MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfdvf Structured version   Unicode version

Theorem perfdvf 21383
Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
perfdvf.1  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
perfdvf  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf
Dummy variables  f 
s  x  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 21347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _D  =  ( s  e.  ~P CC ,  f  e.  ( CC  ^pm  s ) 
|->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  s ) ) `
 dom  f )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( dom  f  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) )
21dmmpt2ssx 6644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  _D  C_ 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )
3 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  )
42, 3sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
5 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^pm  s )  =  ( CC  ^pm  S
) )
65opeliunxp2 4983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )  <->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) ) )
74, 6sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
) )
87simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
9 cnex 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
107simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  e.  ~P CC )
11 elpm2g 7234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) ) )
138, 12mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) )
1413simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F : dom  F --> CC )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> CC )
162sseli 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. S ,  F >.  e.  U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
1716, 6sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) )
1817simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
1917simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
~P CC )
209, 19, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2118, 20mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2221simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  F  C_  S )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  S
)
2410elpwid 3875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  C_  CC )
2523, 24sstrd 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  CC )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  CC )
27 perfdvf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2827cnfldtopon 20367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
29 resttopon 18770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3028, 24, 29sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
31 topontop 18536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
33 toponuni 18537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3523, 34sseqtrd 3397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )
36 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
3736ntrss2 18666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
3832, 35, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
3938sselda 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
4015, 26, 39dvlem 21376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  /\  z  e.  ( dom  F 
\  { x }
) )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4240, 41fmptd 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) : ( dom 
F  \  { x } ) --> CC )
4326ssdifssd 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( dom  F  \  {
x } )  C_  CC )
4428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
4536ntrss3 18669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4632, 35, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4746, 34sseqtr4d 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S
)
48 restabs 18774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
4944, 47, 10, 48syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
50 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e. Perf )
5136ntropn 18658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
5232, 35, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
53 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
5436, 53perfopn 18794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Kt  S )  e. Perf  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )  -> 
( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5550, 52, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5649, 55eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5727cnfldtop 20368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e. 
Top
5847, 24sstrd 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )
5928toponunii 18542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  =  U. K
60 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
6159, 60restperf 18793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6257, 58, 61sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
)  C_  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6356, 62mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
6457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  Top )
6559lpss3 18753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )  ->  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  C_  ( ( limPt `  K
) `  dom  F ) )
6664, 25, 38, 65syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( limPt `  K
) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
) )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6763, 66sstrd 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6867sselda 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6959lpdifsn 18752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7057, 26, 69sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7168, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  ( dom  F  \  {
x } ) ) )
7242, 43, 71, 27limcmo 21362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  E* y  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
7372ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
74 moanimv 2334 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
7573, 74sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
76 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
7776, 27, 41, 24, 14, 23eldv 21378 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
7877mobidv 2277 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E* y  x ( S  _D  F
) y  <->  E* y
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
7975, 78mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y  x ( S  _D  F ) y )
8079alrimiv 1685 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
81 reldv 21350 . . . . . . 7  |-  Rel  ( S  _D  F )
82 dffun6 5438 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( Rel  ( S  _D  F )  /\  A. x E* y  x ( S  _D  F
) y ) )
8381, 82mpbiran 909 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
8480, 83sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  Fun  ( S  _D  F ) )
85 funfn 5452 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( S  _D  F )  Fn  dom  ( S  _D  F
) )
8684, 85sylib 196 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
87 vex 2980 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
8887elrn 5085 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( S  _D  F )  <->  E. x  x ( S  _D  F ) y )
8924, 14, 23dvcl 21379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
9089ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  ->  y  e.  CC ) )
9190exlimdv 1690 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E. x  x ( S  _D  F
) y  ->  y  e.  CC ) )
9288, 91syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( y  e.  ran  ( S  _D  F
)  ->  y  e.  CC ) )
9392ssrdv 3367 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ran  ( S  _D  F )  C_  CC )
94 df-f 5427 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
)
9586, 93, 94sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
9695ex 434 . 2  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
97 f0 5597 . . . 4  |-  (/) : (/) --> CC
98 df-ov 6099 . . . . . 6  |-  ( S  _D  F )  =  (  _D  `  <. S ,  F >. )
99 ndmfv 5719 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  (  _D 
`  <. S ,  F >. )  =  (/) )
10098, 99syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F )  =  (/) )
101100dmeqd 5047 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  (/) )
102 dm0 5058 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
103101, 102syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  (/) )
104100, 103feq12d 5553 . . . 4  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  (/) :
(/) --> CC ) )
10597, 104mpbiri 233 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
106105a1d 25 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
10796, 106pm2.61i 164 1  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E*wmo 2254   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   {csn 3882   <.cop 3888   U.cuni 4096   U_ciun 4176   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   Rel wrel 4850   Fun wfun 5417    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^pm cpm 7220   CCcc 9285    - cmin 9600    / cdiv 9998   ↾t crest 14364   TopOpenctopn 14365  ℂfldccnfld 17823   Topctop 18503  TopOnctopon 18504   intcnt 18626   limPtclp 18743  Perfcperf 18744   lim CC climc 21342    _D cdv 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-icc 11312  df-fz 11443  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-rest 14366  df-topn 14367  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-limc 21346  df-dv 21347
This theorem is referenced by:  dvfg  21386
  Copyright terms: Public domain W3C validator