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Theorem pellexlem5 30401
Description: Lemma for pellex 30403. Invoking fiphp3d 30385, we have infinitely many near-solutions for some specific norm. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) )
Distinct variable group:    x, D, y, z

Proof of Theorem pellexlem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellexlem4 30400 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  ~~  NN )
2 fzfi 12050 . . . 4  |-  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  Fin
3 diffi 7751 . . . 4  |-  ( (
-u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e. 
Fin  ->  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  e. 
Fin )
42, 3mp1i 12 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  e. 
Fin )
5 elopab 4755 . . . . 5  |-  ( a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  <->  E. y E. z ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )
6 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( 1st `  a
)  =  ( 1st `  <. y ,  z
>. ) )
76oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  =  ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) )
8 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( 2nd `  a
)  =  ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) )
98oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 )  =  ( ( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) )
109oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) ^ 2 ) ) )
117, 10oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) ) ) )
12 vex 3116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
13 vex 3116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
1412, 13op1st 6792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. y ,  z
>. )  =  y
1514oveq1i 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  =  ( y ^ 2 )
1612, 13op2nd 6793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2nd `  <. y ,  z
>. )  =  z
1716oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  =  ( z ^ 2 )
1817oveq2i 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  x.  ( ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( z ^
2 ) )
1915, 18oveq12i 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )
2011, 19syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )
2120ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )
22 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( a  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( a  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  ->  D  e.  NN )
24 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
2524ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( a  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
26 nnz 10886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
28 zsqcl 12206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  ZZ )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( y ^ 2 )  e.  ZZ )
30 nnz 10886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  ZZ )
3130ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  D  e.  ZZ )
32 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  z  e.  NN )
3332nnzd 10965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
34 zsqcl 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( z ^ 2 )  e.  ZZ )
3631, 35zmulcld 10972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( D  x.  ( z ^ 2 ) )  e.  ZZ )
3729, 36zsubcld 10971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
38 1re 9595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
39 2re 10605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
40 nnre 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR )
4140ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  D  e.  RR )
42 nnnn0 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  NN0 )
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
4443nn0ge0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  0  <_  D )
4541, 44resqrtcld 13212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
46 remulcl 9577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  D )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
4739, 45, 46sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  D
) )  e.  RR )
48 readdcl 9575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
4938, 47, 48sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  RR )
5049flcld 11903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  ZZ )
5150znegcld 10968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  ZZ )
5237zred 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5350zred 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
54 nn0abscl 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) ) )  e. 
NN0 )
5537, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  e.  NN0 )
5655nn0zd 10964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  e.  ZZ )
5756zred 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
58 peano2re 9752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  +  1 )  e.  RR )
5953, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  +  1 )  e.  RR )
60 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
61 flltp1 11905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  RR  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  < 
( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  +  1 ) )
6249, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  < 
( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  +  1 ) )
6357, 49, 59, 60, 62lttrd 9742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  +  1 ) )
64 zleltp1 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <->  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  +  1 ) ) )
6556, 50, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <-> 
( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  +  1 ) ) )
6663, 65mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )
67 absle 13111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <->  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
6867biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )  /\  ( abs `  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  ->  ( -u ( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
6952, 53, 66, 68syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
70 elfz 11678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ZZ  /\  -u ( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <->  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
7170biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  e.  ZZ  /\  -u ( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )  ->  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  e.  (
-u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
7237, 51, 50, 69, 71syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
7322, 23, 25, 72syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( a  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
7473adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
75 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
7675ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
77 eldifsn 4152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  <->  ( (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
7874, 76, 77sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( (
-u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) )
7921, 78eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) )
8079ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( a  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )  ->  (
( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) ) )
8180exlimdvv 1701 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( E. y E. z ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )  ->  (
( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) ) )
825, 81syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  ->  (
( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) ) )
8382imp 429 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) } )  -> 
( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) )
841, 4, 83fiphp3d 30385 . 2  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. x  e.  ( ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )
85 eldif 3486 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  <->  ( x  e.  ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  /\  -.  x  e.  { 0 } ) )
86 elfzelz 11688 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
87 simp2 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  x  e.  ZZ  /\ 
-.  x  e.  {
0 } )  ->  x  e.  ZZ )
88 elsn 4041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { 0 }  <-> 
x  =  0 )
8988biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  x  e.  { 0 } )
9089necon3bi 2696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  { 0 }  ->  x  =/=  0 )
91903ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  x  e.  ZZ  /\ 
-.  x  e.  {
0 } )  ->  x  =/=  0 )
9287, 91jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  x  e.  ZZ  /\ 
-.  x  e.  {
0 } )  -> 
( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )
93923exp 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  ( -.  x  e.  { 0 }  ->  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) ) ) )
9486, 93syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( x  e.  ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  -> 
( -.  x  e. 
{ 0 }  ->  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) ) ) )
9594impd 431 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( x  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  /\  -.  x  e.  { 0 } )  ->  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) ) )
9685, 95syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) ) )
97 simp2l 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  x  e.  ZZ )
98 simp2r 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  x  =/=  0
)
99 nnex 10542 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
10099, 99xpex 6588 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN 
X.  NN )  e. 
_V
101 opabssxp 5074 . . . . . . . . . 10  |-  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  C_  ( NN  X.  NN )
102 ssdomg 7561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  X.  NN )  e.  _V  ->  ( { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  C_  ( NN  X.  NN )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  ( NN 
X.  NN ) ) )
103100, 101, 102mp2 9 . . . . . . . . 9  |-  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  ( NN 
X.  NN )
104 xpnnen 13803 . . . . . . . . 9  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
105 domentr 7574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  NN )
106103, 104, 105mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  NN
107 ensym 7564 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN  ->  NN 
~~  { a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x } )
1081073ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  NN  ~~  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x } )
109100, 101ssexi 4592 . . . . . . . . . 10  |-  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  e.  _V
110 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  b  ->  ( 1st `  a )  =  ( 1st `  b
) )
111110oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  b  ->  (
( 1st `  a
) ^ 2 )  =  ( ( 1st `  b ) ^ 2 ) )
112 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  b  ->  ( 2nd `  a )  =  ( 2nd `  b
) )
113112oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  b  ->  (
( 2nd `  a
) ^ 2 )  =  ( ( 2nd `  b ) ^ 2 ) )
114113oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  b  ->  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^
2 ) )  =  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )
115111, 114oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) ) )
116115eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 ) ) )  =  x  <->  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x ) )
117116elrab 3261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  <->  ( b  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  /\  (
( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x ) )
118 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
b  =  <. y ,  z >. )
119 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )
120 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( 1st `  b
)  =  ( 1st `  <. y ,  z
>. ) )
121120oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  =  ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) )
122 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( 2nd `  b
)  =  ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) )
123122oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( 2nd `  b ) ^ 2 )  =  ( ( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) )
124123oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) ^ 2 ) ) )
125121, 124oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) ) ) )
126125, 19syl6req 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) ) )
127126ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) ) )
128 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b ) ^ 2 ) ) )  =  x )
129127, 128eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x )
130118, 119, 129jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( b  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) ) )
131130ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  ->  ( (
b  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )  ->  (
b  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) ) ) )
1321312eximdv 1688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  ->  ( E. y E. z ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )  ->  E. y E. z ( b  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) ) ) )
133 elopab 4755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  <->  E. y E. z ( b  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )
134 elopab 4755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  <->  E. y E. z ( b  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) ) )
135132, 133, 1343imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  ->  ( b  e.  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  ->  b  e.  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) } ) )
136135expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x  /\  b  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) } )  -> 
b  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } ) )
137136ancomsd 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( b  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  /\  (
( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  ->  b  e.  {
<. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) } ) )
138117, 137syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( b  e.  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ->  b  e.  {
<. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) } ) )
139138ssrdv 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  C_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
1401393adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  { a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  C_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
141 ssdomg 7561 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) }  e.  _V  ->  ( { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  C_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ->  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } ) )
142109, 140, 141mpsyl 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  { a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
143 endomtr 7573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN  ~~  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  /\  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )  ->  NN 
~<_  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
144108, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  NN  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
145 sbth 7637 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )  ->  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN )
146106, 144, 145sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN )
14797, 98, 146jca32 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) } 
~~  NN ) ) )
1481473exp 1195 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  ->  ( { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN  ->  ( x  e.  ZZ  /\  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) ) ) ) )
14996, 148syld 44 . . . 4  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } )  ->  ( { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN  ->  ( x  e.  ZZ  /\  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) ) ) ) )
150149impd 431 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  /\  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) } 
~~  NN ) ) ) )
151150reximdv2 2934 . 2  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( E. x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN  ->  E. x  e.  ZZ  (
x  =/=  0  /\ 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) ) )
15284, 151mpd 15 1  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504    X. cxp 4997   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783    ~~ cen 7513    ~<_ cdom 7514   Fincfn 7516   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   QQcq 11182   ...cfz 11672   |_cfl 11895   ^cexp 12134   sqrcsqrt 13029   abscabs 13030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-numer 14127  df-denom 14128
This theorem is referenced by:  pellex  30403
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