Theorem perfdvf 21383

Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
perfdvf.1	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
perfdvf	|- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf

Dummy variables f s x z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 21347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- _D = ( s e. ~P CC , f e. ( CC ^pm s ) |-> U_ x e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t s ) ) ` dom f ) ( { x } X. ( ( z e. ( dom f \ { x } ) |-> ( ( ( f ` z ) - ( f ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
2	1	dmmpt2ssx 6644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom _D C_ U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) )
3		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. dom _D )
4	2, 3	sseldi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
5		oveq2 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s = S -> ( CC ^pm s ) = ( CC ^pm S ) )
6	5	opeliunxp2 4983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) <-> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
7	4, 6	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
8	7	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
9		cnex 9368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC e. _V
10	7	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S e. ~P CC )
11		elpm2g 7234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( CC e. _V /\ S e. ~P CC ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
12	9, 10, 11	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
13	8, 12	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
14	13	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> F : dom F --> CC )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
16	2	sseli 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> <. S , F >. e. U_ s e. ~P CC ( { s } X. ( CC ^pm s ) ) )
17	16, 6	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( S e. ~P CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) )
18	17	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> F e. ( CC ^pm S ) )
19	17	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> S e. ~P CC )
20	9, 19, 11	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
21	18, 20	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
22	21	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> dom F C_ S )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ S )
24	10	elpwid 3875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S C_ CC )
25	23, 24	sstrd 3371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ CC )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
27		perfdvf.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
28	27	cnfldtopon 20367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- K e. (TopOn ` CC )
29		resttopon 18770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
30	28, 24, 29	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
31		topontop 18536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
33		toponuni 18537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
35	23, 34	sseqtrd 3397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> dom F C_ U. ( K ↾t S ) )
36		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
37	36	ntrss2 18666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
38	32, 35, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
39	38	sselda 3361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
40	15, 26, 39	dvlem 21376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. ( dom F \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
41		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
42	40, 41	fmptd 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : ( dom F \ { x } ) --> CC )
43	26	ssdifssd 3499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( dom F \ { x } ) C_ CC )
44	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
45	36	ntrss3 18669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
46	32, 35, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ U. ( K ↾t S ) )
47	46, 34	sseqtr4d 3398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
48		restabs 18774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S /\ S e. ~P CC ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
49	44, 47, 10, 48	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
50		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t S ) e. Perf )
51	36	ntropn 18658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
52	32, 35, 51	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) )
53		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
54	36, 53	perfopn 18794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Perf /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( K ↾t S ) ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
55	50, 52, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t S ) ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
56	49, 55	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf )
57	27	cnfldtop 20368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K e. Top
58	47, 24	sstrd 3371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC )
59	28	toponunii 18542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC = U. K
60		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) = ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) )
61	59, 60	restperf 18793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Top /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ CC ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
62	57, 58, 61	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( K ↾t ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) e. Perf <-> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) ) )
63	56, 62	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) )
64	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> K e. Top )
65	59	lpss3 18753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC /\ ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
66	64, 25, 38, 65	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( limPt ` K ) ` ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
67	63, 66	sstrd 3371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) C_ ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
68	67	sselda 3361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) )
69	59	lpdifsn 18752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ dom F C_ CC ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
70	57, 26, 69	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( x e. ( ( limPt ` K ) ` dom F ) <-> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) ) )
71	68, 70	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( limPt ` K ) ` ( dom F \ { x } ) ) )
72	42, 43, 71, 27	limcmo 21362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
73	72	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
74		moanimv 2334	. . . . . . . . 9 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
75	73, 74	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
76		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
77	76, 27, 41, 24, 14, 23	eldv 21378	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
78	77	mobidv 2277	. . . . . . . 8 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. ( dom F \ { x } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
79	75, 78	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> E* y x ( S _D F ) y )
80	79	alrimiv 1685	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
81		reldv 21350	. . . . . . 7 |- Rel ( S _D F )
82		dffun6 5438	. . . . . . 7 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
83	81, 82	mpbiran 909	. . . . . 6 |- ( Fun ( S _D F ) <-> A. x E* y x ( S _D F ) y )
84	80, 83	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> Fun ( S _D F ) )
85		funfn 5452	. . . . 5 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
86	84, 85	sylib 196	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
87		vex 2980	. . . . . . 7 |- y e. _V
88	87	elrn 5085	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
89	24, 14, 23	dvcl 21379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
90	89	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
91	90	exlimdv 1690	. . . . . 6 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
92	88, 91	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
93	92	ssrdv 3367	. . . 4 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
94		df-f 5427	. . . 4 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
95	86, 93, 94	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( <. S , F >. e. dom _D /\ ( K ↾t S ) e. Perf ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
96	95	ex 434	. 2 |- ( <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
97		f0 5597	. . . 4 |- (/) : (/) --> CC
98		df-ov 6099	. . . . . 6 |- ( S _D F ) = ( _D ` <. S , F >. )
99		ndmfv 5719	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( _D ` <. S , F >. ) = (/) )
100	98, 99	syl5eq 2487	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) = (/) )
101	100	dmeqd 5047	. . . . . 6 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = dom (/) )
102		dm0 5058	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
103	101, 102	syl6eq 2491	. . . . 5 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> dom ( S _D F ) = (/) )
104	100, 103	feq12d 5553	. . . 4 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> (/) : (/) --> CC ) )
105	97, 104	mpbiri 233	. . 3 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
106	105	a1d 25	. 2 |- ( -. <. S , F >. e. dom _D -> ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC ) )
107	96, 106	pm2.61i 164	1 |- ( ( K ↾t S ) e. Perf -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   E*wmo 2254   _Vcvv 2977   \ cdif 3330   C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   {csn 3882   <.cop 3888   U.cuni 4096   U_ciun 4176   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   Rel wrel 4850   Fun wfun 5417   Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   ^pm cpm 7220   CCcc 9285   - cmin 9600   / cdiv 9998   ↾_t crest 14364   TopOpenctopn 14365  ℂ_fldccnfld 17823   Topctop 18503  TopOnctopon 18504   intcnt 18626   limPtclp 18743  Perfcperf 18744   lim CC climc 21342   _D cdv 21343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-icc 11312  df-fz 11443  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-rest 14366  df-topn 14367  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-limc 21346  df-dv 21347

This theorem is referenced by:  dvfg  21386