Theorem pf1f 17879

Description: Polynomial functions are functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	|- Q = ran (eval1 ` R )
pf1f.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
pf1f	|- ( F e. Q -> F : B --> B )

Proof of Theorem pf1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2450	. 2 |- ( R ^s B ) = ( R ^s B )
2		pf1f.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2450	. 2 |- ( Base ` ( R ^s B ) ) = ( Base ` ( R ^s B ) )
4		pf1rcl.q	. . 3 |- Q = ran (eval1 ` R )
5	4	pf1rcl 17878	. 2 |- ( F e. Q -> R e. CRing )
6		fvex 5785	. . . 4 |- ( Base ` R ) e. _V
7	2, 6	eqeltri 2532	. . 3 |- B e. _V
8	7	a1i 11	. 2 |- ( F e. Q -> B e. _V )
9	2, 4	pf1subrg 17877	. . . 4 |- ( R e. CRing -> Q e. (SubRing ` ( R ^s B ) ) )
10	3	subrgss 16958	. . . 4 |- ( Q e. (SubRing ` ( R ^s B ) ) -> Q C_ ( Base ` ( R ^s B ) ) )
11	5, 9, 10	3syl 20	. . 3 |- ( F e. Q -> Q C_ ( Base ` ( R ^s B ) ) )
12		id 22	. . 3 |- ( F e. Q -> F e. Q )
13	11, 12	sseldd 3441	. 2 |- ( F e. Q -> F e. ( Base ` ( R ^s B ) ) )
14	1, 2, 3, 5, 8, 13	pwselbas 14515	1 |- ( F e. Q -> F : B --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1757   _Vcvv 3054   C_ wss 3412   ran crn 4925   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Basecbs 14262   ^_s cpws 14473   CRingccrg 16738  SubRingcsubrg 16953  eval₁ce1 17844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-ofr 6407  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-hom 14350  df-cco 14351  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-prds 14474  df-pws 14476  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-mhm 15552  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-sbg 15635  df-mulg 15636  df-subg 15766  df-ghm 15833  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-srg 16699  df-rng 16739  df-cring 16740  df-rnghom 16898  df-subrg 16955  df-lmod 17042  df-lss 17106  df-lsp 17145  df-assa 17476  df-asp 17477  df-ascl 17478  df-psr 17515  df-mvr 17516  df-mpl 17517  df-opsr 17519  df-evls 17681  df-evl 17682  df-psr1 17729  df-ply1 17731  df-evl1 17846

This theorem is referenced by:  pf1addcl  17882  pf1mulcl  17883  pf1ind  17884