Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundre Structured version   Unicode version

Theorem pellfundre 35178
Description: The fundamental solution of a Pell equation exists as a real number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundre  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  e.  RR )

Proof of Theorem pellfundre
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellfundval 35177 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  =  sup ( { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } ,  RR ,  `'  <  ) )
2 ssrab2 3524 . . . 4  |-  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  C_  (Pell14QR `  D )
3 pell14qrre 35154 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  a  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
a  e.  RR )
43ex 432 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( a  e.  (Pell14QR `  D )  ->  a  e.  RR ) )
54ssrdv 3448 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(Pell14QR `  D )  C_  RR )
62, 5syl5ss 3453 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  C_  RR )
7 pell1qrss14 35165 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(Pell1QR `  D )  C_  (Pell14QR `  D ) )
8 pellqrex 35176 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. a  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
a )
9 ssrexv 3504 . . . . 5  |-  ( (Pell1QR `  D )  C_  (Pell14QR `  D )  ->  ( E. a  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
a  ->  E. a  e.  (Pell14QR `  D )
1  <  a )
)
107, 8, 9sylc 59 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. a  e.  (Pell14QR `  D ) 1  < 
a )
11 rabn0 3759 . . . 4  |-  ( { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  (Pell14QR `  D )
1  <  a )
1210, 11sylibr 212 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  =/=  (/) )
13 1re 9625 . . . 4  |-  1  e.  RR
14 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( a  =  c  ->  (
1  <  a  <->  1  <  c ) )
1514elrab 3207 . . . . . 6  |-  ( c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } 
<->  ( c  e.  (Pell14QR `  D )  /\  1  <  c ) )
16 pell14qrre 35154 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  c  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
c  e.  RR )
17 ltle 9704 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( 1  <  c  ->  1  <_  c )
)
1813, 16, 17sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  c  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
( 1  <  c  ->  1  <_  c )
)
1918expimpd 601 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( c  e.  (Pell14QR `  D )  /\  1  <  c )  ->  1  <_  c
) )
2015, 19syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( c  e.  {
a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  ->  1  <_  c ) )
2120ralrimiv 2816 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  A. c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } 1  <_ 
c )
22 breq1 4398 . . . . . 6  |-  ( b  =  1  ->  (
b  <_  c  <->  1  <_  c ) )
2322ralbidv 2843 . . . . 5  |-  ( b  =  1  ->  ( A. c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } b  <_ 
c  <->  A. c  e.  {
a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } 1  <_ 
c ) )
2423rspcev 3160 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } 1  <_ 
c )  ->  E. b  e.  RR  A. c  e. 
{ a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } b  <_  c )
2513, 21, 24sylancr 661 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. b  e.  RR  A. c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } b  <_ 
c )
26 infmrcl 10562 . . 3  |-  ( ( { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  C_  RR  /\  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  =/=  (/)  /\  E. b  e.  RR  A. c  e. 
{ a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } b  <_  c )  ->  sup ( { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
276, 12, 25, 26syl3anc 1230 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  sup ( { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
281, 27eqeltrd 2490 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758    \ cdif 3411    C_ wss 3414   (/)c0 3738   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   ` cfv 5569   supcsup 7934   RRcr 9521   1c1 9523    < clt 9658    <_ cle 9659   NNcn 10576  ◻NNcsquarenn 35133  Pell1QRcpell1qr 35134  Pell14QRcpell14qr 35136  PellFundcpellfund 35137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-numer 14477  df-denom 14478  df-squarenn 35138  df-pell1qr 35139  df-pell14qr 35140  df-pell1234qr 35141  df-pellfund 35142
This theorem is referenced by:  pellfundgt1  35180  pellfundglb  35182  pellfundex  35183  pellfund14gap  35184  pellfundrp  35185  rmspecfund  35206
  Copyright terms: Public domain W3C validator