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Theorem pellqrex 35726
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables  a 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3555 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
2 eldifn 3556 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  D  e.NN )
31anim1i 572 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
4 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( a  =  D  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  D
) )
54eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( a  =  D  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
6 df-squarenn 35686 . . . . . 6  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
75, 6elrab2 3198 . . . . 5  |-  ( D  e.NN  <->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
83, 7sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  D  e.NN )
92, 8mtand 665 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )
10 pellex 35679 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
111, 9, 10syl2anc 667 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
12 simpll 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  ( NN  \NN ) )
13 nnnn0 10876 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  NN0 )
1413adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  c  e.  NN0 )
1514ad2antlr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  c  e.  NN0 )
16 nnnn0 10876 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
1716adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN0 )
1817ad2antlr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  d  e.  NN0 )
19 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1 )
20 pellqrexplicit 35723 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  c  e. 
NN0  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1271 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
22 1re 9642 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  e.  RR )
2422, 22readdcli 9656 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  e.  RR )
26 nnre 10616 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  RR )
2726ad2antrl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
c  e.  RR )
281adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  NN )
2928nnrpd 11339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  RR+ )
3029rpsqrtcld 13473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
3130rpred 11341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
32 nnre 10616 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  RR )
3332ad2antll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
d  e.  RR )
3431, 33remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  d )  e.  RR )
3527, 34readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  RR )
3622ltp1i 10510 . . . . . . . 8  |-  1  <  ( 1  +  1 )
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( 1  +  1 ) )
38 nnge1 10635 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  1  <_  c )
3938ad2antrl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  c )
40 1t1e1 10757 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
41 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  D )
42 sq1 12369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
44 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
4544sqsqrtd 13501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
4641, 43, 453brtr4d 4433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  e.  RR )
48 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR+ )
4948rpsqrtcld 13473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR+ )
5049rpred 11341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
51 0le1 10137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  1 )
5349rpge0d 11345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  ( sqr `  D
) )
5447, 50, 52, 53le2sqd 12451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1  <_  ( sqr `  D )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
5546, 54mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  ( sqr `  D
) )
5628, 55syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( sqr `  D ) )
57 nnge1 10635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  NN  ->  1  <_  d )
5857ad2antll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  d )
5923, 51jctir 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )
60 lemul12a 10463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  ( sqr `  D )  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  d  e.  RR ) )  ->  (
( 1  <_  ( sqr `  D )  /\  1  <_  d )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( 1  <_ 
( sqr `  D
)  /\  1  <_  d )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( sqr `  D
)  x.  d ) ) )
6256, 58, 61mp2and 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6340, 62syl5eqbrr 4437 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 10232 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 9795 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6665adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
67 breq2 4406 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  ->  ( 1  <  x  <->  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) ) )
6867rspcev 3150 . . . . 5  |-  ( ( ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
)  /\  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D )
1  <  x )
6921, 66, 68syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
7069ex 436 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7170rexlimdvva 2886 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7211, 71mpd 15 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738    \ cdif 3401   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   QQcq 11264   ^cexp 12272   sqrcsqrt 13296  ◻NNcsquarenn 35680  Pell1QRcpell1qr 35681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-numer 14684  df-denom 14685  df-squarenn 35686  df-pell1qr 35687
This theorem is referenced by:  pellfundre  35729  pellfundge  35730  pellfundglb  35733
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