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Theorem perfdvf 19743
Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
perfdvf.1  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
perfdvf  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf
Dummy variables  f 
s  x  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 19707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _D  =  ( s  e.  ~P CC ,  f  e.  ( CC  ^pm  s ) 
|->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  s ) ) `
 dom  f )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( dom  f  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) )
21dmmpt2ssx 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  _D  C_ 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )
3 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  )
42, 3sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
5 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^pm  s )  =  ( CC  ^pm  S
) )
65opeliunxp2 4972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )  <->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) ) )
74, 6sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
) )
87simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
9 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
107simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  e.  ~P CC )
11 elpm2g 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
129, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) ) )
138, 12mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) )
1413simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F : dom  F --> CC )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> CC )
162sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. S ,  F >.  e.  U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
1716, 6sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) )
1817simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
1917simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
~P CC )
209, 19, 11sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2118, 20mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2221simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  F  C_  S )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  S
)
2410elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  C_  CC )
2523, 24sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  CC )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  CC )
27 perfdvf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2827cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
29 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3028, 24, 29sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
31 topontop 16946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
33 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3523, 34sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
3736ntrss2 17076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
3832, 35, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
3938sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
4015, 26, 39dvlem 19736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  /\  z  e.  ( dom  F 
\  { x }
) )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
41 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4240, 41fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) : ( dom 
F  \  { x } ) --> CC )
4326ssdifssd 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( dom  F  \  {
x } )  C_  CC )
4428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
4536ntrss3 17079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4632, 35, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4746, 34sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S
)
48 restabs 17183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
4944, 47, 10, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
50 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e. Perf )
5136ntropn 17068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
5232, 35, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
53 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
5436, 53perfopn 17203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Kt  S )  e. Perf  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )  -> 
( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5550, 52, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5649, 55eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5727cnfldtop 18771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e. 
Top
5847, 24sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )
5928toponunii 16952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  =  U. K
60 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
6159, 60restperf 17202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6257, 58, 61sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
)  C_  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6356, 62mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
6457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  Top )
6559lpss3 17163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )  ->  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  C_  ( ( limPt `  K
) `  dom  F ) )
6664, 25, 38, 65syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( limPt `  K
) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
) )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6763, 66sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6867sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6959lpdifsn 17162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7057, 26, 69sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7168, 70mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  ( dom  F  \  {
x } ) ) )
7242, 43, 71, 27limcmo 19722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  E* y  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
7372ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
74 moanimv 2312 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
7573, 74sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
76 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
7776, 27, 41, 24, 14, 23eldv 19738 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
7877mobidv 2289 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E* y  x ( S  _D  F
) y  <->  E* y
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
7975, 78mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y  x ( S  _D  F ) y )
8079alrimiv 1638 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
81 reldv 19710 . . . . . . 7  |-  Rel  ( S  _D  F )
82 dffun6 5428 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( Rel  ( S  _D  F )  /\  A. x E* y  x ( S  _D  F
) y ) )
8381, 82mpbiran 885 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
8480, 83sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  Fun  ( S  _D  F ) )
85 funfn 5441 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( S  _D  F )  Fn  dom  ( S  _D  F
) )
8684, 85sylib 189 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
87 vex 2919 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
8887elrn 5069 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( S  _D  F )  <->  E. x  x ( S  _D  F ) y )
8924, 14, 23dvcl 19739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
9089ex 424 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  ->  y  e.  CC ) )
9190exlimdv 1643 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E. x  x ( S  _D  F
) y  ->  y  e.  CC ) )
9288, 91syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( y  e.  ran  ( S  _D  F
)  ->  y  e.  CC ) )
9392ssrdv 3314 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ran  ( S  _D  F )  C_  CC )
94 df-f 5417 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
)
9586, 93, 94sylanbrc 646 . . 3  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
9695ex 424 . 2  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
97 f0 5586 . . . 4  |-  (/) : (/) --> CC
98 df-ov 6043 . . . . . 6  |-  ( S  _D  F )  =  (  _D  `  <. S ,  F >. )
99 ndmfv 5714 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  (  _D 
`  <. S ,  F >. )  =  (/) )
10098, 99syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F )  =  (/) )
101100dmeqd 5031 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  (/) )
102 dm0 5042 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
103101, 102syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  (/) )
104100, 103feq12d 5541 . . . 4  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  (/) :
(/) --> CC ) )
10597, 104mpbiri 225 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
106105a1d 23 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
10796, 106pm2.61i 158 1  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2255   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^pm cpm 6978   CCcc 8944    - cmin 9247    / cdiv 9633   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   intcnt 17036   limPtclp 17153  Perfcperf 17154   lim CC climc 19702    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvfg  19746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706  df-dv 19707
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