Theorem perfdvf 19743

Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
perfdvf.1	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
perfdvf	|- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf

Dummy variables f s x z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 19707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. ( dom f \ { x } ) |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
2	1	dmmpt2ssx 6375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom _D C_ U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) )
3		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. dom _D )
4	2, 3	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
5		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
6	5	opeliunxp2 4972	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) <-> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
7	4, 6	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
8	7	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
9		cnex 9027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
10	7	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S e. ~P CC )
11		elpm2g 6992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( CC e. _V /\ S e. ~P CC ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
12	9, 10, 11	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
13	8, 12	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
14	13	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F : dom F --> CC )
15	14	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
16	2	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
17	16, 6	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
18	17	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> F e. ( CC ^pm S ) )
19	17	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> S e. ~P CC )
20	9, 19, 11	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
21	18, 20	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
22	21	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> dom F C_ S )
23	22	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ S )
24	10	elpwid 3768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S C_ CC )
25	23, 24	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ CC )
26	25	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
27		perfdvf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
28	27	cnfldtopon 18770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- K e. (TopOn ` CC )
29		resttopon 17179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
30	28, 24, 29	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
31		topontop 16946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
33		toponuni 16947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
35	23, 34	sseqtrd 3344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ U. ( K ↾t S ) )
36		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
37	36	ntrss2 17076	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
38	32, 35, 37	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
39	38	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
40	15, 26, 39	dvlem 19736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. ( dom F \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
41		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
42	40, 41	fmptd 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : ( dom F \ { x } ) --> CC )
43	26	ssdifssd 3445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( dom F \ { x } ) C_ CC )
44	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
45	36	ntrss3 17079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
46	32, 35, 45	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
47	46, 34	sseqtr4d 3345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
48		restabs 17183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S /\ S e. ~P CC ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
49	44, 47, 10, 48	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
50		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Perf )
51	36	ntropn 17068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
52	32, 35, 51	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
53		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
54	36, 53	perfopn 17203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Perf /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
55	50, 52, 54	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
56	49, 55	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
57	27	cnfldtop 18771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K e. Top
58	47, 24	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC )
59	28	toponunii 16952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC = U. K
60		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
61	59, 60	restperf 17202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Top /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
62	57, 58, 61	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
63	56, 62	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
64	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. Top )
65	59	lpss3 17163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
66	64, 25, 38, 65	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
67	63, 66	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
68	67	sselda 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
69	59	lpdifsn 17162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
70	57, 26, 69	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
71	68, 70	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) )
72	42, 43, 71, 27	limcmo 19722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
73	72	ex 424	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
74		moanimv 2312	. . . . . . . . 9 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
75	73, 74	sylibr 204	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
76		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
77	76, 27, 41, 24, 14, 23	eldv 19738	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
78	77	mobidv 2289	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
79	75, 78	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y x ( S _D F ) y )
80	79	alrimiv 1638	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
81		reldv 19710	. . . . . . 7 |- Rel ( S _D F )
82		dffun6 5428	. . . . . . 7 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
83	81, 82	mpbiran 885	. . . . . 6 |- ( Fun ( S _D F ) <-> A. x E* y x ( S _D F ) y )
84	80, 83	sylibr 204	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> Fun ( S _D F ) )
85		funfn 5441	. . . . 5 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
86	84, 85	sylib 189	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
87		vex 2919	. . . . . . 7 |- y e. _V
88	87	elrn 5069	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
89	24, 14, 23	dvcl 19739	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
90	89	ex 424	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
91	90	exlimdv 1643	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
92	88, 91	syl5bi 209	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
93	92	ssrdv 3314	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
94		df-f 5417	. . . 4 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
95	86, 93, 94	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
96	95	ex 424	. 2 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
97		f0 5586	. . . 4 |- (/) : (/) --> CC
98		df-ov 6043	. . . . . 6 |- ( S _D F ) = ( _D ` <. S , F >. )
99		ndmfv 5714	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( _D ` <. S , F >. ) = (/) )
100	98, 99	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) = (/) )
101	100	dmeqd 5031	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = dom (/) )
102		dm0 5042	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
103	101, 102	syl6eq 2452	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = (/) )
104	100, 103	feq12d 5541	. . . 4 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> (/) : (/) --> CC ) )
105	97, 104	mpbiri 225	. . 3 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
106	105	a1d 23	. 2 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
107	96, 106	pm2.61i 158	1 |- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E*wmo 2255   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ^pm cpm 6978   CCcc 8944   - cmin 9247   / cdiv 9633   ↾_t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂ_fldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   intcnt 17036   limPtclp 17153  Perfcperf 17154   lim CC climc 19702   _D cdv 19703

This theorem is referenced by:  dvfg  19746

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706  df-dv 19707