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Theorem perfectALTVlem2 38989
Description: Lemma for perfectALTV 38990. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectALTVlem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
perfectALTVlem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
perfectALTVlem.3  |-  ( ph  ->  B  e. Odd  )
perfectALTVlem.4  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
perfectALTVlem2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  Prime  /\  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )

Proof of Theorem perfectALTVlem2
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perfectALTVlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
2 1re 9660 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4 perfectALTVlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
5 perfectALTVlem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e. Odd  )
6 perfectALTVlem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  B
) ) )
74, 1, 5, 6perfectALTVlem1 38988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN  /\  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN  /\  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN ) )
87simp3d 1044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN )
98nnred 10646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  RR )
101nnred 10646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
118nnge1d 10674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
12 2cn 10702 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
13 exp1 12316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
15 df-2 10690 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1614, 15eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
17 2re 10701 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
19 1zzd 10992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
204peano2nnd 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2120nnzd 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
22 1lt2 10799 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
244nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
25 ltaddrp 11359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
1  <  ( 1  +  A ) )
262, 24, 25sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  +  A ) )
27 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
284nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
29 addcom 9837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
3027, 28, 29sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
3126, 30breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( A  +  1 ) )
32 ltexp2a 12362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  e.  ZZ  /\  ( A  +  1
)  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  2  /\  1  < 
( A  +  1 ) ) )  -> 
( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
3318, 19, 21, 23, 31, 32syl32anc 1300 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
3416, 33syl5eqbrr 4430 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
357simp1d 1042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
3635nnred 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )
373, 3, 36ltaddsubd 10234 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  <  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  <->  1  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
3834, 37mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
39 1rp 11329 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
41 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
4236, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
43 expgt1 12348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  NN  /\  1  <  2 )  -> 
1  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
4418, 20, 23, 43syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
45 posdif 10128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  <->  0  <  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
462, 36, 45sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
4744, 46mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
4842, 47jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
49 elrp 11327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR+  <->  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
5048, 49sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR+ )
51 nnrp 11334 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
521, 51syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
5340, 50, 52ltdiv2d 11387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  <-> 
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  ( B  /  1 ) ) )
5438, 53mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  ( B  /  1 ) )
551nncnd 10647 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5655div1d 10397 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  /  1
)  =  B )
5754, 56breqtrd 4420 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  B )
583, 9, 10, 11, 57lelttrd 9810 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  <  B )
59 eluz2b2 11254 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( B  e.  NN  /\  1  < 
B ) )
601, 58, 59sylanbrc 677 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
61 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... B
)  e.  Fin )
62 sgmss 24112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  ( 1 ... B ) )
631, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  ( 1 ... B
) )
64 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... B
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  ( 1 ... B
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  e.  Fin )
6561, 63, 64syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  e.  Fin )
6665ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  e.  Fin )
67 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  NN
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  NN )
6968sselda 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  k  e.  NN )
7069nnred 10646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  k  e.  RR )
7169nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  k  e.  NN0 )
7271nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  0  <_  k )
73 df-tp 3964 . . . . . . . . . . . 12  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  =  ( {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { n } )
74 prssi 4119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  C_  NN )
758, 1, 74syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  C_  NN )
7675ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  C_  NN )
77 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  NN )
7877snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { n }  C_  NN )
7976, 78unssd 3601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { n } )  C_  NN )
8073, 79syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  C_  NN )
81 eltpi 4007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B ,  n }  ->  ( x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  n ) )
827simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
8382nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
848nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  ZZ )
85 dvdsmul2 14402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ||  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
8683, 84, 85syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ||  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
8782nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
8882nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  =/=  0 )
8955, 87, 88divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  =  B )
9086, 89breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ||  B )
91 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
x  ||  B  <->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  ||  B ) )
9290, 91syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  x  ||  B
) )
9392ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  ->  x  ||  B ) )
941nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
95 iddvds 14393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  ||  B )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  ||  B )
97 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
x  ||  B  <->  B  ||  B
) )
9896, 97syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  =  B  ->  x  ||  B
) )
9998ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  =  B  ->  x  ||  B ) )
100 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  ||  B )
101 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  n  ->  (
x  ||  B  <->  n  ||  B
) )
102100, 101syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  =  n  ->  x  ||  B ) )
10393, 99, 1023jaod 1358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  n )  ->  x  ||  B
) )
10481, 103syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  ->  x  ||  B
) )
105104imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  x  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } )  ->  x  ||  B )
10680, 105ssrabdv 3494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )
10766, 70, 72, 106fsumless 13933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } k  <_  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } k )
108 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  -.  n  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B } )
109 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { n }
)  =  (/)  <->  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )
110108, 109sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { n }
)  =  (/) )
11173a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  =  ( {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { n } ) )
112 tpfi 7865 . . . . . . . . . . . 12  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  e.  Fin
113112a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  e.  Fin )
11480sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } )  -> 
k  e.  NN )
115114nncnd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } )  -> 
k  e.  CC )
116110, 111, 113, 115fsumsplit 13883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } k  =  ( sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  +  sum_ k  e.  { n } k ) )
1178nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
119118sumsn 13884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN  /\  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } k  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
1208, 117, 119syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } k  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
121 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  B  ->  k  =  B )
122121sumsn 13884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  NN  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { B } k  =  B )
1231, 55, 122syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { B } k  =  B )
124120, 123oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } k  + 
sum_ k  e.  { B } k )  =  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  B
) )
125 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { B }  i^i  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } )  =  ( { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) }  i^i  { B }
)
1269, 57gtned 9787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
127 disjsn2 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =/=  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( { B }  i^i  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } )  =  (/) )
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( { B }  i^i  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } )  =  (/) )
129125, 128syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) }  i^i  { B }
)  =  (/) )
130 df-pr 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  =  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) }  u.  { B } )
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  =  ( {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) }  u.  { B } ) )
132 prfi 7864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  e.  Fin
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  e.  Fin )
13475sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
)  ->  k  e.  NN )
135134nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
)  ->  k  e.  CC )
136129, 131, 133, 135fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  =  ( sum_ k  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) } k  +  sum_ k  e.  { B } k ) )
13787, 55mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  e.  CC )
13855, 137, 87, 88divdird 10443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
) )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B )  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
13935nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  CC )
14027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
141139, 140, 55subdird 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  ( 1  x.  B ) ) )
14255mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  B
)  =  B )
143142oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  B )  -  (
1  x.  B ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  B ) )
144141, 143eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  B ) )
145144oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B ) )  =  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  B ) ) )
146139, 55mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  e.  CC )
14755, 146pncan3d 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  -  B ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B ) )
148145, 147eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B ) )
149148oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
) )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
150139, 55, 87, 88divassd 10440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  B )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
151149, 150eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
) )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
15255, 87, 88divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  B )
153152oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  ( ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  B ) )
154138, 151, 1533eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  +  B ) )
155124, 136, 1543eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
156155ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
15777nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  CC )
158 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
159158sumsn 13884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  n  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
n } k  =  n )
160157, 157, 159syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { n } k  =  n )
161156, 160oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  ( sum_ k  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  +  sum_ k  e.  {
n } k )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n ) )
162116, 161eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } k  =  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n
) )
1634nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
164 expp1 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
16512, 163, 164sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
166 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN
167 nnexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
168166, 163, 167sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ A
)  e.  NN )
169168nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ A
)  e.  CC )
170 mulcom 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ A ) ) )
171169, 12, 170sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ A ) ) )
172165, 171eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ A ) ) )
173172oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  =  ( ( 2  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  B ) )
17412a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
175174, 169, 55mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2 ^ A
) )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) ) )
176 isodd7 38940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e. Odd 
<->  ( B  e.  ZZ  /\  ( 2  gcd  B
)  =  1 ) )
177 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( 2  gcd  B
)  =  1 )  ->  ( 2  gcd 
B )  =  1 )
178176, 177sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e. Odd  ->  ( 2  gcd 
B )  =  1 )
1795, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  gcd  B
)  =  1 )
180 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ZZ
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
182 rpexp1i 14752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  e.  NN0 )  ->  (
( 2  gcd  B
)  =  1  -> 
( ( 2 ^ A )  gcd  B
)  =  1 ) )
183181, 94, 163, 182syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  gcd 
B )  =  1  ->  ( ( 2 ^ A )  gcd 
B )  =  1 ) )
184179, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ A )  gcd  B
)  =  1 )
185 sgmmul 24208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( ( 2 ^ A )  gcd  B
)  =  1 ) )  ->  ( 1 
sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B
) )  =  ( ( 1  sigma  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
186140, 168, 1, 184, 185syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) )  =  ( ( 1 
sigma  ( 2 ^ A
) )  x.  (
1  sigma  B ) ) )
187 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
18828, 27, 187sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
189188oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( A  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 2 ^ A ) )
190189oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( 2 ^ ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  sigma 
( 2 ^ A
) ) )
191 1sgm2ppw 24207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( ( A  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
19220, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( 2 ^ ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )
193190, 192eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( 2 ^ A ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )
194193oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  sigma 
( 2 ^ A
) )  x.  (
1  sigma  B ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
195186, 6, 1943eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( 2 ^ A
)  x.  B ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
196173, 175, 1953eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
197196oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  B )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1 
sigma  B ) )  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
198 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
199 sgmnncl 24153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  sigma  B )  e.  NN )
200198, 1, 199sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  B )  e.  NN )
201200nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  B )  e.  CC )
202201, 87, 88divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) )  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( 1  sigma  B ) )
203197, 150, 2023eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  sigma  B ) )
204 sgmval 24148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B }  (
k  ^c  1 ) )
20527, 1, 204sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B }  (
k  ^c  1 ) )
206 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B } )
20767, 206sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  NN )
208207nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  CC )
209208cxp1d 23730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  ( k  ^c  1 )  =  k )
210209sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B }  (
k  ^c  1 )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
k )
211203, 205, 2103eqtrrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B } k  =  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
212211ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
213107, 162, 2123brtr3d 4425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  n )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
21436, 9remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
215214ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
21677nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  RR+ )
217215, 216ltaddrpd 11394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  <  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n ) )
21877nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  RR )
219215, 218readdcld 9688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  n )  e.  RR )
220215, 219ltnled 9799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  <  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n )  <->  -.  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  n )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
221217, 220mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n
)  <_  ( (
2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
222213, 221condan 811 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  ->  n  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B } )
223 elpri 3976 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B }  ->  (
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  n  =  B ) )
224222, 223syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  -> 
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) )
225224expr 626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n 
||  B  ->  (
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  n  =  B ) ) )
226225ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) )
2273, 58gtned 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =/=  1 )
228227necomd 2698 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  =/=  B )
229 1nn 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
231 1dvds 14394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  1  ||  B )
23294, 231syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  ||  B )
233 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  B  <->  1  ||  B ) )
234 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <->  1  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
235 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =  B  <->  1  =  B ) )
236234, 235orbi12d 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B )  <->  ( 1  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  1  =  B ) ) )
237233, 236imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  ||  B  ->  ( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) )  <->  ( 1 
||  B  ->  (
1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  1  =  B ) ) ) )
238237rspcv 3132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) )  ->  (
1  ||  B  ->  ( 1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  1  =  B ) ) ) )
239230, 226, 232, 238syl3c 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  1  =  B ) )
240239ord 384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  1  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  1  =  B ) )
241240necon1ad 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  =/=  B  ->  1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
242228, 241mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
243242eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  =  1  <-> 
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
244243orbi1d 717 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  =  1  \/  n  =  B )  <->  ( n  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) )
245244imbi2d 323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  ||  B  ->  ( n  =  1  \/  n  =  B ) )  <->  ( n  ||  B  ->  ( n  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) ) )
246245ralbidv 2829 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  NN  ( n  ||  B  ->  ( n  =  1  \/  n  =  B ) )  <->  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  ->  ( n  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) ) )
247226, 246mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  1  \/  n  =  B ) ) )
248 isprm2 14711 . . 3  |-  ( B  e.  Prime  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  1  \/  n  =  B ) ) ) )
24960, 247, 248sylanbrc 677 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  Prime )
250214ltp1d 10559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  <  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
251 peano2re 9824 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  RR  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
252214, 251syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
253214, 252ltnled 9799 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  <  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <->  -.  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
254250, 253mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 )  <_  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
255207nnred 10646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  RR )
256207nnnn0d 10949 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  NN0 )
257256nn0ge0d 10952 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  0  <_  k
)
258 df-tp 3964 . . . . . . . . . 10  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  =  ( { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { 1 } )
259 snssi 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
260229, 259mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  NN )
26175, 260unssd 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B }  u.  {
1 } )  C_  NN )
262258, 261syl5eqss 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  C_  NN )
263 eltpi 4007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B ,  1 }  ->  ( x  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  1 ) )
264 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
x  ||  B  <->  1  ||  B ) )
265232, 264syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  =  1  ->  x  ||  B
) )
26692, 98, 2653jaod 1358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  1 )  ->  x  ||  B ) )
267263, 266syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B , 
1 }  ->  x  ||  B ) )
268267imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B , 
1 } )  ->  x  ||  B )
269262, 268ssrabdv 3494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )
27065, 255, 257, 269fsumless 13933 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B , 
1 } k  <_  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } k )
271270adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } k  <_  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B } k )
27255, 87, 88diveq1ad 10414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  1  <-> 
B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
273272necon3bid 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =/=  1  <->  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
274273biimpar 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  =/=  1 )
275274necomd 2698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  1  =/=  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
276228adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  1  =/=  B )
277275, 276nelprd 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  -.  1  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B } )
278 disjsn 4023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { 1 } )  =  (/)  <->  -.  1  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )
279277, 278sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { 1 } )  =  (/) )
280258a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  =  ( { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { 1 } ) )
281 tpfi 7865 . . . . . . . . 9  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  e.  Fin
282281a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  e.  Fin )
283262adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  C_  NN )
284283sselda 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } )  ->  k  e.  NN )
285284nncnd 10647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } )  ->  k  e.  CC )
286279, 280, 282, 285fsumsplit 13883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } k  =  ( sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  +  sum_ k  e.  { 1 } k ) )
287 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  k  =  1 )
288287sumsn 13884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
1 } k  =  1 )
289140, 27, 288sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
1 } k  =  1 )
290155, 289oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  +  sum_ k  e.  { 1 } k )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 ) )
291290adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  +  sum_ k  e.  {
1 } k )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
292286, 291eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } k  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
293211adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
294271, 292, 2933brtr3d 4425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
295294ex 441 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 )  <_  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
296295necon1bd 2661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
297254, 296mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
298249, 297jca 541 1  |-  ( ph  ->  ( B  e.  Prime  /\  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   {ctp 3963   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   ^cexp 12310   sum_csu 13829    || cdvds 14382    gcd cgcd 14547   Primecprime 14701    ^c ccxp 23584    sigma csgm 24101   Odd codd 38899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-sgm 24107  df-even 38900  df-odd 38901
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