Theorem pf1ind 18159

Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1ind.cb	|- B = ( Base ` R )
pf1ind.cp	|- .+ = ( +g ` R )
pf1ind.ct	|- .x. = ( .r ` R )
pf1ind.cq	|- Q = ran (eval1 ` R )
pf1ind.ad	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
pf1ind.mu	|- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
pf1ind.wa	|- ( x = ( B X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
pf1ind.wb	|- ( x = ( _I |` B ) -> ( ps <-> th ) )
pf1ind.wc	|- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
pf1ind.wd	|- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
pf1ind.we	|- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
pf1ind.wf	|- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
pf1ind.wg	|- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
pf1ind.co	|- ( ( ph /\ f e. B ) -> ch )
pf1ind.pr	|- ( ph -> th )
pf1ind.a	|- ( ph -> A e. Q )

Assertion

Ref	Expression
pf1ind	|- ( ph -> rh )

Distinct variable groups:   f, g, x, .+   B, f, g, x   et, f, x   ph, f, g   x, A   ch, x   ps, f, g   Q, f, g   rh, x   si, x   ta, x   th, x   .x. , f, g, x   ze, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)   ch( f, g)   th( f, g)   ta( f, g)   et( g)   ze( f, g)   si( f, g)   rh( f, g)   A( f, g)   Q( x)   R( x, f, g)

Proof of Theorem pf1ind

Dummy variables a b y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 5524	. . . . 5 |- ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( A o. ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
2		df1o2 7139	. . . . . . . . 9 |- 1o = { (/) }
3		pf1ind.cb	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` R )
4		fvex 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2551	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
6		0ex 4577	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
7		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) )
8	2, 5, 6, 7	mapsncnv 7462	. . . . . . . 8 |- `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) = ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) )
9	8	coeq2i 5161	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) = ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) )
10	2, 5, 6, 7	mapsnf1o2 7463	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( B ^m 1o ) -1-1-onto-> B
11		f1ococnv2 5840	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( B ^m 1o ) -1-1-onto-> B -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) = ( _I |` B ) )
12	10, 11	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. `' ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) = ( _I |` B ) )
13	9, 12	syl5eqr 2522	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( _I |` B ) )
14	13	coeq2d 5163	. . . . 5 |- ( ph -> ( A o. ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) = ( A o. ( _I |` B ) ) )
15	1, 14	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( A o. ( _I |` B ) ) )
16		pf1ind.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Q )
17		pf1ind.cq	. . . . . 6 |- Q = ran (eval1 ` R )
18	17, 3	pf1f 18154	. . . . 5 |- ( A e. Q -> A : B --> B )
19		fcoi1 5757	. . . . 5 |- ( A : B --> B -> ( A o. ( _I |` B ) ) = A )
20	16, 18, 19	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> ( A o. ( _I |` B ) ) = A )
21	15, 20	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ph -> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = A )
22		pf1ind.cp	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
23		pf1ind.ct	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
24		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( 1o eval R ) = ( 1o eval R )
25	24, 3	evlval 17961	. . . . 5 |- ( 1o eval R ) = ( ( 1o evalSub R ) ` B )
26	25	rneqi 5227	. . . 4 |- ran ( 1o eval R ) = ran ( ( 1o evalSub R ) ` B )
27		an4 822	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) <-> ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) /\ ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
28		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( 1o eval R ) = ran ( 1o eval R )
29	17, 3, 28	mpfpf1 18155	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ran ( 1o eval R ) -> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q )
30	17, 3, 28	mpfpf1 18155	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ran ( 1o eval R ) -> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q )
31		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- f e. _V
32		pf1ind.wc	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = f -> ( ps <-> ta ) )
33	31, 32	elab 3250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. { x | ps } <-> ta )
34		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( f e. { x | ps } <-> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
35	33, 34	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ta <-> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
36	35	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ta /\ et ) <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) ) )
37	36	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) <-> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) ) )
38		ovex 6307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .+ g ) e. _V
39		pf1ind.we	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .+ g ) -> ( ps <-> ze ) )
40	38, 39	elab 3250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ze )
41		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( f oF .+ g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) )
42	41	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( f oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) )
43	40, 42	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ze <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) )
44	37, 43	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> ze ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) ) )
45		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- g e. _V
46		pf1ind.wd	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = g -> ( ps <-> et ) )
47	45, 46	elab 3250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. { x | ps } <-> et )
48		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( g e. { x | ps } <-> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
49	47, 48	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( et <-> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
50	49	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
51	50	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) <-> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) ) )
52		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
53	52	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
54	51, 53	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ g ) e. { x | ps } ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
55		pf1ind.ad	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> ze )
56	55	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) -> ( ph -> ze ) )
57	56	an4s 824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. Q /\ g e. Q ) /\ ( ta /\ et ) ) -> ( ph -> ze ) )
58	57	expimpd 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q /\ g e. Q ) -> ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> ze ) )
59	44, 54, 58	vtocl2ga 3179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
60	29, 30, 59	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
61	60	expcomd 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ph -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
62	61	impcom 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
63	26, 3	mpff 17970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ran ( 1o eval R ) -> a : ( B ^m 1o ) --> B )
64	63	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> a : ( B ^m 1o ) --> B )
65		ffn 5729	. . . . . . . . . . 11 |- ( a : ( B ^m 1o ) --> B -> a Fn ( B ^m 1o ) )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> a Fn ( B ^m 1o ) )
67	26, 3	mpff 17970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ran ( 1o eval R ) -> b : ( B ^m 1o ) --> B )
68	67	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> b : ( B ^m 1o ) --> B )
69		ffn 5729	. . . . . . . . . . 11 |- ( b : ( B ^m 1o ) --> B -> b Fn ( B ^m 1o ) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> b Fn ( B ^m 1o ) )
71		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) = ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) )
72	2, 5, 6, 71	mapsnf1o3 7464	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m 1o )
73		f1of 5814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B ^m 1o ) -> ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B --> ( B ^m 1o ) )
74	72, 73	mp1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) : B --> ( B ^m 1o ) )
75		ovex 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( B ^m 1o ) e. _V
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( B ^m 1o ) e. _V )
77	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> B e. _V )
78		inidm 3707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B ^m 1o ) i^i ( B ^m 1o ) ) = ( B ^m 1o )
79	66, 70, 74, 76, 76, 77, 78	ofco 6542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
80	79	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .+ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
81	62, 80	sylibrd 234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
82	81	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) /\ ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
83	27, 82	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
84	83	imp 429	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
85		ovex 6307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f oF .x. g ) e. _V
86		pf1ind.wf	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f oF .x. g ) -> ( ps <-> si ) )
87	85, 86	elab 3250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> si )
88		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( f oF .x. g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) )
89	88	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( f oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) )
90	87, 89	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( si <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) )
91	37, 90	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> si ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) ) )
92		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
93	92	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
94	51, 93	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) -> ( ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ et ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. g ) e. { x | ps } ) <-> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
95		pf1ind.mu	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) ) -> si )
96	95	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. Q /\ ta ) /\ ( g e. Q /\ et ) ) -> ( ph -> si ) )
97	96	an4s 824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. Q /\ g e. Q ) /\ ( ta /\ et ) ) -> ( ph -> si ) )
98	97	expimpd 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q /\ g e. Q ) -> ( ( ( ta /\ et ) /\ ph ) -> si ) )
99	91, 94, 98	vtocl2ga 3179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. Q ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
100	29, 30, 99	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ph ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
101	100	expcomd 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) -> ( ph -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) ) )
102	101	impcom 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
103	66, 70, 74, 76, 76, 77, 78	ofco 6542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) )
104	103	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) oF .x. ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) ) e. { x | ps } ) )
105	102, 104	sylibrd 234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) ) -> ( ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
106	105	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ b e. ran ( 1o eval R ) ) /\ ( ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
107	27, 106	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
108	107	imp 429	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. ran ( 1o eval R ) /\ ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) /\ ( b e. ran ( 1o eval R ) /\ ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) ) ) -> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
109		coeq1 5158	. . . . 5 |- ( y = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
110	109	eleq1d 2536	. . . 4 |- ( y = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
111		coeq1 5158	. . . . 5 |- ( y = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
112	111	eleq1d 2536	. . . 4 |- ( y = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
113		coeq1 5158	. . . . 5 |- ( y = a -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
114	113	eleq1d 2536	. . . 4 |- ( y = a -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( a o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
115		coeq1 5158	. . . . 5 |- ( y = b -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
116	115	eleq1d 2536	. . . 4 |- ( y = b -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( b o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
117		coeq1 5158	. . . . 5 |- ( y = ( a oF .+ b ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
118	117	eleq1d 2536	. . . 4 |- ( y = ( a oF .+ b ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a oF .+ b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
119		coeq1 5158	. . . . 5 |- ( y = ( a oF .x. b ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
120	119	eleq1d 2536	. . . 4 |- ( y = ( a oF .x. b ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( a oF .x. b ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
121		coeq1 5158	. . . . 5 |- ( y = ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) -> ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
122	121	eleq1d 2536	. . . 4 |- ( y = ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) -> ( ( y o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
123	17	pf1rcl 18153	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Q -> R e. CRing )
124	16, 123	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. CRing )
125	124	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> R e. CRing )
126		1on 7134	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. On
127		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
128	127	mplassa 17884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. On /\ R e. CRing ) -> ( 1o mPoly R ) e. AssAlg )
129	126, 124, 128	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1o mPoly R ) e. AssAlg )
130		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Poly1 ` R ) = (Poly1 ` R )
131		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- (algSc ` (Poly1 ` R ) ) = (algSc ` (Poly1 ` R ) )
132	130, 131	ply1ascl 18067	. . . . . . . . . . . 12 |- (algSc ` (Poly1 ` R ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly R ) )
133		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) = (Scalar ` ( 1o mPoly R ) )
134	132, 133	asclrhm 17759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o mPoly R ) e. AssAlg -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
135	129, 134	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
136	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1o e. On )
137	127, 136, 124	mplsca 17875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R = (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) )
138	137	oveq1d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R RingHom ( 1o mPoly R ) ) = ( (Scalar ` ( 1o mPoly R ) ) RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
139	135, 138	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( R RingHom ( 1o mPoly R ) ) )
140		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
141	3, 140	rhmf 17156	. . . . . . . . 9 |- ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) e. ( R RingHom ( 1o mPoly R ) ) -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) : B --> ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
142	139, 141	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (algSc ` (Poly1 ` R ) ) : B --> ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
143	142	ffvelrnda 6019	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) e. ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
144		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- (eval1 ` R ) = (eval1 ` R )
145	144, 24, 3, 127, 140	evl1val 18133	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) e. ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
146	125, 143, 145	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
147	144, 130, 3, 131	evl1sca 18138	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRing /\ a e. B ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( B X. { a } ) )
148	124, 147	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (eval1 ` R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( B X. { a } ) )
149	3	ressid 14543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. CRing -> ( R ↾s B ) = R )
150	125, 149	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( R ↾s B ) = R )
151	150	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) = ( 1o mPoly R ) )
152	151	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly R ) ) )
153	152, 132	syl6eqr 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` (Poly1 ` R ) ) )
154	153	fveq1d 5866	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` a ) = ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) )
155	154	fveq2d 5868	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` a ) ) = ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) )
156		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) = ( 1o mPoly ( R ↾s B ) )
157		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( R ↾s B ) = ( R ↾s B )
158		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) )
159	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> 1o e. On )
160		crngrng 16993	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
161	3	subrgid 17211	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> B e. (SubRing ` R ) )
162	124, 160, 161	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. (SubRing ` R ) )
163	162	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> B e. (SubRing ` R ) )
164		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> a e. B )
165	25, 156, 157, 3, 158, 159, 125, 163, 164	evlssca 17959	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly ( R ↾s B ) ) ) ` a ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) )
166	155, 165	eqtr3d 2510	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) )
167	166	coeq1d 5162	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( 1o eval R ) ` ( (algSc ` (Poly1 ` R ) ) ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
168	146, 148, 167	3eqtr3d 2516	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( B X. { a } ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
169		pf1ind.co	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ch )
170		snex 4688	. . . . . . . . . 10 |- { f } e. _V
171	5, 170	xpex 6711	. . . . . . . . 9 |- ( B X. { f } ) e. _V
172		pf1ind.wa	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B X. { f } ) -> ( ps <-> ch ) )
173	171, 172	elab 3250	. . . . . . . 8 |- ( ( B X. { f } ) e. { x | ps } <-> ch )
174	169, 173	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( B X. { f } ) e. { x | ps } )
175	174	ralrimiva 2878	. . . . . 6 |- ( ph -> A. f e. B ( B X. { f } ) e. { x | ps } )
176		sneq 4037	. . . . . . . . 9 |- ( f = a -> { f } = { a } )
177	176	xpeq2d 5023	. . . . . . . 8 |- ( f = a -> ( B X. { f } ) = ( B X. { a } ) )
178	177	eleq1d 2536	. . . . . . 7 |- ( f = a -> ( ( B X. { f } ) e. { x | ps } <-> ( B X. { a } ) e. { x | ps } ) )
179	178	rspccva 3213	. . . . . 6 |- ( ( A. f e. B ( B X. { f } ) e. { x | ps } /\ a e. B ) -> ( B X. { a } ) e. { x | ps } )
180	175, 179	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( B X. { a } ) e. { x | ps } )
181	168, 180	eqeltrrd 2556	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { a } ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
182		pf1ind.pr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> th )
183		resiexg 6717	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. _V -> ( _I |` B ) e. _V )
184	5, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( _I |` B ) e. _V
185		pf1ind.wb	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( _I |` B ) -> ( ps <-> th ) )
186	184, 185	elab 3250	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` B ) e. { x | ps } <-> th )
187	182, 186	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _I |` B ) e. { x | ps } )
188	13, 187	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
189		el1o 7146	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. 1o <-> a = (/) )
190		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( b ` a ) = ( b ` (/) ) )
191	189, 190	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( a e. 1o -> ( b ` a ) = ( b ` (/) ) )
192	191	mpteq2dv 4534	. . . . . . . 8 |- ( a e. 1o -> ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) = ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) )
193	192	coeq1d 5162	. . . . . . 7 |- ( a e. 1o -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) = ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) )
194	193	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( a e. 1o -> ( ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } <-> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
195	188, 194	syl5ibrcom 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. 1o -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } ) )
196	195	imp 429	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. 1o ) -> ( ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` a ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
197	17, 3, 28	pf1mpf 18156	. . . . 5 |- ( A e. Q -> ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) e. ran ( 1o eval R ) )
198	16, 197	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) e. ran ( 1o eval R ) )
199	3, 22, 23, 26, 84, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 181, 196, 198	mpfind 17973	. . 3 |- ( ph -> ( ( A o. ( b e. ( B ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ) o. ( w e. B |-> ( 1o X. { w } ) ) ) e. { x | ps } )
200	21, 199	eqeltrrd 2556	. 2 |- ( ph -> A e. { x | ps } )
201		pf1ind.wg	. . . 4 |- ( x = A -> ( ps <-> rh ) )
202	201	elabg 3251	. . 3 |- ( A e. Q -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
203	16, 202	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( A e. { x | ps } <-> rh ) )
204	200, 203	mpbid 210	1 |- ( ph -> rh )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   |-> cmpt 4505   _I cid 4790   Oncon0 4878   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000   |` cres 5001   o. ccom 5003   Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   oFcof 6520   1oc1o 7120   ^m cmap 7417   Basecbs 14483   ↾_s cress 14484   +g cplusg 14548   .rcmulr 14549  Scalarcsca 14551   Ringcrg 16983   CRingccrg 16984   RingHom crh 17142  SubRingcsubrg 17205  AssAlgcasa 17726  algSccascl 17728   mPoly cmpl 17770   evalSub ces 17937   eval cevl 17938  Poly₁cpl1 17984  eval₁ce1 18119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-hom 14572  df-cco 14573  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-prds 14696  df-pws 14698  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-srg 16945  df-rng 16985  df-cring 16986  df-rnghom 17145  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-assa 17729  df-asp 17730  df-ascl 17731  df-psr 17773  df-mvr 17774  df-mpl 17775  df-opsr 17777  df-evls 17939  df-evl 17940  df-psr1 17987  df-ply1 17989  df-evl1 18121

This theorem is referenced by:  pl1cn  27570