Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1mpf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pf1mpf 19017
 Description: Convert a univariate polynomial function to multivariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q eval1
pf1f.b
mpfpf1.q eval
Assertion
Ref Expression
pf1mpf
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pf1mpf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pf1rcl.q . . 3 eval1
21pf1rcl 19014 . 2
3 id 22 . . . 4
43, 1syl6eleq 2559 . . 3 eval1
5 eqid 2471 . . . . . 6 eval1 eval1
6 eqid 2471 . . . . . 6 Poly1 Poly1
7 eqid 2471 . . . . . 6 s s
8 pf1f.b . . . . . 6
95, 6, 7, 8evl1rhm 18997 . . . . 5 eval1 Poly1 RingHom s
102, 9syl 17 . . . 4 eval1 Poly1 RingHom s
11 eqid 2471 . . . . 5 Poly1 Poly1
12 eqid 2471 . . . . 5 s s
1311, 12rhmf 18032 . . . 4 eval1 Poly1 RingHom s eval1Poly1 s
14 ffn 5739 . . . 4 eval1Poly1 s eval1 Poly1
15 fvelrnb 5926 . . . 4 eval1 Poly1 eval1 Poly1eval1
1610, 13, 14, 154syl 19 . . 3 eval1 Poly1eval1
174, 16mpbid 215 . 2 Poly1eval1
18 eqid 2471 . . . . . . . 8 eval eval
19 eqid 2471 . . . . . . . 8 mPoly mPoly
20 eqid 2471 . . . . . . . . 9 PwSer1 PwSer1
216, 20, 11ply1bas 18865 . . . . . . . 8 Poly1 mPoly
225, 18, 8, 19, 21evl1val 18994 . . . . . . 7 Poly1 eval1 eval
2322coeq1d 5001 . . . . . 6 Poly1 eval1 eval
24 coass 5361 . . . . . . 7 eval eval
25 df1o2 7212 . . . . . . . . . . 11
26 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
278, 26eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11
28 0ex 4528 . . . . . . . . . . 11
29 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
3025, 27, 28, 29mapsncnv 7536 . . . . . . . . . 10
3130coeq1i 4999 . . . . . . . . 9
3225, 27, 28, 29mapsnf1o2 7537 . . . . . . . . . 10
33 f1ococnv1 5856 . . . . . . . . . 10
3432, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 Poly1
3531, 34syl5eqr 2519 . . . . . . . 8 Poly1
3635coeq2d 5002 . . . . . . 7 Poly1 eval eval
3724, 36syl5eq 2517 . . . . . 6 Poly1 eval eval
38 eqid 2471 . . . . . . . 8 s s
39 eqid 2471 . . . . . . . 8 s s
40 simpl 464 . . . . . . . 8 Poly1
41 ovex 6336 . . . . . . . . 9
4241a1i 11 . . . . . . . 8 Poly1
43 1on 7207 . . . . . . . . . . 11
4418, 8, 19, 38evlrhm 18825 . . . . . . . . . . 11 eval mPoly RingHom s
4543, 44mpan 684 . . . . . . . . . 10 eval mPoly RingHom s
4621, 39rhmf 18032 . . . . . . . . . 10 eval mPoly RingHom s eval Poly1 s
4745, 46syl 17 . . . . . . . . 9 eval Poly1 s
4847ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8 Poly1 eval s
4938, 8, 39, 40, 42, 48pwselbas 15465 . . . . . . 7 Poly1 eval
50 fcoi1 5769 . . . . . . 7 eval eval eval
5149, 50syl 17 . . . . . 6 Poly1 eval eval
5223, 37, 513eqtrd 2509 . . . . 5 Poly1 eval1 eval
53 ffn 5739 . . . . . . . 8 eval Poly1 s eval Poly1
5447, 53syl 17 . . . . . . 7 eval Poly1
55 fnfvelrn 6034 . . . . . . 7 eval Poly1 Poly1 eval eval
5654, 55sylan 479 . . . . . 6 Poly1 eval eval
57 mpfpf1.q . . . . . 6 eval
5856, 57syl6eleqr 2560 . . . . 5 Poly1 eval
5952, 58eqeltrd 2549 . . . 4 Poly1 eval1
60 coeq1 4997 . . . . 5 eval1 eval1
6160eleq1d 2533 . . . 4 eval1 eval1
6259, 61syl5ibcom 228 . . 3 Poly1 eval1
6362rexlimdva 2871 . 2 Poly1eval1
642, 17, 63sylc 61 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757  cvv 3031  c0 3722  csn 3959   cmpt 4454   cid 4749   cxp 4837  ccnv 4838   crn 4840   cres 4841   ccom 4843  con0 5430   wfn 5584  wf 5585  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1o 7193   cmap 7490  cbs 15199   s cpws 15423  ccrg 17859   RingHom crh 18018   mPoly cmpl 18654   eval cevl 18805  PwSer1cps1 18845  Poly1cpl1 18847  eval1ce1 18980 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-srg 17818  df-ring 17860  df-cring 17861  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-assa 18613  df-asp 18614  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-evls 18806  df-evl 18807  df-psr1 18850  df-ply1 18852  df-evl1 18982 This theorem is referenced by:  pf1ind  19020
 Copyright terms: Public domain W3C validator