Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxmpt Structured version   Unicode version

Theorem pfxmpt 32615
Description: Value of the prefix extractor as mapping. (Contributed by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxmpt  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S prefix  L )  =  ( x  e.  ( 0..^ L ) 
|->  ( S `  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, L    x, S    x, A

Proof of Theorem pfxmpt
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11775 . . 3  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) )  ->  L  e.  NN0 )
2 pfxval 32611 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( S prefix  L )  =  ( S substr  <. 0 ,  L >. ) )
31, 2sylan2 472 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S prefix  L )  =  ( S substr  <. 0 ,  L >. ) )
4 simpl 455 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  S  e. Word  A )
51adantl 464 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  L  e.  NN0 )
6 0elfz 11777 . . . 4  |-  ( L  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... L ) )
8 simpr 459 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )
9 swrdval2 12636 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  0  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S substr  <. 0 ,  L >. )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  0 ) )  |->  ( S `
 ( x  + 
0 ) ) ) )
104, 7, 8, 9syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S substr  <. 0 ,  L >. )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  0 ) )  |->  ( S `
 ( x  + 
0 ) ) ) )
11 nn0cn 10801 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  CC )
1211subid1d 9911 . . . . . 6  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( L  -  0 )  =  L )
131, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) )  ->  ( L  -  0 )  =  L )
1413oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) )  ->  (
0..^ ( L  - 
0 ) )  =  ( 0..^ L ) )
1514adantl 464 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( 0..^ ( L  -  0 ) )  =  ( 0..^ L ) )
16 elfzonn0 11844 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  0 ) )  ->  x  e.  NN0 )
17 nn0cn 10801 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  CC )
1817addid1d 9769 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( x  +  0 )  =  x )
1916, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  0 ) )  ->  ( x  +  0 )  =  x )
2019fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  0 ) )  ->  ( S `  ( x  +  0 ) )  =  ( S `  x ) )
2120adantl 464 . . 3  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  (
0 ... ( # `  S
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  0 ) ) )  -> 
( S `  (
x  +  0 ) )  =  ( S `
 x ) )
2215, 21mpteq12dva 4516 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( L  - 
0 ) )  |->  ( S `  ( x  +  0 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ L )  |->  ( S `  x ) ) )
233, 10, 223eqtrd 2499 1  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  S
) ) )  -> 
( S prefix  L )  =  ( x  e.  ( 0..^ L ) 
|->  ( S `  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   <.cop 4022    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481    + caddc 9484    - cmin 9796   NN0cn0 10791   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12387  Word cword 12518   substr csubstr 12522   prefix cpfx 32609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-substr 12530  df-pfx 32610
This theorem is referenced by:  pfxres  32616  pfxf  32617
  Copyright terms: Public domain W3C validator