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Theorem perfectALTVlem2 38556
Description: Lemma for perfectALTV 38557. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectALTVlem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
perfectALTVlem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
perfectALTVlem.3  |-  ( ph  ->  B  e. Odd  )
perfectALTVlem.4  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
perfectALTVlem2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  Prime  /\  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )

Proof of Theorem perfectALTVlem2
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perfectALTVlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
2 1re 9643 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4 perfectALTVlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
5 perfectALTVlem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e. Odd  )
6 perfectALTVlem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  B
) ) )
74, 1, 5, 6perfectALTVlem1 38555 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN  /\  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN  /\  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN ) )
87simp3d 1019 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN )
98nnred 10625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  RR )
101nnred 10625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
118nnge1d 10653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
12 2cn 10681 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
13 exp1 12278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
15 df-2 10669 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1614, 15eqtri 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
17 2re 10680 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
19 1zzd 10969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
204peano2nnd 10627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2120nnzd 11040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
22 1lt2 10777 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
244nnrpd 11340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
25 ltaddrp 11337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
1  <  ( 1  +  A ) )
262, 24, 25sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  +  A ) )
27 ax-1cn 9598 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
284nncnd 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
29 addcom 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
3027, 28, 29sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
3126, 30breqtrd 4445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( A  +  1 ) )
32 ltexp2a 12324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  e.  ZZ  /\  ( A  +  1
)  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  2  /\  1  < 
( A  +  1 ) ) )  -> 
( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
3318, 19, 21, 23, 31, 32syl32anc 1272 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
3416, 33syl5eqbrr 4455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
357simp1d 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
3635nnred 10625 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )
373, 3, 36ltaddsubd 10214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  <  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  <->  1  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
3834, 37mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
39 1rp 11307 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
41 peano2rem 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
4236, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
43 expgt1 12310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  NN  /\  1  <  2 )  -> 
1  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
4418, 20, 23, 43syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
45 posdif 10108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  <->  0  <  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
462, 36, 45sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
4744, 46mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
4842, 47jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
49 elrp 11305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR+  <->  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
5048, 49sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR+ )
51 nnrp 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
521, 51syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
5340, 50, 52ltdiv2d 11365 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  <-> 
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  ( B  /  1 ) ) )
5438, 53mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  ( B  /  1 ) )
551nncnd 10626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5655div1d 10376 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  /  1
)  =  B )
5754, 56breqtrd 4445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  B )
583, 9, 10, 11, 57lelttrd 9794 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  <  B )
59 eluz2b2 11232 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( B  e.  NN  /\  1  < 
B ) )
601, 58, 59sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
61 fzfid 12186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... B
)  e.  Fin )
62 sgmss 24020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  ( 1 ... B ) )
631, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  ( 1 ... B
) )
64 ssfi 7795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... B
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  ( 1 ... B
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  e.  Fin )
6561, 63, 64syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  e.  Fin )
6665ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  e.  Fin )
67 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  NN
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  NN )
6968sselda 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  k  e.  NN )
7069nnred 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  k  e.  RR )
7169nnnn0d 10926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  k  e.  NN0 )
7271nn0ge0d 10929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  0  <_  k )
73 df-tp 4001 . . . . . . . . . . . 12  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  =  ( {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { n } )
74 prssi 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  C_  NN )
758, 1, 74syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  C_  NN )
7675ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  C_  NN )
77 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  NN )
7877snssd 4142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { n }  C_  NN )
7976, 78unssd 3642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { n } )  C_  NN )
8073, 79syl5eqss 3508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  C_  NN )
81 eltpi 4041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B ,  n }  ->  ( x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  n ) )
827simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
8382nnzd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
848nnzd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  ZZ )
85 dvdsmul2 14313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ||  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
8683, 84, 85syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ||  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
8782nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
8882nnne0d 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  =/=  0 )
8955, 87, 88divcan2d 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  =  B )
9086, 89breqtrd 4445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ||  B )
91 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
x  ||  B  <->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  ||  B ) )
9290, 91syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  x  ||  B
) )
9392ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  ->  x  ||  B ) )
941nnzd 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
95 iddvds 14304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  ||  B )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  ||  B )
97 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
x  ||  B  <->  B  ||  B
) )
9896, 97syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  =  B  ->  x  ||  B
) )
9998ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  =  B  ->  x  ||  B ) )
100 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  ||  B )
101 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  n  ->  (
x  ||  B  <->  n  ||  B
) )
102100, 101syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  =  n  ->  x  ||  B ) )
10393, 99, 1023jaod 1328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  n )  ->  x  ||  B
) )
10481, 103syl5 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  ->  x  ||  B
) )
105104imp 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  x  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } )  ->  x  ||  B )
10680, 105ssrabdv 3540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )
10766, 70, 72, 106fsumless 13844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } k  <_  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } k )
108 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  -.  n  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B } )
109 disjsn 4057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { n }
)  =  (/)  <->  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )
110108, 109sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { n }
)  =  (/) )
11173a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  =  ( {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { n } ) )
112 tpfi 7850 . . . . . . . . . . . 12  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  e.  Fin
113112a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  e.  Fin )
11480sselda 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } )  -> 
k  e.  NN )
115114nncnd 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } )  -> 
k  e.  CC )
116110, 111, 113, 115fsumsplit 13794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } k  =  ( sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  +  sum_ k  e.  { n } k ) )
1178nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )
118 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
119118sumsn 13795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN  /\  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } k  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
1208, 117, 119syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } k  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
121 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  B  ->  k  =  B )
122121sumsn 13795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  NN  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { B } k  =  B )
1231, 55, 122syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { B } k  =  B )
124120, 123oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } k  + 
sum_ k  e.  { B } k )  =  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  B
) )
125 incom 3655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { B }  i^i  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } )  =  ( { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) }  i^i  { B }
)
1269, 57gtned 9771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
127 disjsn2 4058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =/=  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( { B }  i^i  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } )  =  (/) )
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( { B }  i^i  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } )  =  (/) )
129125, 128syl5eqr 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) }  i^i  { B }
)  =  (/) )
130 df-pr 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  =  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) }  u.  { B } )
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  =  ( {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) }  u.  { B } ) )
132 prfi 7849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  e.  Fin
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  e.  Fin )
13475sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
)  ->  k  e.  NN )
135134nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
)  ->  k  e.  CC )
136129, 131, 133, 135fsumsplit 13794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  =  ( sum_ k  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) } k  +  sum_ k  e.  { B } k ) )
13787, 55mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  e.  CC )
13855, 137, 87, 88divdird 10422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
) )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B )  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
13935nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  CC )
14027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
141139, 140, 55subdird 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  ( 1  x.  B ) ) )
14255mulid2d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  B
)  =  B )
143142oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  B )  -  (
1  x.  B ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  B ) )
144141, 143eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  B ) )
145144oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B ) )  =  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  B ) ) )
146139, 55mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  e.  CC )
14755, 146pncan3d 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  -  B ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B ) )
148145, 147eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B ) )
149148oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
) )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
150139, 55, 87, 88divassd 10419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  B )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
151149, 150eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
) )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
15255, 87, 88divcan3d 10389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  B )
153152oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  ( ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  B ) )
154138, 151, 1533eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  +  B ) )
155124, 136, 1543eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
156155ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
15777nncnd 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  CC )
158 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
159158sumsn 13795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  n  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
n } k  =  n )
160157, 157, 159syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { n } k  =  n )
161156, 160oveq12d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  ( sum_ k  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  +  sum_ k  e.  {
n } k )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n ) )
162116, 161eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } k  =  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n
) )
1634nnnn0d 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
164 expp1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
16512, 163, 164sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
166 2nn 10768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN
167 nnexpcl 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
168166, 163, 167sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ A
)  e.  NN )
169168nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ A
)  e.  CC )
170 mulcom 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ A ) ) )
171169, 12, 170sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ A ) ) )
172165, 171eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ A ) ) )
173172oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  =  ( ( 2  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  B ) )
17412a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
175174, 169, 55mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2 ^ A
) )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) ) )
176 isodd7 38507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e. Odd 
<->  ( B  e.  ZZ  /\  ( 2  gcd  B
)  =  1 ) )
177 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( 2  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( 2  gcd 
B )  =  1 )
178176, 177sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e. Odd  ->  ( 2  gcd 
B )  =  1 )
1795, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  gcd  B
)  =  1 )
180 2z 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ZZ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
182 rpexp1i 14661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  e.  NN0 )  ->  (
( 2  gcd  B
)  =  1  -> 
( ( 2 ^ A )  gcd  B
)  =  1 ) )
183181, 94, 163, 182syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  gcd 
B )  =  1  ->  ( ( 2 ^ A )  gcd 
B )  =  1 ) )
184179, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ A )  gcd  B
)  =  1 )
185 sgmmul 24116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( ( 2 ^ A )  gcd  B
)  =  1 ) )  ->  ( 1 
sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B
) )  =  ( ( 1  sigma  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
186140, 168, 1, 184, 185syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) )  =  ( ( 1 
sigma  ( 2 ^ A
) )  x.  (
1  sigma  B ) ) )
187 pncan 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
18828, 27, 187sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
189188oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( A  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 2 ^ A ) )
190189oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( 2 ^ ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  sigma 
( 2 ^ A
) ) )
191 1sgm2ppw 24115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( ( A  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
19220, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( 2 ^ ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )
193190, 192eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( 2 ^ A ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )
194193oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  sigma 
( 2 ^ A
) )  x.  (
1  sigma  B ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
195186, 6, 1943eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( 2 ^ A
)  x.  B ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
196173, 175, 1953eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
197196oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  B )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1 
sigma  B ) )  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
198 1nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
199 sgmnncl 24061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  sigma  B )  e.  NN )
200198, 1, 199sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  B )  e.  NN )
201200nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  B )  e.  CC )
202201, 87, 88divcan3d 10389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) )  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( 1  sigma  B ) )
203197, 150, 2023eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  sigma  B ) )
204 sgmval 24056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B }  (
k  ^c  1 ) )
20527, 1, 204sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B }  (
k  ^c  1 ) )
206 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B } )
20767, 206sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  NN )
208207nncnd 10626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  CC )
209208cxp1d 23638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  ( k  ^c  1 )  =  k )
210209sumeq2dv 13757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B }  (
k  ^c  1 )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
k )
211203, 205, 2103eqtrrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B } k  =  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
212211ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
213107, 162, 2123brtr3d 4450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  n )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
21436, 9remulcld 9672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
215214ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
21677nnrpd 11340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  RR+ )
217215, 216ltaddrpd 11372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  <  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n ) )
21877nnred 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  RR )
219215, 218readdcld 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  n )  e.  RR )
220215, 219ltnled 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  <  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n )  <->  -.  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  n )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
221217, 220mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n
)  <_  ( (
2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
222213, 221condan 801 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  ->  n  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B } )
223 elpri 4013 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B }  ->  (
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  n  =  B ) )
224222, 223syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  -> 
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) )
225224expr 618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n 
||  B  ->  (
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  n  =  B ) ) )
226225ralrimiva 2839 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) )
2273, 58gtned 9771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =/=  1 )
228227necomd 2695 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  =/=  B )
229 1nn 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
231 1dvds 14305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  1  ||  B )
23294, 231syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  ||  B )
233 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  B  <->  1  ||  B ) )
234 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <->  1  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
235 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =  B  <->  1  =  B ) )
236234, 235orbi12d 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B )  <->  ( 1  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  1  =  B ) ) )
237233, 236imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  ||  B  ->  ( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) )  <->  ( 1 
||  B  ->  (
1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  1  =  B ) ) ) )
238237rspcv 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) )  ->  (
1  ||  B  ->  ( 1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  1  =  B ) ) ) )
239230, 226, 232, 238syl3c 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  1  =  B ) )
240239ord 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  1  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  1  =  B ) )
241240necon1ad 2640 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  =/=  B  ->  1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
242228, 241mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
243242eqeq2d 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  =  1  <-> 
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
244243orbi1d 707 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  =  1  \/  n  =  B )  <->  ( n  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) )
245244imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  ||  B  ->  ( n  =  1  \/  n  =  B ) )  <->  ( n  ||  B  ->  ( n  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) ) )
246245ralbidv 2864 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  NN  ( n  ||  B  ->  ( n  =  1  \/  n  =  B ) )  <->  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  ->  ( n  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) ) )
247226, 246mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  1  \/  n  =  B ) ) )
248 isprm2 14620 . . 3  |-  ( B  e.  Prime  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  1  \/  n  =  B ) ) ) )
24960, 247, 248sylanbrc 668 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  Prime )
250214ltp1d 10538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  <  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
251 peano2re 9807 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  RR  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
252214, 251syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
253214, 252ltnled 9783 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  <  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <->  -.  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
254250, 253mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 )  <_  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
255207nnred 10625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  RR )
256207nnnn0d 10926 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  NN0 )
257256nn0ge0d 10929 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  0  <_  k
)
258 df-tp 4001 . . . . . . . . . 10  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  =  ( { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { 1 } )
259 snssi 4141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
260229, 259mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  NN )
26175, 260unssd 3642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B }  u.  {
1 } )  C_  NN )
262258, 261syl5eqss 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  C_  NN )
263 eltpi 4041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B ,  1 }  ->  ( x  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  1 ) )
264 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
x  ||  B  <->  1  ||  B ) )
265232, 264syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  =  1  ->  x  ||  B
) )
26692, 98, 2653jaod 1328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  1 )  ->  x  ||  B ) )
267263, 266syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B , 
1 }  ->  x  ||  B ) )
268267imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B , 
1 } )  ->  x  ||  B )
269262, 268ssrabdv 3540 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )
27065, 255, 257, 269fsumless 13844 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B , 
1 } k  <_  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } k )
271270adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } k  <_  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B } k )
27255, 87, 88diveq1ad 10393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  1  <-> 
B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
273272necon3bid 2682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =/=  1  <->  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
274273biimpar 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  =/=  1 )
275274necomd 2695 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  1  =/=  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
276228adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  1  =/=  B )
277275, 276nelprd 4017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  -.  1  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B } )
278 disjsn 4057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { 1 } )  =  (/)  <->  -.  1  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )
279277, 278sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { 1 } )  =  (/) )
280258a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  =  ( { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { 1 } ) )
281 tpfi 7850 . . . . . . . . 9  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  e.  Fin
282281a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  e.  Fin )
283262adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  C_  NN )
284283sselda 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } )  ->  k  e.  NN )
285284nncnd 10626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } )  ->  k  e.  CC )
286279, 280, 282, 285fsumsplit 13794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } k  =  ( sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  +  sum_ k  e.  { 1 } k ) )
287 id 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  k  =  1 )
288287sumsn 13795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
1 } k  =  1 )
289140, 27, 288sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
1 } k  =  1 )
290155, 289oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  +  sum_ k  e.  { 1 } k )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 ) )
291290adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  +  sum_ k  e.  {
1 } k )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
292286, 291eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } k  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
293211adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
294271, 292, 2933brtr3d 4450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
295294ex 435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 )  <_  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
296295necon1bd 2642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
297254, 296mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
298249, 297jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( B  e.  Prime  /\  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   {crab 2779    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   {cpr 3998   {ctp 4000   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Fincfn 7574   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    < clt 9676    <_ cle 9677    - cmin 9861    / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   RR+crp 11303   ...cfz 11785   ^cexp 12272   sum_csu 13740    || cdvds 14293    gcd cgcd 14456   Primecprime 14610    ^c ccxp 23492    sigma csgm 24009   Odd codd 38466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-dvds 14294  df-gcd 14457  df-prm 14611  df-pc 14775  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-limc 22808  df-dv 22809  df-log 23493  df-cxp 23494  df-sgm 24015  df-even 38467  df-odd 38468
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