MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1subrg Structured version   Unicode version

Theorem pf1subrg 18252
Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1const.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
pf1const.q  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
Assertion
Ref Expression
pf1subrg  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B
) ) )

Proof of Theorem pf1subrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  (eval1 `  R
)  =  (eval1 `  R
)
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
4 pf1const.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
51, 2, 3, 4evl1rhm 18236 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  (eval1 `  R
)  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) ) )
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
86, 7rhmf 17245 . . . 4  |-  ( (eval1 `  R )  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) )  -> 
(eval1 `
 R ) : ( Base `  (Poly1 `  R ) ) --> (
Base `  ( R  ^s  B ) ) )
9 ffn 5737 . . . 4  |-  ( (eval1 `  R ) : (
Base `  (Poly1 `  R
) ) --> ( Base `  ( R  ^s  B ) )  ->  (eval1 `  R
)  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
10 fnima 5705 . . . 4  |-  ( (eval1 `  R )  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  ->  ( (eval1 `  R
) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  =  ran  (eval1 `  R ) )
115, 8, 9, 104syl 21 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  =  ran  (eval1 `  R ) )
12 pf1const.q . . 3  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
1311, 12syl6eqr 2526 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  =  Q )
142ply1assa 18106 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  (Poly1 `  R
)  e. AssAlg )
15 assaring 17837 . . . 4  |-  ( (Poly1 `  R )  e. AssAlg  ->  (Poly1 `  R )  e.  Ring )
166subrgid 17300 . . . 4  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( Base `  (Poly1 `  R
) )  e.  (SubRing `  (Poly1 `  R ) ) )
1714, 15, 163syl 20 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  e.  (SubRing `  (Poly1 `  R ) ) )
18 rhmima 17329 . . 3  |-  ( ( (eval1 `  R )  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) )  /\  ( Base `  (Poly1 `  R
) )  e.  (SubRing `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B ) ) )
195, 17, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B ) ) )
2013, 19eqeltrrd 2556 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ran crn 5006   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14506    ^s cpws 14718   Ringcrg 17068   CRingccrg 17069   RingHom crh 17231  SubRingcsubrg 17294  AssAlgcasa 17826  Poly1cpl1 18084  eval1ce1 18219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-hom 14595  df-cco 14596  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-prds 14719  df-pws 14721  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-ghm 16136  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-abl 16672  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-srg 17028  df-ring 17070  df-cring 17071  df-rnghom 17234  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-assa 17829  df-asp 17830  df-ascl 17831  df-psr 17873  df-mvr 17874  df-mpl 17875  df-opsr 17877  df-evls 18039  df-evl 18040  df-psr1 18087  df-ply1 18089  df-evl1 18221
This theorem is referenced by:  pf1f  18254  pf1addcl  18257  pf1mulcl  18258
  Copyright terms: Public domain W3C validator