Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpln1 Structured version   Unicode version

Theorem perpln1 24697
 Description: Derive a line from perpendicularity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
perpln.l LineG
perpln.1 TarskiG
perpln.2 ⟂G
Assertion
Ref Expression
perpln1

Proof of Theorem perpln1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-perpg 24683 . . . . . . 7 ⟂G LineG LineG ∟G
21a1i 11 . . . . . 6 ⟂G LineG LineG ∟G
3 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13
43fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . 12 LineG LineG
5 perpln.l . . . . . . . . . . . 12 LineG
64, 5syl6eqr 2480 . . . . . . . . . . 11 LineG
76rneqd 5024 . . . . . . . . . 10 LineG
87eleq2d 2491 . . . . . . . . 9 LineG
97eleq2d 2491 . . . . . . . . 9 LineG
108, 9anbi12d 715 . . . . . . . 8 LineG LineG
113fveq2d 5829 . . . . . . . . . . 11 ∟G ∟G
1211eleq2d 2491 . . . . . . . . . 10 ∟G ∟G
1312ralbidv 2804 . . . . . . . . 9 ∟G ∟G
1413rexralbidv 2886 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
1510, 14anbi12d 715 . . . . . . 7 LineG LineG ∟G ∟G
1615opabbidv 4430 . . . . . 6 LineG LineG ∟G ∟G
17 perpln.1 . . . . . . 7 TarskiG
18 elex 3031 . . . . . . 7 TarskiG
1917, 18syl 17 . . . . . 6
20 fvex 5835 . . . . . . . . . 10 LineG
215, 20eqeltri 2502 . . . . . . . . 9
22 rnexg 6683 . . . . . . . . 9
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . 8
24 xpexg 6551 . . . . . . . 8
2523, 23, 24syl2anc 665 . . . . . . 7
26 opabssxp 4871 . . . . . . . 8 ∟G
2726a1i 11 . . . . . . 7 ∟G
2825, 27ssexd 4514 . . . . . 6 ∟G
292, 16, 19, 28fvmptd 5914 . . . . 5 ⟂G ∟G
30 anass 653 . . . . . 6 ∟G ∟G
3130opabbii 4431 . . . . 5 ∟G ∟G
3229, 31syl6eq 2478 . . . 4 ⟂G ∟G
3332dmeqd 4999 . . 3 ⟂G ∟G
34 dmopabss 5008 . . 3 ∟G
3533, 34syl6eqss 3457 . 2 ⟂G
36 relopab 4922 . . . . . 6 ∟G
3729releqd 4881 . . . . . 6 ⟂G ∟G
3836, 37mpbiri 236 . . . . 5 ⟂G
39 perpln.2 . . . . 5 ⟂G
40 brrelex12 4834 . . . . 5 ⟂G ⟂G
4138, 39, 40syl2anc 665 . . . 4
4241simpld 460 . . 3
4341simprd 464 . . 3
44 breldmg 5002 . . 3 ⟂G ⟂G
4542, 43, 39, 44syl3anc 1264 . 2 ⟂G
4635, 45sseldd 3408 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2714  wrex 2715  cvv 3022   cin 3378   wss 3379   class class class wbr 4366  copab 4424   cmpt 4425   cxp 4794   cdm 4796   crn 4797   wrel 4801  cfv 5544  cs3 12884  TarskiGcstrkg 24420  LineGclng 24427  ∟Gcrag 24680  ⟂Gcperpg 24682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fv 5552  df-perpg 24683 This theorem is referenced by:  footne  24707  footeq  24708  perpdragALT  24711  perpdrag  24712  colperp  24713  midex  24721  opphl  24738  lmieu  24768  lnperpex  24787  trgcopy  24788
 Copyright terms: Public domain W3C validator