Theorem perfdvf 22856

Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
perfdvf.1	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
perfdvf	|- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf

Dummy variables f s x z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 22820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. ( dom f \ { x } ) |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
2	1	dmmpt2ssx 6872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom _D C_ U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) )
3		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. dom _D )
4	2, 3	sseldi 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
5		oveq2 6313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
6	5	opeliunxp2 4992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) <-> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
7	4, 6	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
8	7	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
9		cnex 9627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
10	7	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S e. ~P CC )
11		elpm2g 7499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( CC e. _V /\ S e. ~P CC ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
12	9, 10, 11	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
13	8, 12	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
14	13	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F : dom F --> CC )
15	14	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
16	2	sseli 3460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
17	16, 6	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
18	17	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> F e. ( CC ^pm S ) )
19	17	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> S e. ~P CC )
20	9, 19, 11	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
21	18, 20	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
22	21	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> dom F C_ S )
23	22	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ S )
24	10	elpwid 3991	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S C_ CC )
25	23, 24	sstrd 3474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ CC )
26	25	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
27		perfdvf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
28	27	cnfldtopon 21801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- K e. (TopOn ` CC )
29		resttopon 20175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
30	28, 24, 29	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
31		topontop 19939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
33		toponuni 19940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
35	23, 34	sseqtrd 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ U. ( K ↾t S ) )
36		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
37	36	ntrss2 20070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
38	32, 35, 37	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
39	38	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
40	15, 26, 39	dvlem 22849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. ( dom F \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
41		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
42	40, 41	fmptd 6061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : ( dom F \ { x } ) --> CC )
43	26	ssdifssd 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( dom F \ { x } ) C_ CC )
44	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
45	36	ntrss3 20073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
46	32, 35, 45	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
47	46, 34	sseqtr4d 3501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
48		restabs 20179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S /\ S e. ~P CC ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
49	44, 47, 10, 48	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
50		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Perf )
51	36	ntropn 20062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
52	32, 35, 51	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
53		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
54	36, 53	perfopn 20199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Perf /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
55	50, 52, 54	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
56	49, 55	eqeltrrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
57	27	cnfldtop 21802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K e. Top
58	47, 24	sstrd 3474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC )
59	28	toponunii 19945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC = U. K
60		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
61	59, 60	restperf 20198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Top /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
62	57, 58, 61	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
63	56, 62	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
64	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. Top )
65	59	lpss3 20158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
66	64, 25, 38, 65	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
67	63, 66	sstrd 3474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
68	67	sselda 3464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
69	59	lpdifsn 20157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
70	57, 26, 69	sylancr 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
71	68, 70	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) )
72	42, 43, 71, 27	limcmo 22835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
73	72	ex 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
74		moanimv 2330	. . . . . . . . 9 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
75	73, 74	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
76		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
77	76, 27, 41, 24, 14, 23	eldv 22851	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
78	77	mobidv 2290	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
79	75, 78	mpbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y x ( S _D F ) y )
80	79	alrimiv 1767	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
81		reldv 22823	. . . . . . 7 |- Rel ( S _D F )
82		dffun6 5616	. . . . . . 7 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
83	81, 82	mpbiran 926	. . . . . 6 |- ( Fun ( S _D F ) <-> A. x E* y x ( S _D F ) y )
84	80, 83	sylibr 215	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> Fun ( S _D F ) )
85		funfn 5630	. . . . 5 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
86	84, 85	sylib 199	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
87		vex 3083	. . . . . . 7 |- y e. _V
88	87	elrn 5094	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
89	24, 14, 23	dvcl 22852	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
90	89	ex 435	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
91	90	exlimdv 1772	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
92	88, 91	syl5bi 220	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
93	92	ssrdv 3470	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
94		df-f 5605	. . . 4 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
95	86, 93, 94	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
96	95	ex 435	. 2 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
97		f0 5781	. . . 4 |- (/) : (/) --> CC
98		df-ov 6308	. . . . . 6 |- ( S _D F ) = ( _D ` <. S , F >. )
99		ndmfv 5905	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( _D ` <. S , F >. ) = (/) )
100	98, 99	syl5eq 2475	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) = (/) )
101	100	dmeqd 5056	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = dom (/) )
102		dm0 5067	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
103	101, 102	syl6eq 2479	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = (/) )
104	100, 103	feq12d 5735	. . . 4 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> (/) : (/) --> CC ) )
105	97, 104	mpbiri 236	. . 3 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
106	105	a1d 26	. 2 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
107	96, 106	pm2.61i 167	1 |- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   E*wmo 2270   _Vcvv 3080   \ cdif 3433   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   {csn 3998   <.cop 4004   U.cuni 4219   U_ciun 4299   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482   X. cxp 4851   dom cdm 4853   ran crn 4854   Rel wrel 4858   Fun wfun 5595   Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ^pm cpm 7484   CCcc 9544   - cmin 9867   / cdiv 10276   ↾_t crest 15318   TopOpenctopn 15319  ℂ_fldccnfld 18969   Topctop 19915  TopOnctopon 19916   intcnt 20030   limPtclp 20148  Perfcperf 20149   lim CC climc 22815   _D cdv 22816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-rest 15320  df-topn 15321  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-limc 22819  df-dv 22820

This theorem is referenced by:  dvfg  22859