Theorem pf1f 18513

Description: Polynomial functions are functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	|- Q = ran (eval1 ` R )
pf1f.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
pf1f	|- ( F e. Q -> F : B --> B )

Proof of Theorem pf1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. 2 |- ( R ^s B ) = ( R ^s B )
2		pf1f.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2457	. 2 |- ( Base ` ( R ^s B ) ) = ( Base ` ( R ^s B ) )
4		pf1rcl.q	. . 3 |- Q = ran (eval1 ` R )
5	4	pf1rcl 18512	. 2 |- ( F e. Q -> R e. CRing )
6		fvex 5882	. . . 4 |- ( Base ` R ) e. _V
7	2, 6	eqeltri 2541	. . 3 |- B e. _V
8	7	a1i 11	. 2 |- ( F e. Q -> B e. _V )
9	2, 4	pf1subrg 18511	. . . 4 |- ( R e. CRing -> Q e. (SubRing ` ( R ^s B ) ) )
10	3	subrgss 17557	. . . 4 |- ( Q e. (SubRing ` ( R ^s B ) ) -> Q C_ ( Base ` ( R ^s B ) ) )
11	5, 9, 10	3syl 20	. . 3 |- ( F e. Q -> Q C_ ( Base ` ( R ^s B ) ) )
12		id 22	. . 3 |- ( F e. Q -> F e. Q )
13	11, 12	sseldd 3500	. 2 |- ( F e. Q -> F e. ( Base ` ( R ^s B ) ) )
14	1, 2, 3, 5, 8, 13	pwselbas 14906	1 |- ( F e. Q -> F : B --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   ^_s cpws 14864   CRingccrg 17326  SubRingcsubrg 17552  eval₁ce1 18478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-srg 17285  df-ring 17327  df-cring 17328  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-assa 18088  df-asp 18089  df-ascl 18090  df-psr 18132  df-mvr 18133  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-evls 18298  df-evl 18299  df-psr1 18346  df-ply1 18348  df-evl1 18480

This theorem is referenced by:  pf1addcl  18516  pf1mulcl  18517  pf1ind  18518