Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpln2 Structured version   Unicode version

Theorem perpln2 23796
 Description: Derive a line from perpendicularity (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
perpln.l LineG
perpln.1 TarskiG
perpln.2 ⟂G
Assertion
Ref Expression
perpln2

Proof of Theorem perpln2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-perpg 23781 . . . . . . 7 ⟂G LineG LineG ∟G
21a1i 11 . . . . . 6 ⟂G LineG LineG ∟G
3 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
43fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12 LineG LineG
5 perpln.l . . . . . . . . . . . 12 LineG
64, 5syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . 11 LineG
76rneqd 5228 . . . . . . . . . 10 LineG
87eleq2d 2537 . . . . . . . . 9 LineG
97eleq2d 2537 . . . . . . . . 9 LineG
108, 9anbi12d 710 . . . . . . . 8 LineG LineG
113fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11 ∟G ∟G
1211eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10 ∟G ∟G
1312ralbidv 2903 . . . . . . . . 9 ∟G ∟G
1413rexralbidv 2981 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
1510, 14anbi12d 710 . . . . . . 7 LineG LineG ∟G ∟G
1615opabbidv 4510 . . . . . 6 LineG LineG ∟G ∟G
17 perpln.1 . . . . . . 7 TarskiG
18 elex 3122 . . . . . . 7 TarskiG
1917, 18syl 16 . . . . . 6
20 opabssxp 5072 . . . . . . . 8 ∟G
2120a1i 11 . . . . . . 7 ∟G
22 fvex 5874 . . . . . . . . . 10 LineG
235, 22eqeltri 2551 . . . . . . . . 9
24 rnexg 6713 . . . . . . . . 9
2523, 24mp1i 12 . . . . . . . 8
26 xpexg 6709 . . . . . . . 8
2725, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7
28 ssexg 4593 . . . . . . 7 ∟G ∟G
2921, 27, 28syl2anc 661 . . . . . 6 ∟G
302, 16, 19, 29fvmptd 5953 . . . . 5 ⟂G ∟G
3130rneqd 5228 . . . 4 ⟂G ∟G
32 rnss 5229 . . . . 5 ∟G ∟G
3320, 32ax-mp 5 . . . 4 ∟G
3431, 33syl6eqss 3554 . . 3 ⟂G
35 rnxpss 5437 . . 3
3634, 35syl6ss 3516 . 2 ⟂G
37 relopab 5127 . . . . . 6 ∟G
3830releqd 5085 . . . . . 6 ⟂G ∟G
3937, 38mpbiri 233 . . . . 5 ⟂G
40 perpln.2 . . . . 5 ⟂G
41 brrelex12 5036 . . . . 5 ⟂G ⟂G
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . 4
4342simpld 459 . . 3
4442simprd 463 . . 3
45 brelrng 5230 . . 3 ⟂G ⟂G
4643, 44, 40, 45syl3anc 1228 . 2 ⟂G
4736, 46sseldd 3505 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815  cvv 3113   cin 3475   wss 3476   class class class wbr 4447  copab 4504   cmpt 4505   cxp 4997   crn 5000   wrel 5004  cfv 5586  cs3 12766  TarskiGcstrkg 23553  LineGclng 23561  ∟Gcrag 23778  ⟂Gcperpg 23780 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-perpg 23781 This theorem is referenced by:  mideulem  23813
 Copyright terms: Public domain W3C validator