MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1mulcl Structured version   Unicode version

Theorem pf1mulcl 18368
Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
pf1mulcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
pf1mulcl  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  oF  .x.  G )  e.  Q )

Proof of Theorem pf1mulcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( R  ^s  ( Base `  R
) )  =  ( R  ^s  ( Base `  R
) )
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )
3 pf1rcl.q . . . . 5  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
43pf1rcl 18363 . . . 4  |-  ( F  e.  Q  ->  R  e.  CRing )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  R  e.  CRing )
6 fvex 5866 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( Base `  R
)  e.  _V )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
93, 8pf1f 18364 . . . . 5  |-  ( F  e.  Q  ->  F : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  F : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
111, 8, 2pwselbasb 14866 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( Base `  R )  e. 
_V )  ->  ( F  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  <-> 
F : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) ) )
125, 6, 11sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  e.  (
Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) )  <->  F :
( Base `  R ) --> ( Base `  R )
) )
1310, 12mpbird 232 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  F  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
143, 8pf1f 18364 . . . . 5  |-  ( G  e.  Q  ->  G : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  G : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
161, 8, 2pwselbasb 14866 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( Base `  R )  e. 
_V )  ->  ( G  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  <-> 
G : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) ) )
175, 6, 16sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( G  e.  (
Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) )  <->  G :
( Base `  R ) --> ( Base `  R )
) )
1815, 17mpbird 232 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  G  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
19 pf1mulcl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
20 eqid 2443 . . 3  |-  ( .r
`  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  =  ( .r
`  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )
211, 2, 5, 7, 13, 18, 19, 20pwsmulrval 14869 . 2  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( .r
`  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) G )  =  ( F  oF  .x.  G ) )
228, 3pf1subrg 18362 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
235, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) ) )
2420subrgmcl 17419 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )  /\  F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( .r
`  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) G )  e.  Q )
25243expib 1200 . . 3  |-  ( Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( .r `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) G )  e.  Q
) )
2623, 25mpcom 36 . 2  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( .r
`  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) G )  e.  Q )
2721, 26eqeltrrd 2532 1  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  oF  .x.  G )  e.  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   Basecbs 14613   .rcmulr 14679    ^s cpws 14825   CRingccrg 17177  SubRingcsubrg 17403  eval1ce1 18329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-hom 14702  df-cco 14703  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-prds 14826  df-pws 14828  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-mulg 16038  df-subg 16176  df-ghm 16243  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-srg 17136  df-ring 17178  df-cring 17179  df-rnghom 17342  df-subrg 17405  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-lsp 17596  df-assa 17939  df-asp 17940  df-ascl 17941  df-psr 17983  df-mvr 17984  df-mpl 17985  df-opsr 17987  df-evls 18149  df-evl 18150  df-psr1 18197  df-ply1 18199  df-evl1 18331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator