Theorem perfectALTVlem2 38854

Description: Lemma for perfectALTV 38855. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
perfectALTVlem.1	|- ( ph -> A e. NN )
perfectALTVlem.2	|- ( ph -> B e. NN )
perfectALTVlem.3	|- ( ph -> B e. Odd )
perfectALTVlem.4	|- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
perfectALTVlem2	|- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Proof of Theorem perfectALTVlem2

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perfectALTVlem.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. NN )
2		1re 9647	. . . . . 6 |- 1 e. RR
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
4		perfectALTVlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. NN )
5		perfectALTVlem.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. Odd )
6		perfectALTVlem.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
7	4, 1, 5, 6	perfectALTVlem1 38853	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN /\ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN ) )
8	7	simp3d 1023	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN )
9	8	nnred 10631	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR )
10	1	nnred 10631	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
11	8	nnge1d 10659	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
12		2cn 10687	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
13		exp1 12285	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
15		df-2 10675	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
16	14, 15	eqtri 2475	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
17		2re 10686	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. RR )
19		1zzd 10975	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
20	4	peano2nnd 10633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )
21	20	nnzd 11046	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )
22		1lt2 10783	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 2
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < 2 )
24	4	nnrpd 11346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR+ )
25		ltaddrp 11343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + A ) )
26	2, 24, 25	sylancr 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < ( 1 + A ) )
27		ax-1cn 9602	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
28	4	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
29		addcom 9824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
30	27, 28, 29	sylancr 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
31	26, 30	breqtrd 4430	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( A + 1 ) )
32		ltexp2a 12331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ( A + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 < 2 /\ 1 < ( A + 1 ) ) ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
33	18, 19, 21, 23, 31, 32	syl32anc 1277	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
34	16, 33	syl5eqbrr 4440	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
35	7	simp1d 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN )
36	35	nnred 10631	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR )
37	3, 3, 36	ltaddsubd 10220	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
38	34, 37	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
39		1rp 11313	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
41		peano2rem 9946	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
42	36, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
43		expgt1 12317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A + 1 ) e. NN /\ 1 < 2 ) -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
44	18, 20, 23, 43	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
45		posdif 10114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
46	2, 36, 45	sylancr 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
47	44, 46	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
48	42, 47	jca 535	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
49		elrp 11311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ <-> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
50	48, 49	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ )
51		nnrp 11318	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
52	1, 51	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR+ )
53	40, 50, 52	ltdiv2d 11371	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) ) )
54	38, 53	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) )
55	1	nncnd 10632	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
56	55	div1d 10382	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / 1 ) = B )
57	54, 56	breqtrd 4430	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < B )
58	3, 9, 10, 11, 57	lelttrd 9798	. . . 4 |- ( ph -> 1 < B )
59		eluz2b2 11238	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( B e. NN /\ 1 < B ) )
60	1, 58, 59	sylanbrc 671	. . 3 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
61		fzfid 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... B ) e. Fin )
62		sgmss 24045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) )
63	1, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) )
64		ssfi 7797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... B ) e. Fin /\ { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) ) -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
65	61, 63, 64	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
66	65	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
67		ssrab2 3516	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. NN | x || B } C_ NN
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } C_ NN )
69	68	sselda 3434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
70	69	nnred 10631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
71	69	nnnn0d 10932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
72	71	nn0ge0d 10935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
73		df-tp 3975	. . . . . . . . . . . 12 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } )
74		prssi 4131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN /\ B e. NN ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
75	8, 1, 74	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
76	75	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
77		simplrl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. NN )
78	77	snssd 4120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { n } C_ NN )
79	76, 78	unssd 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) C_ NN )
80	73, 79	syl5eqss 3478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ NN )
81		eltpi 4018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) )
82	7	simp2d 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN )
83	82	nnzd 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
84	8	nnzd 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ )
85		dvdsmul2 14337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
86	83, 84, 85	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
87	82	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. CC )
88	82	nnne0d 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) =/= 0 )
89	55, 87, 88	divcan2d 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = B )
90	86, 89	breqtrd 4430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B )
91		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( x || B <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B ) )
92	90, 91	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
93	92	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
94	1	nnzd 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. ZZ )
95		iddvds 14328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ZZ -> B || B )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B || B )
97		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( x || B <-> B || B ) )
98	96, 97	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = B -> x || B ) )
99	98	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = B -> x || B ) )
100		simplrr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n || B )
101		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( x || B <-> n || B ) )
102	100, 101	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = n -> x || B ) )
103	93, 99, 102	3jaod 1334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) -> x || B ) )
104	81, 103	syl5 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } -> x || B ) )
105	104	imp 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> x || B )
106	80, 105	ssrabdv 3510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ { x e. NN | x || B } )
107	66, 70, 72, 106	fsumless 13868	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
108		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
109		disjsn 4034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
110	108, 109	sylibr 216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) )
111	73	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) )
112		tpfi 7852	. . . . . . . . . . . 12 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin )
114	80	sselda 3434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. NN )
115	114	nncnd 10632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. CC )
116	110, 111, 113, 115	fsumsplit 13818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) )
117	8	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC )
118		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
119	118	sumsn 13819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
120	8, 117, 119	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = B -> k = B )
122	121	sumsn 13819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { B } k = B )
123	1, 55, 122	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. { B } k = B )
124	120, 123	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
125		incom 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } )
126	9, 57	gtned 9775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
127		disjsn2 4035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
129	125, 128	syl5eqr 2501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } ) = (/) )
130		df-pr 3973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } )
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } ) )
132		prfi 7851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } e. Fin
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } e. Fin )
134	75	sselda 3434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. NN )
135	134	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. CC )
136	129, 131, 133, 135	fsumsplit 13818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) )
137	87, 55	mulcld 9668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) e. CC )
138	55, 137, 87, 88	divdird 10428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
139	35	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. CC )
140	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. CC )
141	139, 140, 55	subdird 10082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) )
142	55	mulid2d 9666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
143	142	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
144	141, 143	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
145	144	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) )
146	139, 55	mulcld 9668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) e. CC )
147	55, 146	pncan3d 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
148	145, 147	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
149	148	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
150	139, 55, 87, 88	divassd 10425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
151	149, 150	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
152	55, 87, 88	divcan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = B )
153	152	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
154	138, 151, 153	3eqtr3d 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
155	124, 136, 154	3eqtr4d 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
156	155	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
157	77	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. CC )
158		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> k = n )
159	158	sumsn 13819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ n e. CC ) -> sum_ k e. { n } k = n )
160	157, 157, 159	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { n } k = n )
161	156, 160	oveq12d 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
162	116, 161	eqtrd 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
163	4	nnnn0d 10932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. NN0 )
164		expp1 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
165	12, 163, 164	sylancr 670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
166		2nn 10774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN
167		nnexpcl 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
168	166, 163, 167	sylancr 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. NN )
169	168	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. CC )
170		mulcom 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 ^ A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
171	169, 12, 170	sylancl 669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
172	165, 171	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
173	172	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) )
174	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 2 e. CC )
175	174, 169, 55	mulassd 9671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
176		isodd7 38805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. Odd <-> ( B e. ZZ /\ ( 2 gcd B ) = 1 ) )
177		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. ZZ /\ ( 2 gcd B ) = 1 ) -> ( 2 gcd B ) = 1 )
178	176, 177	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. Odd -> ( 2 gcd B ) = 1 )
179	5, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 gcd B ) = 1 )
180		2z 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ZZ
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
182		rpexp1i 14685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A e. NN0 ) -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
183	181, 94, 163, 182	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
184	179, 183	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 )
185		sgmmul 24141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 ^ A ) e. NN /\ B e. NN /\ ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) ) -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
186	140, 168, 1, 184, 185	syl13anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
187		pncan 9886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
188	28, 27, 187	sylancl 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
189	188	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 2 ^ A ) )
190	189	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) )
191		1sgm2ppw 24140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
192	20, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
193	190, 192	eqtr3d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
194	193	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
195	186, 6, 194	3eqtr3d 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
196	173, 175, 195	3eqtrd 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
197	196	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
198		1nn0 10892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN0
199		sgmnncl 24086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) e. NN )
200	198, 1, 199	sylancr 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. NN )
201	200	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. CC )
202	201, 87, 88	divcan3d 10395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( 1 sigma B ) )
203	197, 150, 202	3eqtr3d 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma B ) )
204		sgmval 24081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
205	27, 1, 204	sylancr 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
206		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. { x e. NN | x || B } )
207	67, 206	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
208	207	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. CC )
209	208	cxp1d 23663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> ( k ^c 1 ) = k )
210	209	sumeq2dv 13781	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
211	203, 205, 210	3eqtrrd 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
212	211	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
213	107, 162, 212	3brtr3d 4435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
214	36, 9	remulcld 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
215	214	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
216	77	nnrpd 11346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. RR+ )
217	215, 216	ltaddrpd 11378	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
218	77	nnred 10631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. RR )
219	215, 218	readdcld 9675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) e. RR )
220	215, 219	ltnled 9787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
221	217, 220	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
222	213, 221	condan 804	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
223		elpri 3987	. . . . . . 7 |- ( n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
224	222, 223	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
225	224	expr 620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
226	225	ralrimiva 2804	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
227	3, 58	gtned 9775	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B =/= 1 )
228	227	necomd 2681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 =/= B )
229		1nn 10627	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. NN )
231		1dvds 14329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> 1 || B )
232	94, 231	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 || B )
233		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( n || B <-> 1 || B ) )
234		eqeq1 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) <-> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
235		eqeq1 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( n = B <-> 1 = B ) )
236	234, 235	orbi12d 717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) <-> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) )
237	233, 236	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) <-> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) ) )
238	237	rspcv 3148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) -> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) ) )
239	230, 226, 232, 238	syl3c 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) )
240	239	ord 379	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 = B ) )
241	240	necon1ad 2643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 =/= B -> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
242	228, 241	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
243	242	eqeq2d 2463	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n = 1 <-> n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
244	243	orbi1d 710	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n = 1 \/ n = B ) <-> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
245	244	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
246	245	ralbidv 2829	. . . 4 |- ( ph -> ( A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
247	226, 246	mpbird 236	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) )
248		isprm2 14644	. . 3 |- ( B e. Prime <-> ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) ) )
249	60, 247, 248	sylanbrc 671	. 2 |- ( ph -> B e. Prime )
250	214	ltp1d 10544	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
251		peano2re 9811	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR )
252	214, 251	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR )
253	214, 252	ltnled 9787	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
254	250, 253	mpbid 214	. . 3 |- ( ph -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
255	207	nnred 10631	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
256	207	nnnn0d 10932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
257	256	nn0ge0d 10935	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
258		df-tp 3975	. . . . . . . . . 10 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } )
259		snssi 4119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
260	229, 259	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { 1 } C_ NN )
261	75, 260	unssd 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) C_ NN )
262	258, 261	syl5eqss 3478	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
263		eltpi 4018	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) )
264		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( x || B <-> 1 || B ) )
265	232, 264	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x = 1 -> x || B ) )
266	92, 98, 265	3jaod 1334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) -> x || B ) )
267	263, 266	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } -> x || B ) )
268	267	imp 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> x || B )
269	262, 268	ssrabdv 3510	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ { x e. NN | x || B } )
270	65, 255, 257, 269	fsumless 13868	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
271	270	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
272	55, 87, 88	diveq1ad 10399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = 1 <-> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
273	272	necon3bid 2670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 <-> B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
274	273	biimpar 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 )
275	274	necomd 2681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
276	228	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= B )
277	275, 276	nelprd 3991	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
278		disjsn 4034	. . . . . . . . 9 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
279	277, 278	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) )
280	258	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) )
281		tpfi 7852	. . . . . . . . 9 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin
282	281	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin )
283	262	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
284	283	sselda 3434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. NN )
285	284	nncnd 10632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. CC )
286	279, 280, 282, 285	fsumsplit 13818	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) )
287		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> k = 1 )
288	287	sumsn 13819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
289	140, 27, 288	sylancl 669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
290	155, 289	oveq12d 6313	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
291	290	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
292	286, 291	eqtrd 2487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
293	211	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
294	271, 292, 293	3brtr3d 4435	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
295	294	ex 436	. . . 4 |- ( ph -> ( B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
296	295	necon1bd 2644	. . 3 |- ( ph -> ( -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
297	254, 296	mpd 15	. 2 |- ( ph -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
298	249, 297	jca 535	1 |- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   \/ w3o 985   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   {crab 2743   u. cun 3404   i^i cin 3405   C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   {cpr 3972   {ctp 3974   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   x. cmul 9549   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   ...cfz 11791   ^cexp 12279   sum_csu 13764   || cdvds 14317   gcd cgcd 14480   Primecprime 14634   ^c ccxp 23517   sigma csgm 24034   Odd codd 38764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-dvds 14318  df-gcd 14481  df-prm 14635  df-pc 14799  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-cxp 23519  df-sgm 24040  df-even 38765  df-odd 38766

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