MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1id Structured version   Unicode version

Theorem pf1id 17796
Description: The identity is a polynomial function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1const.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
pf1const.q  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
Assertion
Ref Expression
pf1id  |-  ( R  e.  CRing  ->  (  _I  |`  B )  e.  Q
)

Proof of Theorem pf1id
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  (eval1 `  R
)  =  (eval1 `  R
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  (var1 `  R
)  =  (var1 `  R
)
3 pf1const.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3evl1var 17785 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) `  (var1 `  R ) )  =  (  _I  |`  B ) )
5 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
71, 5, 6, 3evl1rhm 17781 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  (eval1 `  R
)  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) ) )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
108, 9rhmf 16831 . . . . 5  |-  ( (eval1 `  R )  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) )  -> 
(eval1 `
 R ) : ( Base `  (Poly1 `  R ) ) --> (
Base `  ( R  ^s  B ) ) )
11 ffn 5574 . . . . 5  |-  ( (eval1 `  R ) : (
Base `  (Poly1 `  R
) ) --> ( Base `  ( R  ^s  B ) )  ->  (eval1 `  R
)  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
127, 10, 113syl 20 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  (eval1 `  R
)  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
13 crngrng 16670 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
142, 5, 8vr1cl 17686 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (var1 `  R
)  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  (var1 `  R
)  e.  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
16 fnfvelrn 5855 . . . 4  |-  ( ( (eval1 `  R )  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  /\  (var1 `  R )  e.  (
Base `  (Poly1 `  R
) ) )  -> 
( (eval1 `  R ) `  (var1 `  R ) )  e. 
ran  (eval1 `  R ) )
1712, 15, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) `  (var1 `  R ) )  e. 
ran  (eval1 `  R ) )
184, 17eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  (  _I  |`  B )  e.  ran  (eval1 `  R ) )
19 pf1const.q . 2  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
2018, 19syl6eleqr 2534 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  (  _I  |`  B )  e.  Q
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    _I cid 4646   ran crn 4856    |` cres 4857    Fn wfn 5428   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Basecbs 14189    ^s cpws 14400   Ringcrg 16660   CRingccrg 16661   RingHom crh 16819  var1cv1 17647  Poly1cpl1 17648  eval1ce1 17764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-ofr 6336  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-seq 11822  df-hash 12119  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-hom 14277  df-cco 14278  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-prds 14401  df-pws 14403  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-mhm 15479  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-mulg 15563  df-subg 15693  df-ghm 15760  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-abl 16295  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-srg 16623  df-rng 16662  df-cring 16663  df-rnghom 16821  df-subrg 16878  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-lsp 17068  df-assa 17399  df-asp 17400  df-ascl 17401  df-psr 17438  df-mvr 17439  df-mpl 17440  df-opsr 17442  df-evls 17603  df-evl 17604  df-psr1 17651  df-vr1 17652  df-ply1 17653  df-evl1 17766
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator