Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Structured version   Unicode version

Theorem pellfundgt1 29392
Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1re 9499 . . 3  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  e.  RR )
3 eldifi 3589 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
43peano2nnd 10453 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN )
54nnrpd 11140 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR+ )
65rpsqrcld 13019 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR+ )
76rpred 11141 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR )
83nnrpd 11140 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR+ )
98rpsqrcld 13019 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
109rpred 11141 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
117, 10readdcld 9527 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
12 pellfundre 29390 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  e.  RR )
13 sqr1 12882 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
1413, 2syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  e.  RR )
1514, 14readdcld 9527 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  e.  RR )
16 1lt2 10602 . . . . 5  |-  1  <  2
1713, 13oveq12i 6215 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  ( 1  +  1 )
18 1p1e2apr1 23831 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1917, 18eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  2
2016, 19breqtrri 4428 . . . 4  |-  1  <  ( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )
2120a1i 11 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) ) )
224nnge1d 10478 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  ( D  +  1 ) )
23 0le1 9977 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  1 )
253nnred 10451 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR )
26 peano2re 9656 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR  ->  ( D  +  1 )  e.  RR )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR )
284nnnn0d 10750 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN0 )
2928nn0ge0d 10753 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  ( D  +  1 ) )
302, 24, 27, 29sqrled 13034 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  ( D  +  1 )  <-> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) ) )
3122, 30mpbid 210 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) )
323nnge1d 10478 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  D )
333nnnn0d 10750 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN0 )
3433nn0ge0d 10753 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  D )
352, 24, 25, 34sqrled 13034 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  D  <->  ( sqr `  1 )  <_  ( sqr `  D
) ) )
3632, 35mpbid 210 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  D ) )
3714, 14, 7, 10, 31, 36le2addd 10071 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  <_  ( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) ) )
382, 15, 11, 21, 37ltletrd 9645 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  +  ( sqr `  D
) ) )
39 pellfundge 29391 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
(PellFund `  D ) )
402, 11, 12, 38, 39ltletrd 9645 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    \ cdif 3436   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    < clt 9532    <_ cle 9533   NNcn 10436   2c2 10485   sqrcsqr 12843  ◻NNcsquarenn 29345  PellFundcpellfund 29349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-ico 11420  df-fz 11558  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-dvds 13657  df-gcd 13812  df-numer 13934  df-denom 13935  df-squarenn 29350  df-pell1qr 29351  df-pell14qr 29352  df-pell1234qr 29353  df-pellfund 29354
This theorem is referenced by:  pellfundex  29395  pellfundrp  29397  pellfundne1  29398  pellfund14  29407
  Copyright terms: Public domain W3C validator