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Theorem perfdvf 22914
Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
perfdvf.1  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
perfdvf  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf
Dummy variables  f 
s  x  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 22878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _D  =  ( s  e.  ~P CC ,  f  e.  ( CC  ^pm  s ) 
|->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  s ) ) `
 dom  f )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( dom  f  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) )
21dmmpt2ssx 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  _D  C_ 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )
3 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  )
42, 3sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
5 oveq2 6328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^pm  s )  =  ( CC  ^pm  S
) )
65opeliunxp2 4995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )  <->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) ) )
74, 6sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
) )
87simprd 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
9 cnex 9651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
107simpld 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  e.  ~P CC )
11 elpm2g 7519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
129, 10, 11sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) ) )
138, 12mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) )
1413simpld 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F : dom  F --> CC )
1514adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> CC )
162sseli 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. S ,  F >.  e.  U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
1716, 6sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) )
1817simprd 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
1917simpld 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
~P CC )
209, 19, 11sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2118, 20mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2221simprd 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  F  C_  S )
2322adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  S
)
2410elpwid 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  C_  CC )
2523, 24sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  CC )
2625adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  CC )
27 perfdvf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2827cnfldtopon 21858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
29 resttopon 20232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3028, 24, 29sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
31 topontop 19996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
33 toponuni 19997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3523, 34sseqtrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )
36 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
3736ntrss2 20127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
3832, 35, 37syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
3938sselda 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
4015, 26, 39dvlem 22907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  /\  z  e.  ( dom  F 
\  { x }
) )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
41 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4240, 41fmptd 6074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) : ( dom 
F  \  { x } ) --> CC )
4326ssdifssd 3583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( dom  F  \  {
x } )  C_  CC )
4428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
4536ntrss3 20130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4632, 35, 45syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4746, 34sseqtr4d 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S
)
48 restabs 20236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
4944, 47, 10, 48syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
50 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e. Perf )
5136ntropn 20119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
5232, 35, 51syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
53 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
5436, 53perfopn 20256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Kt  S )  e. Perf  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )  -> 
( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5550, 52, 54syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5649, 55eqeltrrd 2541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5727cnfldtop 21859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e. 
Top
5847, 24sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )
5928toponunii 20002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  =  U. K
60 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
6159, 60restperf 20255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6257, 58, 61sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
)  C_  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6356, 62mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
6457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  Top )
6559lpss3 20215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )  ->  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  C_  ( ( limPt `  K
) `  dom  F ) )
6664, 25, 38, 65syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( limPt `  K
) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
) )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6763, 66sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6867sselda 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6959lpdifsn 20214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7057, 26, 69sylancr 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7168, 70mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  ( dom  F  \  {
x } ) ) )
7242, 43, 71, 27limcmo 22893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  E* y  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
7372ex 440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
74 moanimv 2371 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
7573, 74sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
76 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
7776, 27, 41, 24, 14, 23eldv 22909 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
7877mobidv 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E* y  x ( S  _D  F
) y  <->  E* y
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
7975, 78mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y  x ( S  _D  F ) y )
8079alrimiv 1784 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
81 reldv 22881 . . . . . . 7  |-  Rel  ( S  _D  F )
82 dffun6 5620 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( Rel  ( S  _D  F )  /\  A. x E* y  x ( S  _D  F
) y ) )
8381, 82mpbiran 934 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
8480, 83sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  Fun  ( S  _D  F ) )
85 funfn 5634 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( S  _D  F )  Fn  dom  ( S  _D  F
) )
8684, 85sylib 201 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
87 vex 3060 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
8887elrn 5097 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( S  _D  F )  <->  E. x  x ( S  _D  F ) y )
8924, 14, 23dvcl 22910 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
9089ex 440 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  ->  y  e.  CC ) )
9190exlimdv 1790 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E. x  x ( S  _D  F
) y  ->  y  e.  CC ) )
9288, 91syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( y  e.  ran  ( S  _D  F
)  ->  y  e.  CC ) )
9392ssrdv 3450 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ran  ( S  _D  F )  C_  CC )
94 df-f 5609 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
)
9586, 93, 94sylanbrc 675 . . 3  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
9695ex 440 . 2  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
97 f0 5791 . . . 4  |-  (/) : (/) --> CC
98 df-ov 6323 . . . . . 6  |-  ( S  _D  F )  =  (  _D  `  <. S ,  F >. )
99 ndmfv 5916 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  (  _D 
`  <. S ,  F >. )  =  (/) )
10098, 99syl5eq 2508 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F )  =  (/) )
101100dmeqd 5059 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  (/) )
102 dm0 5070 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
103101, 102syl6eq 2512 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  (/) )
104100, 103feq12d 5743 . . . 4  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  (/) :
(/) --> CC ) )
10597, 104mpbiri 241 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
106105a1d 26 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
10796, 106pm2.61i 169 1  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1453    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   E*wmo 2311   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   <.cop 3986   U.cuni 4212   U_ciun 4292   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477    X. cxp 4854   dom cdm 4856   ran crn 4857   Rel wrel 4861   Fun wfun 5599    Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    ^pm cpm 7504   CCcc 9568    - cmin 9891    / cdiv 10302   ↾t crest 15374   TopOpenctopn 15375  ℂfldccnfld 19025   Topctop 19972  TopOnctopon 19973   intcnt 20087   limPtclp 20205  Perfcperf 20206   lim CC climc 22873    _D cdv 22874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-icc 11676  df-fz 11820  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-rest 15376  df-topn 15377  df-topgen 15397  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-cnfld 19026  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-lp 20207  df-perf 20208  df-cnp 20299  df-haus 20386  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-xms 21390  df-ms 21391  df-limc 22877  df-dv 22878
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