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Theorem pellqrex 31057
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables  a 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3612 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
2 eldifn 3613 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  D  e.NN )
31anim1i 566 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
4 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( a  =  D  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  D
) )
54eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( a  =  D  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
6 df-squarenn 31019 . . . . . 6  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
75, 6elrab2 3256 . . . . 5  |-  ( D  e.NN  <->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
83, 7sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  D  e.NN )
92, 8mtand 657 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )
10 pellex 31013 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
111, 9, 10syl2anc 659 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
12 simpll 751 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  ( NN  \NN ) )
13 nnnn0 10798 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  NN0 )
1413adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  c  e.  NN0 )
1514ad2antlr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  c  e.  NN0 )
16 nnnn0 10798 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
1716adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN0 )
1817ad2antlr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  d  e.  NN0 )
19 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1 )
20 pellqrexplicit 31055 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  c  e. 
NN0  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
22 1re 9584 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  e.  RR )
2422, 22readdcli 9598 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  e.  RR )
26 nnre 10538 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  RR )
2726ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
c  e.  RR )
281adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  NN )
2928nnrpd 11257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  RR+ )
3029rpsqrtcld 13328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
3130rpred 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
32 nnre 10538 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  RR )
3332ad2antll 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
d  e.  RR )
3431, 33remulcld 9613 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  d )  e.  RR )
3527, 34readdcld 9612 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  RR )
3622ltp1i 10444 . . . . . . . 8  |-  1  <  ( 1  +  1 )
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( 1  +  1 ) )
38 nnge1 10557 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  1  <_  c )
3938ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  c )
40 1t1e1 10679 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
41 nnge1 10557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  D )
42 sq1 12247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
44 nncn 10539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
4544sqsqrtd 13355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
4641, 43, 453brtr4d 4469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  e.  RR )
48 nnrp 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR+ )
4948rpsqrtcld 13328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR+ )
5049rpred 11259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
51 0le1 10072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  1 )
5349rpge0d 11263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  ( sqr `  D
) )
5447, 50, 52, 53le2sqd 12330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1  <_  ( sqr `  D )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
5546, 54mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  ( sqr `  D
) )
5628, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( sqr `  D ) )
57 nnge1 10557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  NN  ->  1  <_  d )
5857ad2antll 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  d )
5923, 51jctir 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )
60 lemul12a 10396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  ( sqr `  D )  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  d  e.  RR ) )  ->  (
( 1  <_  ( sqr `  D )  /\  1  <_  d )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( 1  <_ 
( sqr `  D
)  /\  1  <_  d )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( sqr `  D
)  x.  d ) ) )
6256, 58, 61mp2and 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6340, 62syl5eqbrr 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 10166 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 9731 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6665adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
67 breq2 4443 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  ->  ( 1  <  x  <->  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) ) )
6867rspcev 3207 . . . . 5  |-  ( ( ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
)  /\  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D )
1  <  x )
6921, 66, 68syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
7069ex 432 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7170rexlimdvva 2953 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7211, 71mpd 15 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805    \ cdif 3458   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   QQcq 11183   ^cexp 12151   sqrcsqrt 13151  ◻NNcsquarenn 31014  Pell1QRcpell1qr 31015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-dvds 14074  df-gcd 14232  df-numer 14355  df-denom 14356  df-squarenn 31019  df-pell1qr 31020
This theorem is referenced by:  pellfundre  31059  pellfundge  31060  pellfundglb  31063
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