Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac Structured version   Unicode version

Theorem pgpfac 17261
 Description: Full factorization of a finite abelian p-group, by iterating pgpfac1 17257. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order into cyclic subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b
pgpfac.c SubGrp s CycGrp pGrp
pgpfac.g
pgpfac.p pGrp
pgpfac.f
Assertion
Ref Expression
pgpfac Word DProd DProd
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem pgpfac
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.g . . 3
2 ablgrp 16929 . . 3
3 pgpfac.b . . . 4
43subgid 16329 . . 3 SubGrp
51, 2, 43syl 20 . 2 SubGrp
6 pgpfac.f . . 3
7 eleq1 2529 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
8 eqeq2 2472 . . . . . . . 8 DProd DProd
98anbi2d 703 . . . . . . 7 DProd DProd DProd DProd
109rexbidv 2968 . . . . . 6 Word DProd DProd Word DProd DProd
117, 10imbi12d 320 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
1211imbi2d 316 . . . 4 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
13 eleq1 2529 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
14 eqeq2 2472 . . . . . . . 8 DProd DProd
1514anbi2d 703 . . . . . . 7 DProd DProd DProd DProd
1615rexbidv 2968 . . . . . 6 Word DProd DProd Word DProd DProd
1713, 16imbi12d 320 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
1817imbi2d 316 . . . 4 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
19 bi2.04 361 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
2019imbi2i 312 . . . . . . . 8 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
21 bi2.04 361 . . . . . . . 8 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
22 bi2.04 361 . . . . . . . 8 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
2320, 21, 223bitr4i 277 . . . . . . 7 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
2423albii 1641 . . . . . 6 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
25 df-ral 2812 . . . . . 6 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
26 r19.21v 2862 . . . . . 6 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
2724, 25, 263bitr2i 273 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
28 pgpfac.c . . . . . . . . 9 SubGrp s CycGrp pGrp
291adantr 465 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp
30 pgpfac.p . . . . . . . . . 10 pGrp
3130adantr 465 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp pGrp
326adantr 465 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp
33 simprr 757 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp SubGrp
34 simprl 756 . . . . . . . . . 10 SubGrp Word DProd DProd SubGrp SubGrp Word DProd DProd
35 psseq1 3587 . . . . . . . . . . . 12
36 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd
3736anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13 DProd DProd DProd DProd
3837rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12 Word DProd DProd Word DProd DProd
3935, 38imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd Word DProd DProd
4039cbvralv 3084 . . . . . . . . . 10 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4134, 40sylib 196 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp SubGrp Word DProd DProd
423, 28, 29, 31, 32, 33, 41pgpfaclem3 17260 . . . . . . . 8 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4342exp32 605 . . . . . . 7 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4443a1i 11 . . . . . 6 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4544a2d 26 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4627, 45syl5bi 217 . . . 4 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4712, 18, 46findcard3 7781 . . 3 SubGrp Word DProd DProd
486, 47mpcom 36 . 2 SubGrp Word DProd DProd
495, 48mpd 15 1 Word DProd DProd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369  wal 1393   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  crab 2811   cin 3470   wpss 3472   class class class wbr 4456   cdm 5008   crn 5009  cfv 5594  (class class class)co 6296  cfn 7535  Word cword 12537  cbs 14643   ↾s cress 14644  cgrp 16179  SubGrpcsubg 16321   pGrp cpgp 16677  cabl 16925  CycGrpccyg 17006   DProd cdprd 17150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-rpss 6579  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-word 12545  df-concat 12547  df-s1 12548  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-pc 14372  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-eqg 16326  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-ga 16454  df-cntz 16481  df-oppg 16507  df-od 16679  df-gex 16680  df-pgp 16681  df-lsm 16782  df-pj1 16783  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-cyg 17007  df-dprd 17152 This theorem is referenced by:  ablfaclem3  17264
 Copyright terms: Public domain W3C validator