MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1subrg Structured version   Unicode version

Theorem pf1subrg 18702
Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1const.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
pf1const.q  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
Assertion
Ref Expression
pf1subrg  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B
) ) )

Proof of Theorem pf1subrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  (eval1 `  R
)  =  (eval1 `  R
)
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
3 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
4 pf1const.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
51, 2, 3, 4evl1rhm 18686 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  (eval1 `  R
)  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) ) )
6 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
7 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
86, 7rhmf 17693 . . . 4  |-  ( (eval1 `  R )  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) )  -> 
(eval1 `
 R ) : ( Base `  (Poly1 `  R ) ) --> (
Base `  ( R  ^s  B ) ) )
9 ffn 5713 . . . 4  |-  ( (eval1 `  R ) : (
Base `  (Poly1 `  R
) ) --> ( Base `  ( R  ^s  B ) )  ->  (eval1 `  R
)  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
10 fnima 5679 . . . 4  |-  ( (eval1 `  R )  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  ->  ( (eval1 `  R
) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  =  ran  (eval1 `  R ) )
115, 8, 9, 104syl 21 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  =  ran  (eval1 `  R ) )
12 pf1const.q . . 3  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
1311, 12syl6eqr 2461 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  =  Q )
142ply1assa 18556 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  (Poly1 `  R
)  e. AssAlg )
15 assaring 18287 . . . 4  |-  ( (Poly1 `  R )  e. AssAlg  ->  (Poly1 `  R )  e.  Ring )
166subrgid 17749 . . . 4  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( Base `  (Poly1 `  R
) )  e.  (SubRing `  (Poly1 `  R ) ) )
1714, 15, 163syl 20 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  e.  (SubRing `  (Poly1 `  R ) ) )
18 rhmima 17778 . . 3  |-  ( ( (eval1 `  R )  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) )  /\  ( Base `  (Poly1 `  R
) )  e.  (SubRing `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B ) ) )
195, 17, 18syl2anc 659 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B ) ) )
2013, 19eqeltrrd 2491 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ran crn 4823   "cima 4825    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839    ^s cpws 15059   Ringcrg 17516   CRingccrg 17517   RingHom crh 17679  SubRingcsubrg 17743  AssAlgcasa 18276  Poly1cpl1 18534  eval1ce1 18669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-srg 17476  df-ring 17518  df-cring 17519  df-rnghom 17682  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-lsp 17936  df-assa 18279  df-asp 18280  df-ascl 18281  df-psr 18323  df-mvr 18324  df-mpl 18325  df-opsr 18327  df-evls 18489  df-evl 18490  df-psr1 18537  df-ply1 18539  df-evl1 18671
This theorem is referenced by:  pf1f  18704  pf1addcl  18707  pf1mulcl  18708
  Copyright terms: Public domain W3C validator