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Theorem perfectALTVlem2 38989
 Description: Lemma for perfectALTV 38990. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectALTVlem.1
perfectALTVlem.2
perfectALTVlem.3 Odd
perfectALTVlem.4
Assertion
Ref Expression
perfectALTVlem2

Proof of Theorem perfectALTVlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perfectALTVlem.2 . . . 4
2 1re 9660 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 perfectALTVlem.1 . . . . . . . 8
5 perfectALTVlem.3 . . . . . . . 8 Odd
6 perfectALTVlem.4 . . . . . . . 8
74, 1, 5, 6perfectALTVlem1 38988 . . . . . . 7
87simp3d 1044 . . . . . 6
98nnred 10646 . . . . 5
101nnred 10646 . . . . 5
118nnge1d 10674 . . . . 5
12 2cn 10702 . . . . . . . . . . 11
13 exp1 12316 . . . . . . . . . . 11
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
15 df-2 10690 . . . . . . . . . 10
1614, 15eqtri 2493 . . . . . . . . 9
17 2re 10701 . . . . . . . . . . 11
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10
19 1zzd 10992 . . . . . . . . . 10
204peano2nnd 10648 . . . . . . . . . . 11
2120nnzd 11062 . . . . . . . . . 10
22 1lt2 10799 . . . . . . . . . . 11
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10
244nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12
25 ltaddrp 11359 . . . . . . . . . . . 12
262, 24, 25sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
27 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . 12
284nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12
29 addcom 9837 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 29sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
3126, 30breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10
32 ltexp2a 12362 . . . . . . . . . 10
3318, 19, 21, 23, 31, 32syl32anc 1300 . . . . . . . . 9
3416, 33syl5eqbrr 4430 . . . . . . . 8
357simp1d 1042 . . . . . . . . . 10
3635nnred 10646 . . . . . . . . 9
373, 3, 36ltaddsubd 10234 . . . . . . . 8
3834, 37mpbid 215 . . . . . . 7
39 1rp 11329 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
41 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . 11
4236, 41syl 17 . . . . . . . . . 10
43 expgt1 12348 . . . . . . . . . . . 12
4418, 20, 23, 43syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
45 posdif 10128 . . . . . . . . . . . 12
462, 36, 45sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
4744, 46mpbid 215 . . . . . . . . . 10
4842, 47jca 541 . . . . . . . . 9
49 elrp 11327 . . . . . . . . 9
5048, 49sylibr 217 . . . . . . . 8
51 nnrp 11334 . . . . . . . . 9
521, 51syl 17 . . . . . . . 8
5340, 50, 52ltdiv2d 11387 . . . . . . 7
5438, 53mpbid 215 . . . . . 6
551nncnd 10647 . . . . . . 7
5655div1d 10397 . . . . . 6
5754, 56breqtrd 4420 . . . . 5
583, 9, 10, 11, 57lelttrd 9810 . . . 4
59 eluz2b2 11254 . . . 4
601, 58, 59sylanbrc 677 . . 3
61 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . 12
62 sgmss 24112 . . . . . . . . . . . . 13
631, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12
64 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . 12
6561, 63, 64syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
6665ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
67 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . 13
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
6968sselda 3418 . . . . . . . . . . 11
7069nnred 10646 . . . . . . . . . 10
7169nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11
7271nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . 10
73 df-tp 3964 . . . . . . . . . . . 12
74 prssi 4119 . . . . . . . . . . . . . . 15
758, 1, 74syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
7675ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
77 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . 14
7877snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13
7976, 78unssd 3601 . . . . . . . . . . . 12
8073, 79syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . 11
81 eltpi 4007 . . . . . . . . . . . . 13
827simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
848nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85 dvdsmul2 14402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8683, 84, 85syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8782nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8882nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8955, 87, 88divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9086, 89breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9290, 91syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
941nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 iddvds 14393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9896, 97syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
100 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15
101 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15
102100, 101syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . 14
10393, 99, 1023jaod 1358 . . . . . . . . . . . . 13
10481, 103syl5 32 . . . . . . . . . . . 12
105104imp 436 . . . . . . . . . . 11
10680, 105ssrabdv 3494 . . . . . . . . . 10
10766, 70, 72, 106fsumless 13933 . . . . . . . . 9
108 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
109 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . 12
110108, 109sylibr 217 . . . . . . . . . . 11
11173a1i 11 . . . . . . . . . . 11
112 tpfi 7865 . . . . . . . . . . . 12
113112a1i 11 . . . . . . . . . . 11
11480sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
115114nncnd 10647 . . . . . . . . . . 11
116110, 111, 113, 115fsumsplit 13883 . . . . . . . . . 10
1178nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118sumsn 13884 . . . . . . . . . . . . . . 15
1208, 117, 119syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122121sumsn 13884 . . . . . . . . . . . . . . 15
1231, 55, 122syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
124120, 123oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
125 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15
1269, 57gtned 9787 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 disjsn2 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
129125, 128syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . 14
130 df-pr 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
132 prfi 7864 . . . . . . . . . . . . . . 15
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
13475sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15
135134nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14
136129, 131, 133, 135fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . 13
13787, 55mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15
13855, 137, 87, 88divdird 10443 . . . . . . . . . . . . . 14
13935nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141139, 140, 55subdird 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14255mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143142oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144141, 143eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145144oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146139, 55mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14755, 146pncan3d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148145, 147eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149148oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15
150139, 55, 87, 88divassd 10440 . . . . . . . . . . . . . . 15
151149, 150eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14
15255, 87, 88divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15
153152oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
154138, 151, 1533eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . 13
155124, 136, 1543eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12
156155ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
15777nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12
158 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
159158sumsn 13884 . . . . . . . . . . . 12
160157, 157, 159syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
161156, 160oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
162116, 161eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
1634nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164 expp1 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16512, 163, 164sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
167 nnexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
168166, 163, 167sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
169168nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170 mulcom 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
171169, 12, 170sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172165, 171eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
173172oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
17412a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
175174, 169, 55mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . 14
176 isodd7 38940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Odd
177 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
178176, 177sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Odd
1795, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182 rpexp1i 14752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
183181, 94, 163, 182syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
184179, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
185 sgmmul 24208 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186140, 168, 1, 184, 185syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . 15
187 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18828, 27, 187sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
189188oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
190189oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
191 1sgm2ppw 24207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19220, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
193190, 192eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16
194193oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15
195186, 6, 1943eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14
196173, 175, 1953eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13
197196oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
198 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . 15
199 sgmnncl 24153 . . . . . . . . . . . . . . 15
200198, 1, 199sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14
201200nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
202201, 87, 88divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . 12
203197, 150, 2023eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11
204 sgmval 24148 . . . . . . . . . . . 12
20527, 1, 204sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
206 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
20767, 206sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14
208207nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
209208cxp1d 23730 . . . . . . . . . . . 12
210209sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . 11
211203, 205, 2103eqtrrd 2510 . . . . . . . . . 10
212211ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
213107, 162, 2123brtr3d 4425 . . . . . . . 8
21436, 9remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11
215214ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
21677nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10
217215, 216ltaddrpd 11394 . . . . . . . . 9
21877nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
219215, 218readdcld 9688 . . . . . . . . . 10
220215, 219ltnled 9799 . . . . . . . . 9
221217, 220mpbid 215 . . . . . . . 8
222213, 221condan 811 . . . . . . 7
223 elpri 3976 . . . . . . 7
224222, 223syl 17 . . . . . 6
225224expr 626 . . . . 5
226225ralrimiva 2809 . . . 4
2273, 58gtned 9787 . . . . . . . . . 10
228227necomd 2698 . . . . . . . . 9
229 1nn 10642 . . . . . . . . . . . . 13
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
231 1dvds 14394 . . . . . . . . . . . . 13
23294, 231syl 17 . . . . . . . . . . . 12
233 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14
234 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15
235 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15
236234, 235orbi12d 724 . . . . . . . . . . . . . 14
237233, 236imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . 13
238237rspcv 3132 . . . . . . . . . . . 12
239230, 226, 232, 238syl3c 62 . . . . . . . . . . 11
240239ord 384 . . . . . . . . . 10
241240necon1ad 2660 . . . . . . . . 9
242228, 241mpd 15 . . . . . . . 8
243242eqeq2d 2481 . . . . . . 7
244243orbi1d 717 . . . . . 6
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