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Theorem pf1ind 18943
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1ind.cb  |-  B  =  ( Base `  R
)
pf1ind.cp  |-  .+  =  ( +g  `  R )
pf1ind.ct  |-  .x.  =  ( .r `  R )
pf1ind.cq  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
pf1ind.ad  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
pf1ind.mu  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
pf1ind.wa  |-  ( x  =  ( B  X.  { f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
pf1ind.wb  |-  ( x  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ps  <->  th )
)
pf1ind.wc  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
pf1ind.wd  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
pf1ind.we  |-  ( x  =  ( f  oF  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
pf1ind.wf  |-  ( x  =  ( f  oF  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
pf1ind.wg  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
pf1ind.co  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ch )
pf1ind.pr  |-  ( ph  ->  th )
pf1ind.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
Assertion
Ref Expression
pf1ind  |-  ( ph  ->  rh )
Distinct variable groups:    f, g, x,  .+    B, f, g, x    et, f, x    ph, f,
g    x, A    ch, x    ps, f, g    Q, f, g    rh, x    si, x    ta, x    th, x    .x. , f, g, x    ze, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    ch( f, g)    th( f,
g)    ta( f, g)    et( g)    ze( f, g)    si( f,
g)    rh( f, g)    A( f, g)    Q( x)    R( x, f, g)

Proof of Theorem pf1ind
Dummy variables  a 
b  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 5354 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( A  o.  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
2 df1o2 7194 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  { (/) }
3 pf1ind.cb . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 fvex 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
53, 4eqeltri 2525 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
6 0ex 4535 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
7 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )
82, 5, 6, 7mapsncnv 7518 . . . . . . . 8  |-  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  =  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) )
98coeq2i 4995 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )
102, 5, 6, 7mapsnf1o2 7519 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) : ( B  ^m  1o )
-1-1-onto-> B
11 f1ococnv2 5840 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( B  ^m  1o ) -1-1-onto-> B  ->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
139, 12syl5eqr 2499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
1413coeq2d 4997 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (
( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  =  ( A  o.  (  _I  |`  B ) ) )
151, 14syl5eq 2497 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( A  o.  (  _I  |`  B ) ) )
16 pf1ind.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
17 pf1ind.cq . . . . . 6  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
1817, 3pf1f 18938 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q  ->  A : B --> B )
19 fcoi1 5757 . . . . 5  |-  ( A : B --> B  -> 
( A  o.  (  _I  |`  B ) )  =  A )
2016, 18, 193syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (  _I  |`  B ) )  =  A )
2115, 20eqtrd 2485 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  A )
22 pf1ind.cp . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
23 pf1ind.ct . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
24 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
2524, 3evlval 18747 . . . . 5  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
2625rneqi 5061 . . . 4  |-  ran  ( 1o eval  R )  =  ran  ( ( 1o evalSub  R ) `
 B )
27 an4 833 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )  <-> 
( ( a  e. 
ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) )  /\  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
28 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  ( 1o eval  R )  =  ran  ( 1o eval  R )
2917, 3, 28mpfpf1 18939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )
3017, 3, 28mpfpf1 18939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )
31 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
32 pf1ind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
3331, 32elab 3185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  { x  |  ps }  <->  ta )
34 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  e.  { x  |  ps } 
<->  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
3533, 34syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ta  <->  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
3635anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ( ta  /\  et )  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  et ) ) )
3736anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ta  /\  et )  /\  ph )  <->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph ) ) )
38 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  oF  .+  g
)  e.  _V
39 pf1ind.we . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  oF  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
4038, 39elab 3185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ze )
41 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  oF  .+  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g ) )
4241eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
f  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
4340, 42syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ze  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
4437, 43imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ta  /\  et )  /\  ph )  ->  ze )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
45 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  g  e. 
_V
46 pf1ind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
4745, 46elab 3185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  { x  |  ps }  <->  et )
48 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( g  e.  { x  |  ps } 
<->  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
4947, 48syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( et  <->  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
5049anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et ) 
<->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )
5150anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  <->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph ) ) )
52 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) ) )
5352eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g
)  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
5451, 53imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g )  e. 
{ x  |  ps } )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
55 pf1ind.ad . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
5655expcom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  ->  ( ph  ->  ze ) )
5756an4s 835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q
)  /\  ( ta  /\  et ) )  -> 
( ph  ->  ze )
)
5857expimpd 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q )  ->  ( ( ( ta 
/\  et )  /\  ph )  ->  ze )
)
5944, 54, 58vtocl2ga 3115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  Q  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
6029, 30, 59syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
6160expcomd 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  oF  .+  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
6261impcom 432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
6326, 3mpff 18756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  a : ( B  ^m  1o ) --> B )
6463ad2antrl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  a : ( B  ^m  1o ) --> B )
65 ffn 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( B  ^m  1o ) --> B  ->  a  Fn  ( B  ^m  1o ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  a  Fn  ( B  ^m  1o ) )
6726, 3mpff 18756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  b : ( B  ^m  1o ) --> B )
6867ad2antll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  b : ( B  ^m  1o ) --> B )
69 ffn 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b : ( B  ^m  1o ) --> B  ->  b  Fn  ( B  ^m  1o ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  b  Fn  ( B  ^m  1o ) )
71 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) )  =  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) )
722, 5, 6, 71mapsnf1o3 7520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
73 f1of 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
7472, 73mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
75 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )
775a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  B  e.  _V )
78 inidm 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  ^m  1o )  i^i  ( B  ^m  1o ) )  =  ( B  ^m  1o )
7966, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6551 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) ) )
8079eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
8162, 80sylibrd 238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
8281expimpd 608 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  /\  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
8327, 82syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
8483imp 431 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( a  oF  .+  b
)  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
85 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  oF  .x.  g
)  e.  _V
86 pf1ind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  oF  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
8785, 86elab 3185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  si )
88 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  oF  .x.  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g ) )
8988eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
f  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
9087, 89syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( si  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
9137, 90imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ta  /\  et )  /\  ph )  ->  si )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
92 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) ) )
9392eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g
)  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
9451, 93imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g )  e. 
{ x  |  ps } )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
95 pf1ind.mu . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
9695expcom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  ->  ( ph  ->  si ) )
9796an4s 835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q
)  /\  ( ta  /\  et ) )  -> 
( ph  ->  si )
)
9897expimpd 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q )  ->  ( ( ( ta 
/\  et )  /\  ph )  ->  si )
)
9991, 94, 98vtocl2ga 3115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  Q  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
10029, 30, 99syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
101100expcomd 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  oF  .x.  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
102101impcom 432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
10366, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6551 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) ) )
104103eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
105102, 104sylibrd 238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
106105expimpd 608 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  /\  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
10727, 106syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
108107imp 431 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( a  oF  .x.  b
)  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
109 coeq1 4992 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )
110109eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
111 coeq1 4992 . . . . 5  |-  ( y  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  -> 
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
112111eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  -> 
( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
113 coeq1 4992 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
114113eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
115 coeq1 4992 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
116115eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  b  ->  (
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
117 coeq1 4992 . . . . 5  |-  ( y  =  ( a  oF  .+  b )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  oF  .+  b )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
118117eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  ( a  oF  .+  b )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
119 coeq1 4992 . . . . 5  |-  ( y  =  ( a  oF  .x.  b )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  oF  .x.  b )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
120119eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  ( a  oF  .x.  b )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
121 coeq1 4992 . . . . 5  |-  ( y  =  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
122121eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  ->  ( (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
12317pf1rcl 18937 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Q  ->  R  e.  CRing )
12416, 123syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
125124adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
126 1on 7189 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
127 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
128127mplassa 18678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 1o mPoly  R )  e. AssAlg )
129126, 124, 128sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1o mPoly  R )  e. AssAlg )
130 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
131 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (algSc `  (Poly1 `  R ) )  =  (algSc `  (Poly1 `  R
) )
132130, 131ply1ascl 18851 . . . . . . . . . . . 12  |-  (algSc `  (Poly1 `  R ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
133 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )
134132, 133asclrhm 18566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o mPoly  R )  e. AssAlg  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
135129, 134syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
136126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
137127, 136, 124mplsca 18669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) )
138137oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R ) )  =  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
139135, 138eleqtrrd 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R
) ) )
140 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
1413, 140rhmf 17954 . . . . . . . . 9  |-  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) )  e.  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R ) )  -> 
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) : B --> ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
142139, 141syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) ) : B --> ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
143142ffvelrnda 6022 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
)  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
144 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  (eval1 `  R
)  =  (eval1 `  R
)
145144, 24, 3, 127, 140evl1val 18917 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
)  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
146125, 143, 145syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
147144, 130, 3, 131evl1sca 18922 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( B  X.  { a } ) )
148124, 147sylan 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( B  X.  { a } ) )
1493ressid 15184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Rs  B
)  =  R )
150125, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( Rs  B )  =  R )
151150oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  R )
)
152151fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) ) )
153152, 132syl6eqr 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  (Poly1 `  R
) ) )
154153fveq1d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a )  =  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `  a ) )
155154fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a ) )  =  ( ( 1o eval  R ) `  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) ) )
156 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o mPoly 
( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) )
157 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
158 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) )
159126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  1o  e.  On )
160 crngring 17791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1613subrgid 18010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
162124, 160, 1613syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  R
) )
163162adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
164 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
16525, 156, 157, 3, 158, 159, 125, 163, 164evlssca 18745 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } ) )
166155, 165eqtr3d 2487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `  a ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } ) )
167166coeq1d 4996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
168146, 148, 1673eqtr3d 2493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  X.  { a } )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )
169 pf1ind.co . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ch )
170 snex 4641 . . . . . . . . . 10  |-  { f }  e.  _V
1715, 170xpex 6595 . . . . . . . . 9  |-  ( B  X.  { f } )  e.  _V
172 pf1ind.wa . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  X.  { f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
173171, 172elab 3185 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  <->  ch )
174169, 173sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( B  X.  { f } )  e.  { x  |  ps } )
175174ralrimiva 2802 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }
)
176 sneq 3978 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  { f }  =  { a } )
177176xpeq2d 4858 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  ( B  X.  { f } )  =  ( B  X.  { a } ) )
178177eleq1d 2513 . . . . . . 7  |-  ( f  =  a  ->  (
( B  X.  {
f } )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( B  X.  {
a } )  e. 
{ x  |  ps } ) )
179178rspccva 3149 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  B  ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  /\  a  e.  B
)  ->  ( B  X.  { a } )  e.  { x  |  ps } )
180175, 179sylan 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  X.  { a } )  e.  { x  |  ps } )
181168, 180eqeltrrd 2530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )
182 pf1ind.pr . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  th )
183 resiexg 6729 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  ->  (  _I  |`  B )  e. 
_V )
1845, 183ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  B )  e.  _V
185 pf1ind.wb . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ps  <->  th )
)
186184, 185elab 3185 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  B )  e.  { x  |  ps } 
<->  th )
187182, 186sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  e.  { x  |  ps } )
18813, 187eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )
189 el1o 7201 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  1o  <->  a  =  (/) )
190 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  (/)  ->  ( b `
 a )  =  ( b `  (/) ) )
191189, 190sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  1o  ->  (
b `  a )  =  ( b `  (/) ) )
192191mpteq2dv 4490 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  1o  ->  (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )
193192coeq1d 4996 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  1o  ->  (
( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  a
) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )
194193eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( a  e.  1o  ->  (
( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
195188, 194syl5ibrcom 226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  1o  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
196195imp 431 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  1o )  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
19717, 3, 28pf1mpf 18940 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) )  e. 
ran  ( 1o eval  R
) )
19816, 197syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) )  e.  ran  ( 1o eval  R ) )
1993, 22, 23, 26, 84, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 181, 196, 198mpfind 18759 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
20021, 199eqeltrrd 2530 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  { x  |  ps } )
201 pf1ind.wg . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
202201elabg 3186 . . 3  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  e.  { x  |  ps }  <->  rh )
)
20316, 202syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
x  |  ps }  <->  rh ) )
204200, 203mpbid 214 1  |-  ( ph  ->  rh )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   {csn 3968    |-> cmpt 4461    _I cid 4744    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   ran crn 4835    |` cres 4836    o. ccom 4838   Oncon0 5423    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oFcof 6529   1oc1o 7175    ^m cmap 7472   Basecbs 15121   ↾s cress 15122   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   Ringcrg 17780   CRingccrg 17781   RingHom crh 17940  SubRingcsubrg 18004  AssAlgcasa 18533  algSccascl 18535   mPoly cmpl 18577   evalSub ces 18727   eval cevl 18728  Poly1cpl1 18770  eval1ce1 18903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-srg 17740  df-ring 17782  df-cring 17783  df-rnghom 17943  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-assa 18536  df-asp 18537  df-ascl 18538  df-psr 18580  df-mvr 18581  df-mpl 18582  df-opsr 18584  df-evls 18729  df-evl 18730  df-psr1 18773  df-ply1 18775  df-evl1 18905
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