Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrexplicit Structured version   Unicode version

Theorem pellqrexplicit 30709
 Description: Condition for a calculated real to be a Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrexplicit NN Pell1QR

Proof of Theorem pellqrexplicit
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 10814 . . . . 5
213ad2ant2 1018 . . . 4 NN
3 eldifi 3631 . . . . . . . . 9 NN
433ad2ant1 1017 . . . . . . . 8 NN
54nnrpd 11265 . . . . . . 7 NN
65rpsqrtcld 13218 . . . . . 6 NN
76rpred 11266 . . . . 5 NN
8 nn0re 10814 . . . . . 6
983ad2ant3 1019 . . . . 5 NN
107, 9remulcld 9634 . . . 4 NN
112, 10readdcld 9633 . . 3 NN
13 simpl2 1000 . . 3 NN
14 simpl3 1001 . . 3 NN
15 eqidd 2468 . . 3 NN
16 simpr 461 . . 3 NN
17 oveq1 6301 . . . . . 6
1817eqeq2d 2481 . . . . 5
19 oveq1 6301 . . . . . . 7
2019oveq1d 6309 . . . . . 6
2120eqeq1d 2469 . . . . 5
2218, 21anbi12d 710 . . . 4
23 oveq2 6302 . . . . . . 7
2423oveq2d 6310 . . . . . 6
2524eqeq2d 2481 . . . . 5
26 oveq1 6301 . . . . . . . 8
2726oveq2d 6310 . . . . . . 7
2827oveq2d 6310 . . . . . 6
2928eqeq1d 2469 . . . . 5
3025, 29anbi12d 710 . . . 4
3122, 30rspc2ev 3230 . . 3
3213, 14, 15, 16, 31syl112anc 1232 . 2 NN
33 elpell1qr 30679 . . . 4 NN Pell1QR
34333ad2ant1 1017 . . 3 NN Pell1QR
3534adantr 465 . 2 NN Pell1QR
3612, 32, 35mpbir2and 920 1 NN Pell1QR
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818   cdif 3478  cfv 5593  (class class class)co 6294  cr 9501  c1 9503   caddc 9505   cmul 9507   cmin 9815  cn 10546  c2 10595  cn0 10805  cexp 12144  csqrt 13041  ◻NNcsquarenn 30668  Pell1QRcpell1qr 30669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-seq 12086  df-exp 12145  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-pell1qr 30674 This theorem is referenced by:  pellqrex  30711  rmspecfund  30741
 Copyright terms: Public domain W3C validator