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Theorem pf1ind 19020
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1ind.cb  |-  B  =  ( Base `  R
)
pf1ind.cp  |-  .+  =  ( +g  `  R )
pf1ind.ct  |-  .x.  =  ( .r `  R )
pf1ind.cq  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
pf1ind.ad  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
pf1ind.mu  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
pf1ind.wa  |-  ( x  =  ( B  X.  { f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
pf1ind.wb  |-  ( x  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ps  <->  th )
)
pf1ind.wc  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
pf1ind.wd  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
pf1ind.we  |-  ( x  =  ( f  oF  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
pf1ind.wf  |-  ( x  =  ( f  oF  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
pf1ind.wg  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
pf1ind.co  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ch )
pf1ind.pr  |-  ( ph  ->  th )
pf1ind.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
Assertion
Ref Expression
pf1ind  |-  ( ph  ->  rh )
Distinct variable groups:    f, g, x,  .+    B, f, g, x    et, f, x    ph, f,
g    x, A    ch, x    ps, f, g    Q, f, g    rh, x    si, x    ta, x    th, x    .x. , f, g, x    ze, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    ch( f, g)    th( f,
g)    ta( f, g)    et( g)    ze( f, g)    si( f,
g)    rh( f, g)    A( f, g)    Q( x)    R( x, f, g)

Proof of Theorem pf1ind
Dummy variables  a 
b  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 5361 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( A  o.  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
2 df1o2 7212 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  { (/) }
3 pf1ind.cb . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 fvex 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
53, 4eqeltri 2545 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
6 0ex 4528 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
7 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )
82, 5, 6, 7mapsncnv 7536 . . . . . . . 8  |-  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  =  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) )
98coeq2i 5000 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )
102, 5, 6, 7mapsnf1o2 7537 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) : ( B  ^m  1o )
-1-1-onto-> B
11 f1ococnv2 5854 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( B  ^m  1o ) -1-1-onto-> B  ->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
139, 12syl5eqr 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
1413coeq2d 5002 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (
( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  =  ( A  o.  (  _I  |`  B ) ) )
151, 14syl5eq 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( A  o.  (  _I  |`  B ) ) )
16 pf1ind.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
17 pf1ind.cq . . . . . 6  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
1817, 3pf1f 19015 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q  ->  A : B --> B )
19 fcoi1 5769 . . . . 5  |-  ( A : B --> B  -> 
( A  o.  (  _I  |`  B ) )  =  A )
2016, 18, 193syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (  _I  |`  B ) )  =  A )
2115, 20eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  A )
22 pf1ind.cp . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
23 pf1ind.ct . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
24 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
2524, 3evlval 18824 . . . . 5  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
2625rneqi 5067 . . . 4  |-  ran  ( 1o eval  R )  =  ran  ( ( 1o evalSub  R ) `
 B )
27 an4 840 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )  <-> 
( ( a  e. 
ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) )  /\  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
28 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  ( 1o eval  R )  =  ran  ( 1o eval  R )
2917, 3, 28mpfpf1 19016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )
3017, 3, 28mpfpf1 19016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )
31 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
32 pf1ind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
3331, 32elab 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  { x  |  ps }  <->  ta )
34 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  e.  { x  |  ps } 
<->  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
3533, 34syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ta  <->  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
3635anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ( ta  /\  et )  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  et ) ) )
3736anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ta  /\  et )  /\  ph )  <->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph ) ) )
38 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  oF  .+  g
)  e.  _V
39 pf1ind.we . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  oF  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
4038, 39elab 3173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ze )
41 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  oF  .+  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g ) )
4241eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
f  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
4340, 42syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ze  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
4437, 43imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ta  /\  et )  /\  ph )  ->  ze )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  oF  .+  g )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
45 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  g  e. 
_V
46 pf1ind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
4745, 46elab 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  { x  |  ps }  <->  et )
48 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( g  e.  { x  |  ps } 
<->  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
4947, 48syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( et  <->  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
5049anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et ) 
<->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )
5150anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  <->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph ) ) )
52 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) ) )
5352eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g
)  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
5451, 53imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  g )  e. 
{ x  |  ps } )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
55 pf1ind.ad . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
5655expcom 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  ->  ( ph  ->  ze ) )
5756an4s 842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q
)  /\  ( ta  /\  et ) )  -> 
( ph  ->  ze )
)
5857expimpd 614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q )  ->  ( ( ( ta 
/\  et )  /\  ph )  ->  ze )
)
5944, 54, 58vtocl2ga 3101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  Q  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
6029, 30, 59syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
6160expcomd 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  oF  .+  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
6261impcom 437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
6326, 3mpff 18833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  a : ( B  ^m  1o ) --> B )
6463ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  a : ( B  ^m  1o ) --> B )
65 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( B  ^m  1o ) --> B  ->  a  Fn  ( B  ^m  1o ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  a  Fn  ( B  ^m  1o ) )
6726, 3mpff 18833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  b : ( B  ^m  1o ) --> B )
6867ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  b : ( B  ^m  1o ) --> B )
69 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b : ( B  ^m  1o ) --> B  ->  b  Fn  ( B  ^m  1o ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  b  Fn  ( B  ^m  1o ) )
71 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) )  =  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) )
722, 5, 6, 71mapsnf1o3 7538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
73 f1of 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
7472, 73mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
75 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )
775a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  B  e.  _V )
78 inidm 3632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  ^m  1o )  i^i  ( B  ^m  1o ) )  =  ( B  ^m  1o )
7966, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6570 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) ) )
8079eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .+  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
8162, 80sylibrd 242 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
8281expimpd 614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  /\  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
8327, 82syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
8483imp 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( a  oF  .+  b
)  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
85 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  oF  .x.  g
)  e.  _V
86 pf1ind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  oF  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
8785, 86elab 3173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  si )
88 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  oF  .x.  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g ) )
8988eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
f  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
9087, 89syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( si  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
9137, 90imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ta  /\  et )  /\  ph )  ->  si )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  oF  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
92 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) ) )
9392eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g
)  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
9451, 93imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  g )  e. 
{ x  |  ps } )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
95 pf1ind.mu . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
9695expcom 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  ->  ( ph  ->  si ) )
9796an4s 842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q
)  /\  ( ta  /\  et ) )  -> 
( ph  ->  si )
)
9897expimpd 614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q )  ->  ( ( ( ta 
/\  et )  /\  ph )  ->  si )
)
9991, 94, 98vtocl2ga 3101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  Q  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
10029, 30, 99syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
101100expcomd 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  oF  .x.  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
102101impcom 437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
10366, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6570 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  oF  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) ) )
104103eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  oF  .x.  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
105102, 104sylibrd 242 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
106105expimpd 614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  /\  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
10727, 106syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
108107imp 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( a  oF  .x.  b
)  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
109 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )
110109eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
111 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( y  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  -> 
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
112111eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( y  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  -> 
( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
113 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
114113eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
115 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
116115eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( y  =  b  ->  (
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
117 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( y  =  ( a  oF  .+  b )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  oF  .+  b )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
118117eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( y  =  ( a  oF  .+  b )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  oF  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
119 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( y  =  ( a  oF  .x.  b )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  oF  .x.  b )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
120119eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( y  =  ( a  oF  .x.  b )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  oF  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
121 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( y  =  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
122121eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( y  =  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  ->  ( (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
12317pf1rcl 19014 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Q  ->  R  e.  CRing )
12416, 123syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
125124adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
126 1on 7207 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
127 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
128127mplassa 18755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 1o mPoly  R )  e. AssAlg )
129126, 124, 128sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1o mPoly  R )  e. AssAlg )
130 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
131 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (algSc `  (Poly1 `  R ) )  =  (algSc `  (Poly1 `  R
) )
132130, 131ply1ascl 18928 . . . . . . . . . . . 12  |-  (algSc `  (Poly1 `  R ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
133 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )
134132, 133asclrhm 18643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o mPoly  R )  e. AssAlg  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
135129, 134syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
136126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
137127, 136, 124mplsca 18746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) )
138137oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R ) )  =  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
139135, 138eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R
) ) )
140 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
1413, 140rhmf 18032 . . . . . . . . 9  |-  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) )  e.  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R ) )  -> 
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) : B --> ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
142139, 141syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) ) : B --> ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
143142ffvelrnda 6037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
)  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
144 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  (eval1 `  R
)  =  (eval1 `  R
)
145144, 24, 3, 127, 140evl1val 18994 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
)  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
146125, 143, 145syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
147144, 130, 3, 131evl1sca 18999 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( B  X.  { a } ) )
148124, 147sylan 479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( B  X.  { a } ) )
1493ressid 15262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Rs  B
)  =  R )
150125, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( Rs  B )  =  R )
151150oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  R )
)
152151fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) ) )
153152, 132syl6eqr 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  (Poly1 `  R
) ) )
154153fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a )  =  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `  a ) )
155154fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a ) )  =  ( ( 1o eval  R ) `  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) ) )
156 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o mPoly 
( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) )
157 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
158 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) )
159126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  1o  e.  On )
160 crngring 17869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1613subrgid 18088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
162124, 160, 1613syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  R
) )
163162adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
164 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
16525, 156, 157, 3, 158, 159, 125, 163, 164evlssca 18822 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } ) )
166155, 165eqtr3d 2507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `  a ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } ) )
167166coeq1d 5001 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
168146, 148, 1673eqtr3d 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  X.  { a } )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )
169 pf1ind.co . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ch )
170 snex 4641 . . . . . . . . . 10  |-  { f }  e.  _V
1715, 170xpex 6614 . . . . . . . . 9  |-  ( B  X.  { f } )  e.  _V
172 pf1ind.wa . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  X.  { f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
173171, 172elab 3173 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  <->  ch )
174169, 173sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( B  X.  { f } )  e.  { x  |  ps } )
175174ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }
)
176 sneq 3969 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  { f }  =  { a } )
177176xpeq2d 4863 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  ( B  X.  { f } )  =  ( B  X.  { a } ) )
178177eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( f  =  a  ->  (
( B  X.  {
f } )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( B  X.  {
a } )  e. 
{ x  |  ps } ) )
179178rspccva 3135 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  B  ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  /\  a  e.  B
)  ->  ( B  X.  { a } )  e.  { x  |  ps } )
180175, 179sylan 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  X.  { a } )  e.  { x  |  ps } )
181168, 180eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )
182 pf1ind.pr . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  th )
183 resiexg 6748 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  ->  (  _I  |`  B )  e. 
_V )
1845, 183ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  B )  e.  _V
185 pf1ind.wb . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ps  <->  th )
)
186184, 185elab 3173 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  B )  e.  { x  |  ps } 
<->  th )
187182, 186sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  e.  { x  |  ps } )
18813, 187eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )
189 el1o 7219 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  1o  <->  a  =  (/) )
190 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  (/)  ->  ( b `
 a )  =  ( b `  (/) ) )
191189, 190sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  1o  ->  (
b `  a )  =  ( b `  (/) ) )
192191mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  1o  ->  (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )
193192coeq1d 5001 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  1o  ->  (
( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  a
) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )
194193eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( a  e.  1o  ->  (
( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
195188, 194syl5ibrcom 230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  1o  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
196195imp 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  1o )  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
19717, 3, 28pf1mpf 19017 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) )  e. 
ran  ( 1o eval  R
) )
19816, 197syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) )  e.  ran  ( 1o eval  R ) )
1993, 22, 23, 26, 84, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 181, 196, 198mpfind 18836 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
20021, 199eqeltrrd 2550 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  { x  |  ps } )
201 pf1ind.wg . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
202201elabg 3174 . . 3  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  e.  { x  |  ps }  <->  rh )
)
20316, 202syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
x  |  ps }  <->  rh ) )
204200, 203mpbid 215 1  |-  ( ph  ->  rh )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   {csn 3959    |-> cmpt 4454    _I cid 4749    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843   Oncon0 5430    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   1oc1o 7193    ^m cmap 7490   Basecbs 15199   ↾s cress 15200   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269  Scalarcsca 15271   Ringcrg 17858   CRingccrg 17859   RingHom crh 18018  SubRingcsubrg 18082  AssAlgcasa 18610  algSccascl 18612   mPoly cmpl 18654   evalSub ces 18804   eval cevl 18805  Poly1cpl1 18847  eval1ce1 18980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-srg 17818  df-ring 17860  df-cring 17861  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-assa 18613  df-asp 18614  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-evls 18806  df-evl 18807  df-psr1 18850  df-ply1 18852  df-evl1 18982
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