Theorem perfdvf 22914

Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
perfdvf.1	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
perfdvf	|- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf

Dummy variables f s x z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 22878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. ( dom f \ { x } ) |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
2	1	dmmpt2ssx 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom _D C_ U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) )
3		simpl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. dom _D )
4	2, 3	sseldi 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
5		oveq2 6328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
6	5	opeliunxp2 4995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) <-> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
7	4, 6	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
8	7	simprd 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
9		cnex 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
10	7	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S e. ~P CC )
11		elpm2g 7519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( CC e. _V /\ S e. ~P CC ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
12	9, 10, 11	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
13	8, 12	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
14	13	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F : dom F --> CC )
15	14	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
16	2	sseli 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
17	16, 6	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
18	17	simprd 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> F e. ( CC ^pm S ) )
19	17	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> S e. ~P CC )
20	9, 19, 11	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
21	18, 20	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
22	21	simprd 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> dom F C_ S )
23	22	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ S )
24	10	elpwid 3973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S C_ CC )
25	23, 24	sstrd 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ CC )
26	25	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
27		perfdvf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
28	27	cnfldtopon 21858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- K e. (TopOn ` CC )
29		resttopon 20232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
30	28, 24, 29	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
31		topontop 19996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
33		toponuni 19997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
35	23, 34	sseqtrd 3480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ U. ( K ↾t S ) )
36		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
37	36	ntrss2 20127	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
38	32, 35, 37	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
39	38	sselda 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
40	15, 26, 39	dvlem 22907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. ( dom F \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
41		eqid 2462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
42	40, 41	fmptd 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : ( dom F \ { x } ) --> CC )
43	26	ssdifssd 3583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( dom F \ { x } ) C_ CC )
44	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
45	36	ntrss3 20130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
46	32, 35, 45	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
47	46, 34	sseqtr4d 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
48		restabs 20236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S /\ S e. ~P CC ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
49	44, 47, 10, 48	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
50		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Perf )
51	36	ntropn 20119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
52	32, 35, 51	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
53		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
54	36, 53	perfopn 20256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Perf /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
55	50, 52, 54	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
56	49, 55	eqeltrrd 2541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
57	27	cnfldtop 21859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K e. Top
58	47, 24	sstrd 3454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC )
59	28	toponunii 20002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC = U. K
60		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
61	59, 60	restperf 20255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Top /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
62	57, 58, 61	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
63	56, 62	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
64	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. Top )
65	59	lpss3 20215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
66	64, 25, 38, 65	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
67	63, 66	sstrd 3454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
68	67	sselda 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
69	59	lpdifsn 20214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
70	57, 26, 69	sylancr 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
71	68, 70	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) )
72	42, 43, 71, 27	limcmo 22893	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
73	72	ex 440	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
74		moanimv 2371	. . . . . . . . 9 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
75	73, 74	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
76		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
77	76, 27, 41, 24, 14, 23	eldv 22909	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
78	77	mobidv 2331	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
79	75, 78	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y x ( S _D F ) y )
80	79	alrimiv 1784	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
81		reldv 22881	. . . . . . 7 |- Rel ( S _D F )
82		dffun6 5620	. . . . . . 7 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
83	81, 82	mpbiran 934	. . . . . 6 |- ( Fun ( S _D F ) <-> A. x E* y x ( S _D F ) y )
84	80, 83	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> Fun ( S _D F ) )
85		funfn 5634	. . . . 5 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
86	84, 85	sylib 201	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
87		vex 3060	. . . . . . 7 |- y e. _V
88	87	elrn 5097	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
89	24, 14, 23	dvcl 22910	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
90	89	ex 440	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
91	90	exlimdv 1790	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
92	88, 91	syl5bi 225	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
93	92	ssrdv 3450	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
94		df-f 5609	. . . 4 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
95	86, 93, 94	sylanbrc 675	. . 3 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
96	95	ex 440	. 2 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
97		f0 5791	. . . 4 |- (/) : (/) --> CC
98		df-ov 6323	. . . . . 6 |- ( S _D F ) = ( _D ` <. S , F >. )
99		ndmfv 5916	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( _D ` <. S , F >. ) = (/) )
100	98, 99	syl5eq 2508	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) = (/) )
101	100	dmeqd 5059	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = dom (/) )
102		dm0 5070	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
103	101, 102	syl6eq 2512	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = (/) )
104	100, 103	feq12d 5743	. . . 4 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> (/) : (/) --> CC ) )
105	97, 104	mpbiri 241	. . 3 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
106	105	a1d 26	. 2 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
107	96, 106	pm2.61i 169	1 |- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1453   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   E*wmo 2311   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ~Pcpw 3963   {csn 3980   <.cop 3986   U.cuni 4212   U_ciun 4292   class class class wbr 4418   |-> cmpt 4477   X. cxp 4854   dom cdm 4856   ran crn 4857   Rel wrel 4861   Fun wfun 5599   Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   ^pm cpm 7504   CCcc 9568   - cmin 9891   / cdiv 10302   ↾_t crest 15374   TopOpenctopn 15375  ℂ_fldccnfld 19025   Topctop 19972  TopOnctopon 19973   intcnt 20087   limPtclp 20205  Perfcperf 20206   lim CC climc 22873   _D cdv 22874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-icc 11676  df-fz 11820  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-rest 15376  df-topn 15377  df-topgen 15397  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-cnfld 19026  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-lp 20207  df-perf 20208  df-cnp 20299  df-haus 20386  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-xms 21390  df-ms 21391  df-limc 22877  df-dv 22878

This theorem is referenced by:  dvfg  22917