370
  Copyright terms: Public domain W3C validator