Theorem perfopn 20278

Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls.1	|- X = U. J
restcls.2	|- K = ( J ↾t Y )

Assertion

Ref	Expression
perfopn	|- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> K e. Perf )

Proof of Theorem perfopn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls.2	. . . 4 |- K = ( J ↾t Y )
2		perftop 20249	. . . . . . 7 |- ( J e. Perf -> J e. Top )
3	2	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> J e. Top )
4		restcls.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
5	4	toptopon 20025	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
6	3, 5	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7		elssuni 4219	. . . . . . 7 |- ( Y e. J -> Y C_ U. J )
8	7	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> Y C_ U. J )
9	8, 4	syl6sseqr 3465	. . . . 5 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> Y C_ X )
10		resttopon 20254	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
11	6, 9, 10	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
12	1, 11	syl5eqel 2553	. . 3 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
13		topontop 20018	. . 3 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
14	12, 13	syl 17	. 2 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> K e. Top )
15	9	sselda 3418	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) /\ x e. Y ) -> x e. X )
16	4	perfi 20248	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Perf /\ x e. X ) -> -. { x } e. J )
17	16	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) /\ x e. X ) -> -. { x } e. J )
18	15, 17	syldan 478	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) /\ x e. Y ) -> -. { x } e. J )
19	1	eleq2i 2541	. . . . . 6 |- ( { x } e. K <-> { x } e. ( J ↾t Y ) )
20		restopn2 20270	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ Y e. J ) -> ( { x } e. ( J ↾t Y ) <-> ( { x } e. J /\ { x } C_ Y ) ) )
21	2, 20	sylan 479	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> ( { x } e. ( J ↾t Y ) <-> ( { x } e. J /\ { x } C_ Y ) ) )
22	21	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) /\ x e. Y ) -> ( { x } e. ( J ↾t Y ) <-> ( { x } e. J /\ { x } C_ Y ) ) )
23		simpl 464	. . . . . . 7 |- ( ( { x } e. J /\ { x } C_ Y ) -> { x } e. J )
24	22, 23	syl6bi 236	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) /\ x e. Y ) -> ( { x } e. ( J ↾t Y ) -> { x } e. J ) )
25	19, 24	syl5bi 225	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) /\ x e. Y ) -> ( { x } e. K -> { x } e. J ) )
26	18, 25	mtod 182	. . . 4 |- ( ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) /\ x e. Y ) -> -. { x } e. K )
27	26	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> A. x e. Y -. { x } e. K )
28		toponuni 20019	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
29	12, 28	syl 17	. . . 4 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> Y = U. K )
30	29	raleqdv 2979	. . 3 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> ( A. x e. Y -. { x } e. K <-> A. x e. U. K -. { x } e. K ) )
31	27, 30	mpbid 215	. 2 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> A. x e. U. K -. { x } e. K )
32		eqid 2471	. . 3 |- U. K = U. K
33	32	isperf3 20246	. 2 |- ( K e. Perf <-> ( K e. Top /\ A. x e. U. K -. { x } e. K ) )
34	14, 31, 33	sylanbrc 677	1 |- ( ( J e. Perf /\ Y e. J ) -> K e. Perf )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾_t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995  Perfcperf 20228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-lp 20229  df-perf 20230

This theorem is referenced by:  perfdvf  22937