MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1addcl Structured version   Unicode version

Theorem pf1addcl 18257
Description: The sum of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
pf1addcl.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
pf1addcl  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  Q )

Proof of Theorem pf1addcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( R  ^s  ( Base `  R
) )  =  ( R  ^s  ( Base `  R
) )
2 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )
3 pf1rcl.q . . . . 5  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
43pf1rcl 18253 . . . 4  |-  ( F  e.  Q  ->  R  e.  CRing )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  R  e.  CRing )
6 fvex 5862 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( Base `  R
)  e.  _V )
8 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
93, 8pf1f 18254 . . . . 5  |-  ( F  e.  Q  ->  F : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  F : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
111, 8, 2pwselbasb 14757 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( Base `  R )  e. 
_V )  ->  ( F  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  <-> 
F : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) ) )
125, 6, 11sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  e.  (
Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) )  <->  F :
( Base `  R ) --> ( Base `  R )
) )
1310, 12mpbird 232 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  F  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
143, 8pf1f 18254 . . . . 5  |-  ( G  e.  Q  ->  G : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  G : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) )
161, 8, 2pwselbasb 14757 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( Base `  R )  e. 
_V )  ->  ( G  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  <-> 
G : ( Base `  R ) --> ( Base `  R ) ) )
175, 6, 16sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( G  e.  (
Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) )  <->  G :
( Base `  R ) --> ( Base `  R )
) )
1815, 17mpbird 232 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  G  e.  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
19 pf1addcl.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
20 eqid 2441 . . 3  |-  ( +g  `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  =  ( +g  `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )
211, 2, 5, 7, 13, 18, 19, 20pwsplusgval 14759 . 2  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( +g  `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) G )  =  ( F  oF  .+  G ) )
228, 3pf1subrg 18252 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
235, 22syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) ) )
2420subrgacl 17308 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )  /\  F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( +g  `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) G )  e.  Q
)
25243expib 1198 . . 3  |-  ( Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( +g  `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) ) G )  e.  Q ) )
2623, 25mpcom 36 . 2  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F ( +g  `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) G )  e.  Q
)
2721, 26eqeltrrd 2530 1  |-  ( ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q )  ->  ( F  oF  .+  G )  e.  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093   ran crn 4986   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    oFcof 6519   Basecbs 14504   +g cplusg 14569    ^s cpws 14716   CRingccrg 17067  SubRingcsubrg 17293  eval1ce1 18219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-hom 14593  df-cco 14594  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-prds 14717  df-pws 14719  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mhm 15835  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-mulg 15929  df-subg 16067  df-ghm 16134  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-srg 17026  df-ring 17068  df-cring 17069  df-rnghom 17232  df-subrg 17295  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-lsp 17486  df-assa 17829  df-asp 17830  df-ascl 17831  df-psr 17873  df-mvr 17874  df-mpl 17875  df-opsr 17877  df-evls 18039  df-evl 18040  df-psr1 18087  df-ply1 18089  df-evl1 18221
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator