Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpcom Structured version   Unicode version

Theorem perpcom 24480
 Description: The "perpendicular" relation commutes. Theorem 8.12 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p
isperp.d
isperp.i Itv
isperp.l LineG
isperp.g TarskiG
isperp.a
isperp.b
perpcom.1 ⟂G
Assertion
Ref Expression
perpcom ⟂G

Proof of Theorem perpcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perpcom.1 . 2 ⟂G
2 incom 3634 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 ralcom 2970 . . . . 5 ∟G ∟G
5 isperp.p . . . . . . . 8
6 isperp.d . . . . . . . 8
7 isperp.i . . . . . . . 8 Itv
8 isperp.l . . . . . . . 8 LineG
9 eqid 2404 . . . . . . . 8 pInvG pInvG
10 isperp.g . . . . . . . . 9 TarskiG
1110ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ∟G TarskiG
12 isperp.a . . . . . . . . . 10
1312ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ∟G
14 simplrr 765 . . . . . . . . 9 ∟G
155, 8, 7, 11, 13, 14tglnpt 24321 . . . . . . . 8 ∟G
16 inss1 3661 . . . . . . . . . 10
17 simpllr 763 . . . . . . . . . 10 ∟G
1816, 17sseldi 3442 . . . . . . . . 9 ∟G
195, 8, 7, 11, 13, 18tglnpt 24321 . . . . . . . 8 ∟G
20 isperp.b . . . . . . . . . 10
2120ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ∟G
22 simplrl 764 . . . . . . . . 9 ∟G
235, 8, 7, 11, 21, 22tglnpt 24321 . . . . . . . 8 ∟G
24 simpr 461 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
255, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 19, 23, 24ragcom 24465 . . . . . . 7 ∟G ∟G
2610ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ∟G TarskiG
2720ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ∟G
28 simplrl 764 . . . . . . . . 9 ∟G
295, 8, 7, 26, 27, 28tglnpt 24321 . . . . . . . 8 ∟G
3012ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ∟G
31 simpllr 763 . . . . . . . . . 10 ∟G
3216, 31sseldi 3442 . . . . . . . . 9 ∟G
335, 8, 7, 26, 30, 32tglnpt 24321 . . . . . . . 8 ∟G
34 simplrr 765 . . . . . . . . 9 ∟G
355, 8, 7, 26, 30, 34tglnpt 24321 . . . . . . . 8 ∟G
36 simpr 461 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
375, 6, 7, 8, 9, 26, 29, 33, 35, 36ragcom 24465 . . . . . . 7 ∟G ∟G
3825, 37impbida 835 . . . . . 6 ∟G ∟G
39382ralbidva 2848 . . . . 5 ∟G ∟G
404, 39syl5bb 259 . . . 4 ∟G ∟G
413, 40rexeqbidva 3023 . . 3 ∟G ∟G
425, 6, 7, 8, 10, 12, 20isperp 24479 . . 3 ⟂G ∟G
435, 6, 7, 8, 10, 20, 12isperp 24479 . . 3 ⟂G ∟G
4441, 42, 433bitr4d 287 . 2 ⟂G ⟂G
451, 44mpbid 212 1 ⟂G
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  wral 2756  wrex 2757   cin 3415   class class class wbr 4397   crn 4826  cfv 5571  cs3 12865  cbs 14843  cds 14920  TarskiGcstrkg 24208  Itvcitv 24214  LineGclng 24215  pInvGcmir 24422  ∟Gcrag 24460  ⟂Gcperpg 24462 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-hash 12455  df-word 12593  df-concat 12595  df-s1 12596  df-s2 12871  df-s3 12872  df-trkgc 24226  df-trkgb 24227  df-trkgcb 24228  df-trkg 24231  df-mir 24423  df-rag 24461  df-perpg 24463 This theorem is referenced by:  hlperpnel  24489  colperpexlem3  24496  mideulem2  24498  midex  24501  opphllem5  24514  opphllem6  24515  opphl  24517  lmieu  24545  lnperpex  24564  trgcopy  24565
 Copyright terms: Public domain W3C validator