Theorem perfdvf 22175

Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
perfdvf.1	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
perfdvf	|- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf

Dummy variables f s x z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 22139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. ( dom f \ { x } ) |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
2	1	dmmpt2ssx 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom _D C_ U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) )
3		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. dom _D )
4	2, 3	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
5		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
6	5	opeliunxp2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) <-> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
7	4, 6	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
8	7	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
9		cnex 9585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
10	7	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S e. ~P CC )
11		elpm2g 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( CC e. _V /\ S e. ~P CC ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
12	9, 10, 11	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
13	8, 12	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
14	13	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F : dom F --> CC )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
16	2	sseli 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
17	16, 6	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
18	17	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> F e. ( CC ^pm S ) )
19	17	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> S e. ~P CC )
20	9, 19, 11	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
21	18, 20	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
22	21	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> dom F C_ S )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ S )
24	10	elpwid 4026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S C_ CC )
25	23, 24	sstrd 3519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ CC )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
27		perfdvf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
28	27	cnfldtopon 21158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- K e. (TopOn ` CC )
29		resttopon 19530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
30	28, 24, 29	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
31		topontop 19296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
33		toponuni 19297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
35	23, 34	sseqtrd 3545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ U. ( K ↾t S ) )
36		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
37	36	ntrss2 19426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
38	32, 35, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
39	38	sselda 3509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
40	15, 26, 39	dvlem 22168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. ( dom F \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
41		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
42	40, 41	fmptd 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : ( dom F \ { x } ) --> CC )
43	26	ssdifssd 3647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( dom F \ { x } ) C_ CC )
44	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
45	36	ntrss3 19429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
46	32, 35, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
47	46, 34	sseqtr4d 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
48		restabs 19534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S /\ S e. ~P CC ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
49	44, 47, 10, 48	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
50		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Perf )
51	36	ntropn 19418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
52	32, 35, 51	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
53		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
54	36, 53	perfopn 19554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Perf /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
55	50, 52, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
56	49, 55	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
57	27	cnfldtop 21159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K e. Top
58	47, 24	sstrd 3519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC )
59	28	toponunii 19302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC = U. K
60		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
61	59, 60	restperf 19553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Top /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
62	57, 58, 61	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
63	56, 62	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
64	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. Top )
65	59	lpss3 19513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
66	64, 25, 38, 65	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
67	63, 66	sstrd 3519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
68	67	sselda 3509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
69	59	lpdifsn 19512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
70	57, 26, 69	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
71	68, 70	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) )
72	42, 43, 71, 27	limcmo 22154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
73	72	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
74		moanimv 2356	. . . . . . . . 9 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
75	73, 74	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
76		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
77	76, 27, 41, 24, 14, 23	eldv 22170	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
78	77	mobidv 2299	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
79	75, 78	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y x ( S _D F ) y )
80	79	alrimiv 1695	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
81		reldv 22142	. . . . . . 7 |- Rel ( S _D F )
82		dffun6 5609	. . . . . . 7 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
83	81, 82	mpbiran 916	. . . . . 6 |- ( Fun ( S _D F ) <-> A. x E* y x ( S _D F ) y )
84	80, 83	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> Fun ( S _D F ) )
85		funfn 5623	. . . . 5 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
86	84, 85	sylib 196	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
87		vex 3121	. . . . . . 7 |- y e. _V
88	87	elrn 5249	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
89	24, 14, 23	dvcl 22171	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
90	89	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
91	90	exlimdv 1700	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
92	88, 91	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
93	92	ssrdv 3515	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
94		df-f 5598	. . . 4 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
95	86, 93, 94	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
96	95	ex 434	. 2 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
97		f0 5772	. . . 4 |- (/) : (/) --> CC
98		df-ov 6298	. . . . . 6 |- ( S _D F ) = ( _D ` <. S , F >. )
99		ndmfv 5896	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( _D ` <. S , F >. ) = (/) )
100	98, 99	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) = (/) )
101	100	dmeqd 5211	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = dom (/) )
102		dm0 5222	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
103	101, 102	syl6eq 2524	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = (/) )
104	100, 103	feq12d 5726	. . . 4 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> (/) : (/) --> CC ) )
105	97, 104	mpbiri 233	. . 3 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
106	105	a1d 25	. 2 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
107	96, 106	pm2.61i 164	1 |- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E*wmo 2276   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   <.cop 4039   U.cuni 4251   U_ciun 4331   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   X. cxp 5003   dom cdm 5005   ran crn 5006   Rel wrel 5010   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ^pm cpm 7433   CCcc 9502   - cmin 9817   / cdiv 10218   ↾_t crest 14693   TopOpenctopn 14694  ℂ_fldccnfld 18290   Topctop 19263  TopOnctopon 19264   intcnt 19386   limPtclp 19503  Perfcperf 19504   lim CC climc 22134   _D cdv 22135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-icc 11548  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-rest 14695  df-topn 14696  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-limc 22138  df-dv 22139

This theorem is referenced by:  dvfg  22178