Theorem perfectALTVlem2 38556

Description: Lemma for perfectALTV 38557. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
perfectALTVlem.1	|- ( ph -> A e. NN )
perfectALTVlem.2	|- ( ph -> B e. NN )
perfectALTVlem.3	|- ( ph -> B e. Odd )
perfectALTVlem.4	|- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
perfectALTVlem2	|- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Proof of Theorem perfectALTVlem2

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perfectALTVlem.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. NN )
2		1re 9643	. . . . . 6 |- 1 e. RR
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
4		perfectALTVlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. NN )
5		perfectALTVlem.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. Odd )
6		perfectALTVlem.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
7	4, 1, 5, 6	perfectALTVlem1 38555	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN /\ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN ) )
8	7	simp3d 1019	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN )
9	8	nnred 10625	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR )
10	1	nnred 10625	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
11	8	nnge1d 10653	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
12		2cn 10681	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
13		exp1 12278	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
15		df-2 10669	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
16	14, 15	eqtri 2451	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
17		2re 10680	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. RR )
19		1zzd 10969	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
20	4	peano2nnd 10627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )
21	20	nnzd 11040	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )
22		1lt2 10777	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 2
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < 2 )
24	4	nnrpd 11340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR+ )
25		ltaddrp 11337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + A ) )
26	2, 24, 25	sylancr 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < ( 1 + A ) )
27		ax-1cn 9598	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
28	4	nncnd 10626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
29		addcom 9820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
30	27, 28, 29	sylancr 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
31	26, 30	breqtrd 4445	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( A + 1 ) )
32		ltexp2a 12324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ( A + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 < 2 /\ 1 < ( A + 1 ) ) ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
33	18, 19, 21, 23, 31, 32	syl32anc 1272	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
34	16, 33	syl5eqbrr 4455	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
35	7	simp1d 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN )
36	35	nnred 10625	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR )
37	3, 3, 36	ltaddsubd 10214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
38	34, 37	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
39		1rp 11307	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
41		peano2rem 9942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
42	36, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
43		expgt1 12310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A + 1 ) e. NN /\ 1 < 2 ) -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
44	18, 20, 23, 43	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
45		posdif 10108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
46	2, 36, 45	sylancr 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
47	44, 46	mpbid 213	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
48	42, 47	jca 534	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
49		elrp 11305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ <-> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
50	48, 49	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ )
51		nnrp 11312	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
52	1, 51	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR+ )
53	40, 50, 52	ltdiv2d 11365	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) ) )
54	38, 53	mpbid 213	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) )
55	1	nncnd 10626	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
56	55	div1d 10376	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / 1 ) = B )
57	54, 56	breqtrd 4445	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < B )
58	3, 9, 10, 11, 57	lelttrd 9794	. . . 4 |- ( ph -> 1 < B )
59		eluz2b2 11232	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( B e. NN /\ 1 < B ) )
60	1, 58, 59	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
61		fzfid 12186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... B ) e. Fin )
62		sgmss 24020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) )
63	1, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) )
64		ssfi 7795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... B ) e. Fin /\ { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) ) -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
65	61, 63, 64	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
66	65	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
67		ssrab2 3546	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. NN | x || B } C_ NN
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } C_ NN )
69	68	sselda 3464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
70	69	nnred 10625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
71	69	nnnn0d 10926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
72	71	nn0ge0d 10929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
73		df-tp 4001	. . . . . . . . . . . 12 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } )
74		prssi 4153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN /\ B e. NN ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
75	8, 1, 74	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
76	75	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
77		simplrl 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. NN )
78	77	snssd 4142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { n } C_ NN )
79	76, 78	unssd 3642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) C_ NN )
80	73, 79	syl5eqss 3508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ NN )
81		eltpi 4041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) )
82	7	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN )
83	82	nnzd 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
84	8	nnzd 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ )
85		dvdsmul2 14313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
86	83, 84, 85	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
87	82	nncnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. CC )
88	82	nnne0d 10655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) =/= 0 )
89	55, 87, 88	divcan2d 10386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = B )
90	86, 89	breqtrd 4445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B )
91		breq1 4423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( x || B <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B ) )
92	90, 91	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
93	92	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
94	1	nnzd 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. ZZ )
95		iddvds 14304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ZZ -> B || B )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B || B )
97		breq1 4423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( x || B <-> B || B ) )
98	96, 97	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = B -> x || B ) )
99	98	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = B -> x || B ) )
100		simplrr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n || B )
101		breq1 4423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( x || B <-> n || B ) )
102	100, 101	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = n -> x || B ) )
103	93, 99, 102	3jaod 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) -> x || B ) )
104	81, 103	syl5 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } -> x || B ) )
105	104	imp 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> x || B )
106	80, 105	ssrabdv 3540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ { x e. NN | x || B } )
107	66, 70, 72, 106	fsumless 13844	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
108		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
109		disjsn 4057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
110	108, 109	sylibr 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) )
111	73	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) )
112		tpfi 7850	. . . . . . . . . . . 12 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin )
114	80	sselda 3464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. NN )
115	114	nncnd 10626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. CC )
116	110, 111, 113, 115	fsumsplit 13794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) )
117	8	nncnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC )
118		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
119	118	sumsn 13795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
120	8, 117, 119	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
121		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = B -> k = B )
122	121	sumsn 13795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { B } k = B )
123	1, 55, 122	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. { B } k = B )
124	120, 123	oveq12d 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
125		incom 3655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } )
126	9, 57	gtned 9771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
127		disjsn2 4058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
129	125, 128	syl5eqr 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } ) = (/) )
130		df-pr 3999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } )
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } ) )
132		prfi 7849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } e. Fin
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } e. Fin )
134	75	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. NN )
135	134	nncnd 10626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. CC )
136	129, 131, 133, 135	fsumsplit 13794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) )
137	87, 55	mulcld 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) e. CC )
138	55, 137, 87, 88	divdird 10422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
139	35	nncnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. CC )
140	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. CC )
141	139, 140, 55	subdird 10076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) )
142	55	mulid2d 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
143	142	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
144	141, 143	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
145	144	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) )
146	139, 55	mulcld 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) e. CC )
147	55, 146	pncan3d 9990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
148	145, 147	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
149	148	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
150	139, 55, 87, 88	divassd 10419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
151	149, 150	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
152	55, 87, 88	divcan3d 10389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = B )
153	152	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
154	138, 151, 153	3eqtr3d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
155	124, 136, 154	3eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
156	155	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
157	77	nncnd 10626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. CC )
158		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> k = n )
159	158	sumsn 13795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ n e. CC ) -> sum_ k e. { n } k = n )
160	157, 157, 159	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { n } k = n )
161	156, 160	oveq12d 6320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
162	116, 161	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
163	4	nnnn0d 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. NN0 )
164		expp1 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
165	12, 163, 164	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
166		2nn 10768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN
167		nnexpcl 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
168	166, 163, 167	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. NN )
169	168	nncnd 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. CC )
170		mulcom 9626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 ^ A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
171	169, 12, 170	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
172	165, 171	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
173	172	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) )
174	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 2 e. CC )
175	174, 169, 55	mulassd 9667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
176		isodd7 38507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. Odd <-> ( B e. ZZ /\ ( 2 gcd B ) = 1 ) )
177		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. ZZ /\ ( 2 gcd B ) = 1 ) -> ( 2 gcd B ) = 1 )
178	176, 177	sylbi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. Odd -> ( 2 gcd B ) = 1 )
179	5, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 gcd B ) = 1 )
180		2z 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ZZ
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
182		rpexp1i 14661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A e. NN0 ) -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
183	181, 94, 163, 182	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
184	179, 183	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 )
185		sgmmul 24116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 ^ A ) e. NN /\ B e. NN /\ ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) ) -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
186	140, 168, 1, 184, 185	syl13anc 1266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
187		pncan 9882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
188	28, 27, 187	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
189	188	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 2 ^ A ) )
190	189	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) )
191		1sgm2ppw 24115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
192	20, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
193	190, 192	eqtr3d 2465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
194	193	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
195	186, 6, 194	3eqtr3d 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
196	173, 175, 195	3eqtrd 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
197	196	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
198		1nn0 10886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN0
199		sgmnncl 24061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) e. NN )
200	198, 1, 199	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. NN )
201	200	nncnd 10626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. CC )
202	201, 87, 88	divcan3d 10389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( 1 sigma B ) )
203	197, 150, 202	3eqtr3d 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma B ) )
204		sgmval 24056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
205	27, 1, 204	sylancr 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
206		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. { x e. NN | x || B } )
207	67, 206	sseldi 3462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
208	207	nncnd 10626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. CC )
209	208	cxp1d 23638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> ( k ^c 1 ) = k )
210	209	sumeq2dv 13757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
211	203, 205, 210	3eqtrrd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
212	211	ad2antrr 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
213	107, 162, 212	3brtr3d 4450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
214	36, 9	remulcld 9672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
215	214	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
216	77	nnrpd 11340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. RR+ )
217	215, 216	ltaddrpd 11372	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
218	77	nnred 10625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. RR )
219	215, 218	readdcld 9671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) e. RR )
220	215, 219	ltnled 9783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
221	217, 220	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
222	213, 221	condan 801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
223		elpri 4013	. . . . . . 7 |- ( n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
224	222, 223	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
225	224	expr 618	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
226	225	ralrimiva 2839	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
227	3, 58	gtned 9771	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B =/= 1 )
228	227	necomd 2695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 =/= B )
229		1nn 10621	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. NN )
231		1dvds 14305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> 1 || B )
232	94, 231	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 || B )
233		breq1 4423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( n || B <-> 1 || B ) )
234		eqeq1 2426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) <-> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
235		eqeq1 2426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( n = B <-> 1 = B ) )
236	234, 235	orbi12d 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) <-> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) )
237	233, 236	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) <-> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) ) )
238	237	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) -> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) ) )
239	230, 226, 232, 238	syl3c 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) )
240	239	ord 378	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 = B ) )
241	240	necon1ad 2640	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 =/= B -> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
242	228, 241	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
243	242	eqeq2d 2436	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n = 1 <-> n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
244	243	orbi1d 707	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n = 1 \/ n = B ) <-> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
245	244	imbi2d 317	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
246	245	ralbidv 2864	. . . 4 |- ( ph -> ( A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
247	226, 246	mpbird 235	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) )
248		isprm2 14620	. . 3 |- ( B e. Prime <-> ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) ) )
249	60, 247, 248	sylanbrc 668	. 2 |- ( ph -> B e. Prime )
250	214	ltp1d 10538	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
251		peano2re 9807	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR )
252	214, 251	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR )
253	214, 252	ltnled 9783	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
254	250, 253	mpbid 213	. . 3 |- ( ph -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
255	207	nnred 10625	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
256	207	nnnn0d 10926	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
257	256	nn0ge0d 10929	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
258		df-tp 4001	. . . . . . . . . 10 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } )
259		snssi 4141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
260	229, 259	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { 1 } C_ NN )
261	75, 260	unssd 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) C_ NN )
262	258, 261	syl5eqss 3508	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
263		eltpi 4041	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) )
264		breq1 4423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( x || B <-> 1 || B ) )
265	232, 264	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x = 1 -> x || B ) )
266	92, 98, 265	3jaod 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) -> x || B ) )
267	263, 266	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } -> x || B ) )
268	267	imp 430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> x || B )
269	262, 268	ssrabdv 3540	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ { x e. NN | x || B } )
270	65, 255, 257, 269	fsumless 13844	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
271	270	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
272	55, 87, 88	diveq1ad 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = 1 <-> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
273	272	necon3bid 2682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 <-> B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
274	273	biimpar 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 )
275	274	necomd 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
276	228	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= B )
277	275, 276	nelprd 4017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
278		disjsn 4057	. . . . . . . . 9 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
279	277, 278	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) )
280	258	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) )
281		tpfi 7850	. . . . . . . . 9 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin
282	281	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin )
283	262	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
284	283	sselda 3464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. NN )
285	284	nncnd 10626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. CC )
286	279, 280, 282, 285	fsumsplit 13794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) )
287		id 23	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> k = 1 )
288	287	sumsn 13795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
289	140, 27, 288	sylancl 666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
290	155, 289	oveq12d 6320	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
291	290	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
292	286, 291	eqtrd 2463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
293	211	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
294	271, 292, 293	3brtr3d 4450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
295	294	ex 435	. . . 4 |- ( ph -> ( B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
296	295	necon1bd 2642	. . 3 |- ( ph -> ( -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
297	254, 296	mpd 15	. 2 |- ( ph -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
298	249, 297	jca 534	1 |- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   \/ w3o 981   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   {crab 2779   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   {cpr 3998   {ctp 4000   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541   + caddc 9543   x. cmul 9545   < clt 9676   <_ cle 9677   - cmin 9861   / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   RR+crp 11303   ...cfz 11785   ^cexp 12272   sum_csu 13740   || cdvds 14293   gcd cgcd 14456   Primecprime 14610   ^c ccxp 23492   sigma csgm 24009   Odd codd 38466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-dvds 14294  df-gcd 14457  df-prm 14611  df-pc 14775  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-log 23493  df-cxp 23494  df-sgm 24015  df-even 38467  df-odd 38468

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