Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundre Structured version   Unicode version

Theorem pellfundre 35178
 Description: The fundamental solution of a Pell equation exists as a real number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundre NN PellFund

Proof of Theorem pellfundre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellfundval 35177 . 2 NN PellFund Pell14QR
2 ssrab2 3524 . . . 4 Pell14QR Pell14QR
3 pell14qrre 35154 . . . . . 6 NN Pell14QR
43ex 432 . . . . 5 NN Pell14QR
54ssrdv 3448 . . . 4 NN Pell14QR
62, 5syl5ss 3453 . . 3 NN Pell14QR
7 pell1qrss14 35165 . . . . 5 NN Pell1QR Pell14QR
8 pellqrex 35176 . . . . 5 NN Pell1QR
9 ssrexv 3504 . . . . 5 Pell1QR Pell14QR Pell1QR Pell14QR
107, 8, 9sylc 59 . . . 4 NN Pell14QR
11 rabn0 3759 . . . 4 Pell14QR Pell14QR
1210, 11sylibr 212 . . 3 NN Pell14QR
13 1re 9625 . . . 4
14 breq2 4399 . . . . . . 7
1514elrab 3207 . . . . . 6 Pell14QR Pell14QR
16 pell14qrre 35154 . . . . . . . 8 NN Pell14QR
17 ltle 9704 . . . . . . . 8
1813, 16, 17sylancr 661 . . . . . . 7 NN Pell14QR
1918expimpd 601 . . . . . 6 NN Pell14QR
2015, 19syl5bi 217 . . . . 5 NN Pell14QR
2120ralrimiv 2816 . . . 4 NN Pell14QR
22 breq1 4398 . . . . . 6
2322ralbidv 2843 . . . . 5 Pell14QR Pell14QR
2423rspcev 3160 . . . 4 Pell14QR Pell14QR
2513, 21, 24sylancr 661 . . 3 NN Pell14QR
26 infmrcl 10562 . . 3 Pell14QR Pell14QR Pell14QR Pell14QR
276, 12, 25, 26syl3anc 1230 . 2 NN Pell14QR
281, 27eqeltrd 2490 1 NN PellFund
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2754  wrex 2755  crab 2758   cdif 3411   wss 3414  c0 3738   class class class wbr 4395  ccnv 4822  cfv 5569  csup 7934  cr 9521  c1 9523   clt 9658   cle 9659  cn 10576  ◻NNcsquarenn 35133  Pell1QRcpell1qr 35134  Pell14QRcpell14qr 35136  PellFundcpellfund 35137 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-numer 14477  df-denom 14478  df-squarenn 35138  df-pell1qr 35139  df-pell14qr 35140  df-pell1234qr 35141  df-pellfund 35142 This theorem is referenced by:  pellfundgt1  35180  pellfundglb  35182  pellfundex  35183  pellfund14gap  35184  pellfundrp  35185  rmspecfund  35206
 Copyright terms: Public domain W3C validator