MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem perfopn 20278
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
perfopn  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
2 perftop 20249 . . . . . . 7  |-  ( J  e. Perf  ->  J  e.  Top )
32adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  Top )
4 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
54toptopon 20025 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
63, 5sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
7 elssuni 4219 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  J  ->  Y  C_ 
U. J )
87adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_ 
U. J )
98, 4syl6sseqr 3465 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_  X )
10 resttopon 20254 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
116, 9, 10syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
121, 11syl5eqel 2553 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
13 topontop 20018 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  Top )
159sselda 3418 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  x  e.  X )
164perfi 20248 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. Perf  /\  x  e.  X )  ->  -.  { x }  e.  J
)
1716adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  X
)  ->  -.  { x }  e.  J )
1815, 17syldan 478 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  J )
191eleq2i 2541 . . . . . 6  |-  ( { x }  e.  K  <->  { x }  e.  ( Jt  Y ) )
20 restopn2 20270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
212, 20sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
2221adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
23 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( { x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y )  ->  { x }  e.  J )
2422, 23syl6bi 236 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  ->  { x }  e.  J )
)
2519, 24syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  K  ->  { x }  e.  J ) )
2618, 25mtod 182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  K )
2726ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K )
28 toponuni 20019 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2912, 28syl 17 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  =  U. K )
3029raleqdv 2979 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K 
<-> 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3127, 30mpbid 215 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  U. K  -.  {
x }  e.  K
)
32 eqid 2471 . . 3  |-  U. K  =  U. K
3332isperf3 20246 . 2  |-  ( K  e. Perf 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3414, 31, 33sylanbrc 677 1  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995  Perfcperf 20228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-lp 20229  df-perf 20230
This theorem is referenced by:  perfdvf  22937
  Copyright terms: Public domain W3C validator