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Theorem pellqrex 29218
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables  a 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3477 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
2 eldifn 3478 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  D  e.NN )
31anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
4 fveq2 5690 . . . . . . 7  |-  ( a  =  D  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  D
) )
54eleq1d 2508 . . . . . 6  |-  ( a  =  D  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
6 df-squarenn 29180 . . . . . 6  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
75, 6elrab2 3118 . . . . 5  |-  ( D  e.NN  <->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
83, 7sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  D  e.NN )
92, 8mtand 659 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )
10 pellex 29174 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
111, 9, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
12 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  ( NN  \NN ) )
13 nnnn0 10585 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  NN0 )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  c  e.  NN0 )
1514ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  c  e.  NN0 )
16 nnnn0 10585 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN0 )
1817ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  d  e.  NN0 )
19 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1 )
20 pellqrexplicit 29216 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  c  e. 
NN0  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
22 1re 9384 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  e.  RR )
2422, 22readdcli 9398 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  e.  RR )
26 nnre 10328 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  RR )
2726ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
c  e.  RR )
281adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  NN )
2928nnrpd 11025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  RR+ )
3029rpsqrcld 12897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
3130rpred 11026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
32 nnre 10328 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  RR )
3332ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
d  e.  RR )
3431, 33remulcld 9413 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  d )  e.  RR )
3527, 34readdcld 9412 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  RR )
3622ltp1i 10235 . . . . . . . 8  |-  1  <  ( 1  +  1 )
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( 1  +  1 ) )
38 nnge1 10347 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  1  <_  c )
3938ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  c )
40 1t1e1 10468 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
41 nnge1 10347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  D )
42 sq1 11959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
44 nncn 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
4544sqsqrd 12924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
4641, 43, 453brtr4d 4321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  e.  RR )
48 nnrp 10999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR+ )
4948rpsqrcld 12897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR+ )
5049rpred 11026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
51 0le1 9862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  1 )
5349rpge0d 11030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  ( sqr `  D
) )
5447, 50, 52, 53le2sqd 12042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1  <_  ( sqr `  D )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
5546, 54mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  ( sqr `  D
) )
5628, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( sqr `  D ) )
57 nnge1 10347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  NN  ->  1  <_  d )
5857ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  d )
5923, 51jctir 538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )
60 lemul12a 10186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  ( sqr `  D )  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  d  e.  RR ) )  ->  (
( 1  <_  ( sqr `  D )  /\  1  <_  d )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( 1  <_ 
( sqr `  D
)  /\  1  <_  d )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( sqr `  D
)  x.  d ) ) )
6256, 58, 61mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6340, 62syl5eqbrr 4325 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 9956 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 9530 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6665adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
67 breq2 4295 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  ->  ( 1  <  x  <->  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) ) )
6867rspcev 3072 . . . . 5  |-  ( ( ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
)  /\  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D )
1  <  x )
6921, 66, 68syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
7069ex 434 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7170rexlimdvva 2847 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7211, 71mpd 15 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2715    \ cdif 3324   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    x. cmul 9286    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   NNcn 10321   2c2 10370   NN0cn0 10578   QQcq 10952   ^cexp 11864   sqrcsqr 12721  ◻NNcsquarenn 29175  Pell1QRcpell1qr 29176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-omul 6924  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-acn 8111  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-ico 11305  df-fz 11437  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-dvds 13535  df-gcd 13690  df-numer 13812  df-denom 13813  df-squarenn 29180  df-pell1qr 29181
This theorem is referenced by:  pellfundre  29220  pellfundge  29221  pellfundglb  29224
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