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Theorem pellexlem6 35678
Description: Lemma for pellex 35679. Doing a field division between near solutions get us to norm 1, and the modularity constraint ensures we still have an integer. Returning NN guarantees that we are not returning the trivial solution (1,0). We are not explicitly defining the Pell-field, Pell-ring, and Pell-norm explicitly because after this construction is done we will never use them. This is mostly basic algebraic number theory and could be simplified if a generic framework for that were in place. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pellex.ann  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
pellex.bnn  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
pellex.cz  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
pellex.dnn  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
pellex.irr  |-  ( ph  ->  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )
pellex.enn  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
pellex.fnn  |-  ( ph  ->  F  e.  NN )
pellex.neq  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  E  /\  B  =  F ) )
pellex.cn0  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
pellex.no1  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  C )
pellex.no2  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  C )
pellex.xcg  |-  ( ph  ->  ( A  mod  ( abs `  C ) )  =  ( E  mod  ( abs `  C ) ) )
pellex.ycg  |-  ( ph  ->  ( B  mod  ( abs `  C ) )  =  ( F  mod  ( abs `  C ) ) )
Assertion
Ref Expression
pellexlem6  |-  ( ph  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  (
( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )
Distinct variable groups:    a, b, A    B, a, b    C, a, b    D, a, b    E, a, b    F, a, b    ph, a, b

Proof of Theorem pellexlem6
StepHypRef Expression
1 pellex.ann . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
21nncnd 10625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 pellex.enn . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
43nncnd 10625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
52, 4mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  E
)  e.  CC )
6 pellex.dnn . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
76nncnd 10625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
8 pellex.bnn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
98nncnd 10625 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
10 pellex.fnn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  NN )
1110nncnd 10625 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
129, 11mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  F
)  e.  CC )
137, 12mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( B  x.  F )
)  e.  CC )
145, 13subcld 9986 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  e.  CC )
15 pellex.cz . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
1615zcnd 11041 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
17 pellex.cn0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
1814, 16, 17absdivd 13517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( abs `  C ) ) )
195, 13negsubd 9992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  =  ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )
2019eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =  ( ( A  x.  E )  + 
-u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )
2120oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( ( A  x.  E )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
221nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
233nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2422, 23remulcld 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  E
)  e.  RR )
256nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
268nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2710nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
2826, 27remulcld 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  F
)  e.  RR )
2925, 28remulcld 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( B  x.  F )
)  e.  RR )
3029renegcld 10046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( D  x.  ( B  x.  F
) )  e.  RR )
3116, 17absrpcld 13510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR+ )
323nnzd 11039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
33 pellex.xcg . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  mod  ( abs `  C ) )  =  ( E  mod  ( abs `  C ) ) )
34 modmul1 12143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  E  e.  RR )  /\  ( E  e.  ZZ  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  ( abs `  C ) )  =  ( E  mod  ( abs `  C
) ) )  -> 
( ( A  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  E )  mod  ( abs `  C
) ) )
3522, 23, 32, 31, 33, 34syl221anc 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  E )  mod  ( abs `  C
) ) )
364sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
3711sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
387, 37mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
3936, 38npcand 9990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )  =  ( E ^
2 ) )
404sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =  ( E  x.  E ) )
4139, 40eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  x.  E
)  =  ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
4241oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) ) )
4323resqcld 12442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
4427resqcld 12442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
4525, 44remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
4643, 45resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR )
47 0red 9644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4816abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
4948recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
5016, 17absne0d 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  =/=  0 )
5149, 50dividd 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  /  ( abs `  C ) )  =  1 )
52 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
5351, 52eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ )
54 mod0 12103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  C
)  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  C )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ ) )
5548, 31, 54syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  C )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  C )  / 
( abs `  C
) )  e.  ZZ ) )
5653, 55mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
5715zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
58 absmod0 13366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( C  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  C )  mod  ( abs `  C
) )  =  0 ) )
5957, 31, 58syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  (
( abs `  C
)  mod  ( abs `  C ) )  =  0 ) )
6056, 59mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
61 pellex.no2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  C )
6261oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( C  mod  ( abs `  C ) ) )
63 0mod 12128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  C )  e.  RR+  ->  ( 0  mod  ( abs `  C
) )  =  0 )
6431, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
6560, 62, 643eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C ) ) )
66 modadd1 12134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  /\  ( ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  (
( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C ) ) )  ->  ( (
( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) ) )
6746, 47, 45, 31, 65, 66syl221anc 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) ) )
6838addid2d 9834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )
6911sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  =  ( F  x.  F ) )
7069oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( F  x.  F
) ) )
717, 11, 11mul12d 9842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( F  x.  F )
)  =  ( F  x.  ( D  x.  F ) ) )
7268, 70, 713eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( F  x.  ( D  x.  F ) ) )
7372oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( F  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
7442, 67, 733eqtrd 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( F  x.  ( D  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
756nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
7610nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
7775, 76zmulcld 11046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  x.  F
)  e.  ZZ )
78 pellex.ycg . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  mod  ( abs `  C ) )  =  ( F  mod  ( abs `  C ) ) )
7978eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  mod  ( abs `  C ) )  =  ( B  mod  ( abs `  C ) ) )
80 modmul1 12143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( D  x.  F )  e.  ZZ  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( F  mod  ( abs `  C ) )  =  ( B  mod  ( abs `  C
) ) )  -> 
( ( F  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( B  x.  ( D  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
8127, 26, 77, 31, 79, 80syl221anc 1279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( B  x.  ( D  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
829, 7, 11mul12d 9842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( D  x.  F )
)  =  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )
8382oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
8481, 83eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
8535, 74, 843eqtrd 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
86 modadd1 12134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  x.  E )  e.  RR  /\  ( D  x.  ( B  x.  F )
)  e.  RR )  /\  ( -u ( D  x.  ( B  x.  F ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( ( A  x.  E )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  mod  ( abs `  C ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  E )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
8724, 29, 30, 31, 85, 86syl221anc 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  + 
-u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
8813negidd 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  =  0 )
8988oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  + 
-u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C ) ) )
9021, 87, 893eqtrd 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C
) ) )
9190, 64eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
9224, 29resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  e.  RR )
93 absmod0 13366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  0  <-> 
( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 ) )
9492, 31, 93syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  0  <-> 
( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 ) )
9591, 94mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
9614abscld 13498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  e.  RR )
97 mod0 12103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ ) )
9896, 31, 97syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ ) )
9995, 98mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ )
10018, 99eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  ZZ )
10192, 57, 17redivcld 10435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  e.  RR )
102 absz 13374 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C )  e.  RR  ->  ( (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C )  e.  ZZ  <->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  ZZ ) )
103101, 102syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C )  e.  ZZ  <->  ( abs `  ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  ZZ ) )
104100, 103mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  e.  ZZ )
105 0lt1 10136 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
106 0re 9643 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
107 1re 9642 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
108106, 107ltnlei 9755 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
109105, 108mpbi 212 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  0
1109, 4mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  E
)  e.  CC )
1112, 11mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  F
)  e.  CC )
112110, 111subcld 9986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  e.  CC )
113112, 16, 17divcld 10383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
)  e.  CC )
114113abscld 13498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) )  e.  RR )
115114resqcld 12442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1166nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
117116nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
118114sqge0d 12443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ) ^
2 ) )
11925, 115, 117, 118mulge0d 10190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( D  x.  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )
12025, 115remulcld 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
12147, 120suble0d 10204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  <_  0  <->  0  <_  ( D  x.  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) ) )
122119, 121mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ) ^
2 ) ) )  <_  0 )
123 breq1 4405 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  ( 0  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
1  <_  0  <->  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  <_  0
) )
124122, 123syl5ibrcom 226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  =  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) )  -> 
1  <_  0 ) )
125109, 124mtoi 182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  1  =  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) ) )
126 absresq 13365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C )  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
) ^ 2 ) )
127101, 126syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) ^ 2 ) )
12814, 16, 17sqdivd 12429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ^ 2 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
12914sqvald 12413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) ) )
130129oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) ^
2 )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  / 
( C ^ 2 ) ) )
131127, 128, 1303eqtrd 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) ) )
13226, 23remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  x.  E
)  e.  RR )
13322, 27remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  x.  F
)  e.  RR )
134132, 133resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  e.  RR )
135134, 57, 17redivcld 10435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
)  e.  RR )
136 absresq 13365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ^
2 ) )
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ^
2 ) )
138112, 16, 17sqdivd 12429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ^ 2 )  /  ( C ^
2 ) ) )
139137, 138eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) ^ 2 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
140139oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) ^ 2 )  / 
( C ^ 2 ) ) ) )
141112sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ^ 2 )  e.  CC )
14216sqcld 12414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
143 sqne0 12341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  CC  ->  (
( C ^ 2 )  =/=  0  <->  C  =/=  0 ) )
14416, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  =/=  0  <->  C  =/=  0 ) )
14517, 144mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =/=  0 )
1467, 141, 142, 145divassd 10418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ^ 2 ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ^
2 )  /  ( C ^ 2 ) ) ) )
147112sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ) )
148147oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ) ) )
149148oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ^ 2 ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ) )  / 
( C ^ 2 ) ) )
150140, 146, 1493eqtr2d 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ) )  /  ( C ^
2 ) ) )
151131, 150oveq12d 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  / 
( C ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) ) ) )
15214, 14mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  x.  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
153112, 112mulcld 9663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  x.  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
1547, 153mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
155152, 154, 142, 145divsubdird 10422 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  / 
( C ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) ) ) )
1565, 13, 5, 13mulsubd 10077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  x.  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) ) )
157110, 111, 110, 111mulsubd 10077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  x.  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  =  ( ( ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
)  +  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) )  -  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) )  +  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
158157oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  =  ( D  x.  ( ( ( ( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) )  +  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) )  -  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) )  +  ( ( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
159110, 110mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
)  e.  CC )
160111, 111mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
)  e.  CC )
161159, 160addcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) )  +  ( ( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
162110, 111mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
)  e.  CC )
163162, 162addcld 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) )  +  ( ( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
1647, 161, 163subdid 10074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) )  +  ( ( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  -  ( ( ( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) )  +  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) ) ) )  =  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) )  +  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )  -  ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) )  +  ( ( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
1657, 159, 160adddid 9667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
)  +  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  =  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
1667, 162, 162adddid 9667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
)  +  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  =  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
167165, 166oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) )  +  ( ( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( D  x.  ( (
( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) )  +  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) ) ) )  =  ( ( ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) )  +  ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
168158, 164, 1673eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  =  ( ( ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) )  +  ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
169156, 168oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) ) )
170169oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E
) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) ) )  -  ( ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )  / 
( C ^ 2 ) ) )
1715, 13mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( A  x.  E
) ) )
1727, 12, 5mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( A  x.  E )
)  =  ( D  x.  ( ( B  x.  F )  x.  ( A  x.  E
) ) ) )
1732, 4mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  x.  E
)  =  ( E  x.  A ) )
174173oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  F )  x.  ( A  x.  E )
)  =  ( ( B  x.  F )  x.  ( E  x.  A ) ) )
1759, 11, 4, 2mul4d 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  F )  x.  ( E  x.  A )
)  =  ( ( B  x.  E )  x.  ( F  x.  A ) ) )
17611, 2mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F  x.  A
)  =  ( A  x.  F ) )
177176oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  x.  ( F  x.  A )
)  =  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )
178174, 175, 1773eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  F )  x.  ( A  x.  E )
)  =  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )
179178oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  F
)  x.  ( A  x.  E ) ) )  =  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )
180171, 172, 1793eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) )
181180, 180oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  +  ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  =  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
182181oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
183182oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  +  ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E
) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )  -  ( ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) ) )
1845, 5mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  e.  CC )
18513, 13mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  e.  CC )
186184, 185addcld 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E
) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
1877, 159mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) ) )  e.  CC )
1887, 160mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
189187, 188addcld 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
1907, 162mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
191190, 190addcld 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
192186, 189, 191nnncan2d 10021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) ) )  +  ( D  x.  (
( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
193184, 185, 187, 188addsub4d 10033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) ) ) )
1945sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E ) ) )
195110sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )
196195oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) ) ) )
197194, 196oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E ) ^
2 )  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) ) ) )
19813sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )
199111sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) )
200199oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( A  x.  F
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )
201198, 200oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ^
2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
202197, 201oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) ) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  -  ( D  x.  (
( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
2032, 4sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
2049, 4sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
205204oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( B ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
2069sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2077, 206, 36mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( B ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
208205, 207eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^
2 ) ) )
209203, 208oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E ) ^
2 )  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^
2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
2107sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  =  ( D  x.  D ) )
2119, 11sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )
212210, 211oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  x.  (
( B  x.  F
) ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  D )  x.  ( ( B ^ 2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
2137, 12sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  =  ( ( D ^ 2 )  x.  ( ( B  x.  F ) ^
2 ) ) )
2147, 7mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D  x.  D
)  e.  CC )
215214, 206, 37mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  D )  x.  ( ( B ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
216212, 213, 2153eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( D  x.  D
)  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) ) )
2172, 11sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )
218217oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( A  x.  F
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
2192sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
2207, 219, 37mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
221218, 220eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( A  x.  F
) ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) ) )
222216, 221oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ^
2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
223209, 222oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^
2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^
2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) ) ) ) )
2247, 206mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
225219, 224, 36subdird 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
226 pellex.no1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  C )
227226oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( C  x.  ( E ^ 2 ) ) )
228225, 227eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  ( C  x.  ( E ^ 2 ) ) )
2297, 7, 206mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
230229oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
231230oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^
2 ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
232214, 206mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
2337, 219mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
234232, 233, 37subdird 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^
2 ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( D  x.  D
)  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
235 subdi 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  CC  /\  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( D  x.  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^
2 ) ) )  =  ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
236235eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  CC  /\  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^
2 ) ) )  =  ( D  x.  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
2377, 224, 219, 236syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^
2 ) ) )  =  ( D  x.  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
238 negsubdi2 9933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  -u ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^
2 ) ) )
239238eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
240219, 224, 239syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
241226negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  -> 
-u ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  -u C
)
242240, 241eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  -u C )
243242oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^
2 ) ) )  =  ( D  x.  -u C ) )
2447, 16mulneg2d 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D  x.  -u C
)  =  -u ( D  x.  C )
)
245237, 243, 2443eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( D  x.  C ) )
246245oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
247231, 234, 2463eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^
2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) ) )  =  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
248228, 247oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
2497, 16mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D  x.  C
)  e.  CC )
250249, 37mulneg1d 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  -u ( ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
2517, 16mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( D  x.  C
)  =  ( C  x.  D ) )
252251oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( C  x.  D )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
25316, 7, 37mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  D )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
254252, 253eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
255254negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
-u ( ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  -u ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
256250, 255eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  -u ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
257256oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( -u ( D  x.  C
)  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  -u ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
25816, 36mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC )
25916, 38mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  e.  CC )
260258, 259negsubd 9992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  -u ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( E ^
2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
26161oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) )  =  ( C  x.  C ) )
262 subdi 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( E ^ 2 )  e.  CC  /\  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( C  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
263262eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( E ^ 2 )  e.  CC  /\  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( C  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) ) )
26416, 36, 38, 263syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( C  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) ) )
26516sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C  x.  C ) )
266261, 264, 2653eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( C ^ 2 ) )
267257, 260, 2663eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( -u ( D  x.  C
)  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( C ^ 2 ) )
268223, 248, 2673eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^
2 ) ) ) )  =  ( C ^ 2 ) )
269193, 202, 2683eqtr2d 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )  =  ( C ^
2 ) )
270183, 192, 2693eqtrd 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  +  ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) )  =  ( C ^ 2 ) )
271270oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
272142, 145dividd 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  /  ( C ^ 2 ) )  =  1 )
273170, 271, 2723eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  1 )
274151, 155, 2733eqtr2d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
275274adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
276 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =  0 )
277276oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C )  =  ( 0  /  C
) )
278277fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) )  =  ( abs `  (
0  /  C ) ) )
27916, 17div0d 10382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  /  C
)  =  0 )
280279abs00bd 13354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
0  /  C ) )  =  0 )
281280adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  ( 0  /  C ) )  =  0 )
282278, 281eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) )  =  0 )
283282sq0id 12368 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  =  0 )
284283oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) ) )
285275, 284eqtr3d 2487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  1  =  ( 0  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) ) )
286125, 285mtand 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  =  0 )
287286neqned 2631 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =/=  0 )
28814, 16, 287, 17divne0d 10399 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  =/=  0 )
289 nnabscl 13388 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  =/=  0 )  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  NN )
290104, 288, 289syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  NN )
291112, 16, 17absdivd 13517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) )  =  ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) )  /  ( abs `  C
) ) )
292 negsub 9922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  x.  E
)  e.  CC  /\  ( A  x.  F
)  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  E )  + 
-u ( A  x.  F ) )  =  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) )
293292eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  x.  E
)  e.  CC  /\  ( A  x.  F
)  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  =  ( ( B  x.  E
)  +  -u ( A  x.  F )
) )
294110, 111, 293syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  =  ( ( B  x.  E )  +  -u ( A  x.  F ) ) )
295294oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( ( B  x.  E )  +  -u ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
296133renegcld 10046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( A  x.  F )  e.  RR )
29711, 4mulcomd 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  x.  E
)  =  ( E  x.  F ) )
298297oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  F )  mod  ( abs `  C
) ) )
299 modmul1 12143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  F  e.  RR )  /\  ( E  e.  ZZ  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( B  mod  ( abs `  C ) )  =  ( F  mod  ( abs `  C
) ) )  -> 
( ( B  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( F  x.  E )  mod  ( abs `  C
) ) )
30026, 27, 32, 31, 78, 299syl221anc 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( F  x.  E )  mod  ( abs `  C
) ) )
301 modmul1 12143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  E  e.  RR )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  ( abs `  C ) )  =  ( E  mod  ( abs `  C
) ) )  -> 
( ( A  x.  F )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  F )  mod  ( abs `  C
) ) )
30222, 23, 76, 31, 33, 301syl221anc 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  F )  mod  ( abs `  C
) ) )
303298, 300, 3023eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( A  x.  F )  mod  ( abs `  C
) ) )
304 modadd1 12134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  x.  E )  e.  RR  /\  ( A  x.  F
)  e.  RR )  /\  ( -u ( A  x.  F )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( ( B  x.  E )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( A  x.  F
)  mod  ( abs `  C ) ) )  ->  ( ( ( B  x.  E )  +  -u ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( ( A  x.  F )  +  -u ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
305132, 133, 296, 31, 303, 304syl221anc 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  + 
-u ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( ( A  x.  F )  +  -u ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
306111negidd 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F )  +  -u ( A  x.  F
) )  =  0 )
307306oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  F )  + 
-u ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C ) ) )
308295, 305, 3073eqtrd 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C
) ) )
309308, 64eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
310 absmod0 13366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  0 ) )
311134, 31, 310syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  0  <-> 
( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 ) )
312309, 311mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
313112abscld 13498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  e.  RR )
314 mod0 12103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ ) )
315313, 31, 314syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) )  / 
( abs `  C
) )  e.  ZZ ) )
316312, 315mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ )
317291, 316eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) )  e.  ZZ )
318 absz 13374 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C )  e.  RR  ->  (
( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
)  e.  ZZ  <->  ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) )  e.  ZZ ) )
319135, 318syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  /  C )  e.  ZZ  <->  ( abs `  ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) )  e.  ZZ ) )
320317, 319mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
)  e.  ZZ )
321 pellex.neq . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  E  /\  B  =  F ) )
32210nnne0d 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =/=  0 )
3233nnne0d 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
3249, 11, 2, 4, 322, 323divmuleqd 10429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  F )  =  ( A  /  E )  <-> 
( B  x.  E
)  =  ( A  x.  F ) ) )
32561adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  C )
326325eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  C  =  ( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
327326oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  C )  =  ( ( ( B  /  F ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) ) )
3289, 11, 322divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  /  F
)  e.  CC )
329328sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  F ) ^ 2 )  e.  CC )
330329adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( ( B  /  F ) ^
2 )  e.  CC )
33136adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
33238adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
333330, 331, 332subdid 10074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( B  /  F ) ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( ( ( B  /  F ) ^ 2 )  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
334 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  /  F )  =  ( A  /  E )  ->  (
( B  /  F
) ^ 2 )  =  ( ( A  /  E ) ^
2 ) )
335334oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  /  F )  =  ( A  /  E )  ->  (
( ( B  /  F ) ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  E ) ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )
336335adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( ( ( A  /  E ) ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )
3372adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  A  e.  CC )
3384adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  E  e.  CC )
339323adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  E  =/=  0 )
340337, 338, 339sqdivd 12429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( ( A  /  E ) ^
2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( E ^ 2 ) ) )
341340oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( A  /  E
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( E ^ 2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) )
342219adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
343 sqne0 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E  e.  CC  ->  (
( E ^ 2 )  =/=  0  <->  E  =/=  0 ) )
3444, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  =/=  0  <->  E  =/=  0 ) )
345323, 344mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =/=  0 )
346345adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( E ^ 2 )  =/=  0 )
347342, 331, 346divcan1d 10384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  /  ( E ^ 2 ) )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
348336, 341, 3473eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
3497adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  D  e.  CC )
35037adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
351330, 349, 350mul12d 9842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( D  x.  ( ( ( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) ) )
3529adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  B  e.  CC )
35311adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  F  e.  CC )
354322adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  F  =/=  0 )
355352, 353, 354sqdivd 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( ( B  /  F ) ^
2 )  =  ( ( B ^ 2 )  /  ( F ^ 2 ) ) )
356355oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  / 
( F ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
357356oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( D  x.  ( ( ( B  /  F ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( D  x.  ( ( ( B ^ 2 )  /  ( F ^
2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
358206adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
359 sqne0 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e.  CC  ->  (
( F ^ 2 )  =/=  0  <->  F  =/=  0 ) )
36011, 359syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  =/=  0  <->  F  =/=  0 ) )
361322, 360mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  =/=  0 )
362361adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( F ^ 2 )  =/=  0 )
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