Theorem pf1ind 18943

Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1ind.cb	|- B = ( Base ` R )
pf1ind.cp	|- .+ = ( +g ` R )
pf1ind.ct	|- .x. = ( .r ` R )
pf1ind.cq	|- Q = ran (eval1 ` R )
pf1ind.ad	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
pf1ind.mu	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
pf1ind.wa	|- ( x = ( B X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
pf1ind.wb	|- ( x = ( _I |` B ) -> ( ps <-> th ) )
pf1ind.wc	|- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
pf1ind.wd	|- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
pf1ind.we	|- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
pf1ind.wf	|- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
pf1ind.wg	|- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
pf1ind.co	|- ( ( ph /\ f e. B ) -> ch )
pf1ind.pr	|- ( ph -> th )
pf1ind.a	|- ( ph -> A e. Q )

Assertion

Ref	Expression
pf1ind	|- ( ph -> rh )

Distinct variable groups:   f, g, x, .+   B, f, g, x   et, f, x   ph, f, g   x, A   ch, x   ps, f, g   Q, f, g   rh, x   si, x   ta, x   th, x   .x. , f, g, x   ze, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   ch( f, g)   th( f, g)   ta( f, g)   et( g)   ze( f, g)   si( f, g)   rh( f, g)   A( f, g)   Q( x)   R( x, f, g)

Proof of Theorem pf1ind

Dummy variables a b y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 5354	. . . . 5 |- ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( A o. ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
2		df1o2 7194	. . . . . . . . 9 |- 1o = { (/) }
3		pf1ind.cb	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` R )
4		fvex 5875	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2525	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
6		0ex 4535	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
7		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) )
8	2, 5, 6, 7	mapsncnv 7518	. . . . . . . 8 |- `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) = ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) )
9	8	coeq2i 4995	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) = ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) )
10	2, 5, 6, 7	mapsnf1o2 7519	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( B ^m 1o ) -1-1-onto-> B
11		f1ococnv2 5840	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( B ^m 1o ) -1-1-onto-> B -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) = ( _I |` B ) )
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) = ( _I |` B ) )
13	9, 12	syl5eqr 2499	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( _I |` B ) )
14	13	coeq2d 4997	. . . . 5 |- ( ph -> ( A o. ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) = ( A o. ( _I |` B ) ) )
15	1, 14	syl5eq 2497	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( A o. ( _I |` B ) ) )
16		pf1ind.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Q )
17		pf1ind.cq	. . . . . 6 |- Q = ran (eval1 ` R )
18	17, 3	pf1f 18938	. . . . 5 |- ( A e. Q -> A : B --> B )
19		fcoi1 5757	. . . . 5 |- ( A : B --> B -> ( A o. ( _I |` B ) ) = A )
20	16, 18, 19	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( A o. ( _I |` B ) ) = A )
21	15, 20	eqtrd 2485	. . 3 |- ( ph -> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = A )
22		pf1ind.cp	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
23		pf1ind.ct	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
24		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( 1o eval R ) = ( 1o eval R )
25	24, 3	evlval 18747	. . . . 5 |- ( 1o eval R ) = ( ( 1o evalSub R ) ` B )
26	25	rneqi 5061	. . . 4 |- ran ( 1o eval R ) = ran ( ( 1o evalSub R ) ` B )
27		an4 833	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) <-> ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) /\ ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
28		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( 1o eval R ) = ran ( 1o eval R )
29	17, 3, 28	mpfpf1 18939	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ran ( 1o eval R ) -> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q )
30	17, 3, 28	mpfpf1 18939	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ran ( 1o eval R ) -> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q )
31		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- f e. _V
32		pf1ind.wc	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
33	31, 32	elab 3185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. { x | ps } <-> ta )
34		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( f e. { x | ps } <-> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
35	33, 34	syl5bbr 263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ta <-> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
36	35	anbi1d 711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ta /\ et ) <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) ) )
37	36	anbi1d 711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) <-> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) ) )
38		ovex 6318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .+ g ) e. _V
39		pf1ind.we	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
40	38, 39	elab 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ze )
41		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( f oF .+ g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) )
42	41	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) )
43	40, 42	syl5bbr 263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ze <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) )
44	37, 43	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> ze ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) ) )
45		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- g e. _V
46		pf1ind.wd	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
47	45, 46	elab 3185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. { x | ps } <-> et )
48		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( g e. { x | ps } <-> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
49	47, 48	syl5bbr 263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( et <-> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
50	49	anbi2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
51	50	anbi1d 711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) <-> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) ) )
52		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
53	52	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
54	51, 53	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
55		pf1ind.ad	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
56	55	expcom 437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) -> ( ph -> ze ) )
57	56	an4s 835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. Q /\ g e. Q ) /\ ( ta /\ et ) ) -> ( ph -> ze ) )
58	57	expimpd 608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q /\ g e. Q ) -> ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> ze ) )
59	44, 54, 58	vtocl2ga 3115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
60	29, 30, 59	syl2an 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
61	60	expcomd 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ph -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
62	61	impcom 432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
63	26, 3	mpff 18756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ran ( 1o eval R ) -> a : ( B ^m 1o ) --> B )
64	63	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> a : ( B ^m 1o ) --> B )
65		ffn 5728	. . . . . . . . . . 11 |- ( a : ( B ^m 1o ) --> B -> a Fn ( B ^m 1o ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> a Fn ( B ^m 1o ) )
67	26, 3	mpff 18756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ran ( 1o eval R ) -> b : ( B ^m 1o ) --> B )
68	67	ad2antll 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> b : ( B ^m 1o ) --> B )
69		ffn 5728	. . . . . . . . . . 11 |- ( b : ( B ^m 1o ) --> B -> b Fn ( B ^m 1o ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> b Fn ( B ^m 1o ) )
71		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) = ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) )
72	2, 5, 6, 71	mapsnf1o3 7520	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m 1o )
73		f1of 5814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m 1o ) -> ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B --> ( B ^m 1o ) )
74	72, 73	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B --> ( B ^m 1o ) )
75		ovex 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( B ^m 1o ) e. _V
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( B ^m 1o ) e. _V )
77	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> B e. _V )
78		inidm 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B ^m 1o ) i^i ( B ^m 1o ) ) = ( B ^m 1o )
79	66, 70, 74, 76, 76, 77, 78	ofco 6551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
80	79	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
81	62, 80	sylibrd 238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
82	81	expimpd 608	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) /\ ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
83	27, 82	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
84	83	imp 431	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
85		ovex 6318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .x. g ) e. _V
86		pf1ind.wf	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
87	85, 86	elab 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> si )
88		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( f oF .x. g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) )
89	88	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) )
90	87, 89	syl5bbr 263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( si <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) )
91	37, 90	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> si ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) ) )
92		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
93	92	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
94	51, 93	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
95		pf1ind.mu	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
96	95	expcom 437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) -> ( ph -> si ) )
97	96	an4s 835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. Q /\ g e. Q ) /\ ( ta /\ et ) ) -> ( ph -> si ) )
98	97	expimpd 608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q /\ g e. Q ) -> ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> si ) )
99	91, 94, 98	vtocl2ga 3115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
100	29, 30, 99	syl2an 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
101	100	expcomd 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ph -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
102	101	impcom 432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
103	66, 70, 74, 76, 76, 77, 78	ofco 6551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
104	103	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
105	102, 104	sylibrd 238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
106	105	expimpd 608	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) /\ ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
107	27, 106	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
108	107	imp 431	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
109		coeq1 4992	. . . . 5 |- ( y = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
110	109	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( y = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
111		coeq1 4992	. . . . 5 |- ( y = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
112	111	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( y = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
113		coeq1 4992	. . . . 5 |- ( y = a -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
114	113	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( y = a -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
115		coeq1 4992	. . . . 5 |- ( y = b -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
116	115	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( y = b -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
117		coeq1 4992	. . . . 5 |- ( y = ( a oF .+ b ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
118	117	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( y = ( a oF .+ b ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
119		coeq1 4992	. . . . 5 |- ( y = ( a oF .x. b ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
120	119	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( y = ( a oF .x. b ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
121		coeq1 4992	. . . . 5 |- ( y = ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
122	121	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( y = ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
123	17	pf1rcl 18937	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Q -> R e. CRing )
124	16, 123	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. CRing )
125	124	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> R e. CRing )
126		1on 7189	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. On
127		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
128	127	mplassa 18678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. On /\ R e. CRing ) -> ( 1o mPoly R ) e. AssAlg )
129	126, 124, 128	sylancr 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1o mPoly R ) e. AssAlg )
130		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Poly1 ` R ) = (Poly1 ` R )
131		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- (algSc ` (Poly1 ` R ) ) = (algSc ` (Poly1 ` R ) )
132	130, 131	ply1ascl 18851	. . . . . . . . . . . 12 |- (algSc ` (Poly1 ` R ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly R ) )
133		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) = (Scalar ` ( 1o mPoly R ) )
134	132, 133	asclrhm 18566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o mPoly R ) e. AssAlg -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
135	129, 134	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
136	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1o e. On )
137	127, 136, 124	mplsca 18669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R = (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) )
138	137	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R RingHom ( 1o mPoly R ) ) = ( (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
139	135, 138	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( R RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
140		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
141	3, 140	rhmf 17954	. . . . . . . . 9 |- ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( R RingHom ( 1o mPoly R ) ) -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) : B --> ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
142	139, 141	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) : B --> ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
143	142	ffvelrnda 6022	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) e. ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
144		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- (eval1 ` R ) = (eval1 ` R )
145	144, 24, 3, 127, 140	evl1val 18917	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) e. ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
146	125, 143, 145	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
147	144, 130, 3, 131	evl1sca 18922	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ a e. B ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( B X. { a } ) )
148	124, 147	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( B X. { a } ) )
149	3	ressid 15184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. CRing -> ( R ↾s B ) = R )
150	125, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( R ↾s B ) = R )
151	150	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) = ( 1o mPoly R ) )
152	151	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly R ) ) )
153	152, 132	syl6eqr 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` (Poly1 ` R ) ) )
154	153	fveq1d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` a ) = ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) )
155	154	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` a ) ) = ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) )
156		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) = ( 1o mPoly ( R ↾s B ) )
157		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( R ↾s B ) = ( R ↾s B )
158		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) )
159	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> 1o e. On )
160		crngring 17791	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
161	3	subrgid 18010	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> B e. (SubRing ` R ) )
162	124, 160, 161	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. (SubRing ` R ) )
163	162	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> B e. (SubRing ` R ) )
164		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> a e. B )
165	25, 156, 157, 3, 158, 159, 125, 163, 164	evlssca 18745	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` a ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) )
166	155, 165	eqtr3d 2487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) )
167	166	coeq1d 4996	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
168	146, 148, 167	3eqtr3d 2493	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( B X. { a } ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
169		pf1ind.co	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ch )
170		snex 4641	. . . . . . . . . 10 |- { f } e. _V
171	5, 170	xpex 6595	. . . . . . . . 9 |- ( B X. { f } ) e. _V
172		pf1ind.wa	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
173	171, 172	elab 3185	. . . . . . . 8 |- ( ( B X. { f } ) e. { x | ps } <-> ch )
174	169, 173	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( B X. { f } ) e. { x | ps } )
175	174	ralrimiva 2802	. . . . . 6 |- ( ph -> A. f e. B ( B X. { f } ) e. { x | ps } )
176		sneq 3978	. . . . . . . . 9 |- ( f = a -> { f } = { a } )
177	176	xpeq2d 4858	. . . . . . . 8 |- ( f = a -> ( B X. { f } ) = ( B X. { a } ) )
178	177	eleq1d 2513	. . . . . . 7 |- ( f = a -> ( ( B X. { f } ) e. { x | ps } <-> ( B X. { a } ) e. { x | ps } ) )
179	178	rspccva 3149	. . . . . 6 |- ( ( A. f e. B ( B X. { f } ) e. { x | ps } /\ a e. B ) -> ( B X. { a } ) e. { x | ps } )
180	175, 179	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( B X. { a } ) e. { x | ps } )
181	168, 180	eqeltrrd 2530	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
182		pf1ind.pr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> th )
183		resiexg 6729	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. _V -> ( _I |` B ) e. _V )
184	5, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( _I |` B ) e. _V
185		pf1ind.wb	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( _I |` B ) -> ( ps <-> th ) )
186	184, 185	elab 3185	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` B ) e. { x | ps } <-> th )
187	182, 186	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _I |` B ) e. { x | ps } )
188	13, 187	eqeltrd 2529	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
189		el1o 7201	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. 1o <-> a = (/) )
190		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( b ` a ) = ( b ` (/) ) )
191	189, 190	sylbi 199	. . . . . . . . 9 |- ( a e. 1o -> ( b ` a ) = ( b ` (/) ) )
192	191	mpteq2dv 4490	. . . . . . . 8 |- ( a e. 1o -> ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) )
193	192	coeq1d 4996	. . . . . . 7 |- ( a e. 1o -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
194	193	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( a e. 1o -> ( ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
195	188, 194	syl5ibrcom 226	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. 1o -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
196	195	imp 431	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. 1o ) -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
197	17, 3, 28	pf1mpf 18940	. . . . 5 |- ( A e. Q -> ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) e. ran ( 1o eval R ) )
198	16, 197	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) e. ran ( 1o eval R ) )
199	3, 22, 23, 26, 84, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 181, 196, 198	mpfind 18759	. . 3 |- ( ph -> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
200	21, 199	eqeltrrd 2530	. 2 |- ( ph -> A e. { x | ps } )
201		pf1ind.wg	. . . 4 |- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
202	201	elabg 3186	. . 3 |- ( A e. Q -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
203	16, 202	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
204	200, 203	mpbid 214	1 |- ( ph -> rh )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   {csn 3968   |-> cmpt 4461   _I cid 4744   X. cxp 4832   `'ccnv 4833   ran crn 4835   |` cres 4836   o. ccom 4838   Oncon0 5423   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   oFcof 6529   1oc1o 7175   ^m cmap 7472   Basecbs 15121   ↾_s cress 15122   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   Ringcrg 17780   CRingccrg 17781   RingHom crh 17940  SubRingcsubrg 18004  AssAlgcasa 18533  algSccascl 18535   mPoly cmpl 18577   evalSub ces 18727   eval cevl 18728  Poly₁cpl1 18770  eval₁ce1 18903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-srg 17740  df-ring 17782  df-cring 17783  df-rnghom 17943  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-assa 18536  df-asp 18537  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mvr 18581  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-evls 18729  df-evl 18730  df-psr1 18773  df-ply1 18775  df-evl1 18905

This theorem is referenced by:  pl1cn  28761