Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pellfundgt1 35731
Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1red 9658 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  e.  RR )
2 eldifi 3555 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
32peano2nnd 10626 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN )
43nnrpd 11339 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR+ )
54rpsqrtcld 13473 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR+ )
65rpred 11341 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR )
72nnrpd 11339 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR+ )
87rpsqrtcld 13473 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
98rpred 11341 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
106, 9readdcld 9670 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
11 pellfundre 35729 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  e.  RR )
12 sqrt1 13335 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
1312, 1syl5eqel 2533 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  e.  RR )
1413, 13readdcld 9670 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  e.  RR )
15 1lt2 10776 . . . . 5  |-  1  <  2
1612, 12oveq12i 6302 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  ( 1  +  1 )
17 1p1e2apr1 25903 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1816, 17eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  2
1915, 18breqtrri 4428 . . . 4  |-  1  <  ( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )
2019a1i 11 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) ) )
213nnge1d 10652 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  ( D  +  1 ) )
22 0le1 10137 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  1 )
242nnred 10624 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR )
25 peano2re 9806 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR  ->  ( D  +  1 )  e.  RR )
2624, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR )
273nnnn0d 10925 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN0 )
2827nn0ge0d 10928 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  ( D  +  1 ) )
291, 23, 26, 28sqrtled 13488 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  ( D  +  1 )  <-> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) ) )
3021, 29mpbid 214 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) )
312nnge1d 10652 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  D )
322nnnn0d 10925 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN0 )
3332nn0ge0d 10928 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  D )
341, 23, 24, 33sqrtled 13488 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  D  <->  ( sqr `  1 )  <_  ( sqr `  D
) ) )
3531, 34mpbid 214 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  D ) )
3613, 13, 6, 9, 30, 35le2addd 10232 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  <_  ( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) ) )
371, 14, 10, 20, 36ltletrd 9795 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  +  ( sqr `  D
) ) )
38 pellfundge 35730 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
(PellFund `  D ) )
391, 10, 11, 37, 38ltletrd 9795 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1887    \ cdif 3401   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   2c2 10659   sqrcsqrt 13296  ◻NNcsquarenn 35680  PellFundcpellfund 35684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-numer 14684  df-denom 14685  df-squarenn 35686  df-pell1qr 35687  df-pell14qr 35688  df-pell1234qr 35689  df-pellfund 35690
This theorem is referenced by:  pellfundex  35734  pellfundrp  35736  pellfundne1  35737  pellfund14  35746
  Copyright terms: Public domain W3C validator