Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Structured version   Unicode version

Theorem pellfundgt1 29177
Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1re 9377 . . 3  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  e.  RR )
3 eldifi 3473 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
43peano2nnd 10331 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN )
54nnrpd 11018 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR+ )
65rpsqrcld 12890 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR+ )
76rpred 11019 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR )
83nnrpd 11018 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR+ )
98rpsqrcld 12890 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
109rpred 11019 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
117, 10readdcld 9405 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
12 pellfundre 29175 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  e.  RR )
13 sqr1 12753 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
1413, 2syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  e.  RR )
1514, 14readdcld 9405 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  e.  RR )
16 1lt2 10480 . . . . 5  |-  1  <  2
1713, 13oveq12i 6098 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  ( 1  +  1 )
18 1p1e2apr1 23610 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1917, 18eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  2
2016, 19breqtrri 4312 . . . 4  |-  1  <  ( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )
2120a1i 11 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) ) )
224nnge1d 10356 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  ( D  +  1 ) )
23 0le1 9855 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  1 )
253nnred 10329 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR )
26 peano2re 9534 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR  ->  ( D  +  1 )  e.  RR )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR )
284nnnn0d 10628 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN0 )
2928nn0ge0d 10631 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  ( D  +  1 ) )
302, 24, 27, 29sqrled 12905 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  ( D  +  1 )  <-> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) ) )
3122, 30mpbid 210 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) )
323nnge1d 10356 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  D )
333nnnn0d 10628 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN0 )
3433nn0ge0d 10631 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  D )
352, 24, 25, 34sqrled 12905 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  D  <->  ( sqr `  1 )  <_  ( sqr `  D
) ) )
3632, 35mpbid 210 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  D ) )
3714, 14, 7, 10, 31, 36le2addd 9949 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  <_  ( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) ) )
382, 15, 11, 21, 37ltletrd 9523 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  +  ( sqr `  D
) ) )
39 pellfundge 29176 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
(PellFund `  D ) )
402, 11, 12, 38, 39ltletrd 9523 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    \ cdif 3320   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411   NNcn 10314   2c2 10363   sqrcsqr 12714  ◻NNcsquarenn 29130  PellFundcpellfund 29134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-numer 13805  df-denom 13806  df-squarenn 29135  df-pell1qr 29136  df-pell14qr 29137  df-pell1234qr 29138  df-pellfund 29139
This theorem is referenced by:  pellfundex  29180  pellfundrp  29182  pellfundne1  29183  pellfund14  29192
  Copyright terms: Public domain W3C validator