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Theorem pellexlem5 26786
Description: Lemma for pellex 26788. Invoking fiphp3d 26770, we have infinitely many near-solutions for some specific norm. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) )
Distinct variable group:    x, D, y, z

Proof of Theorem pellexlem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellexlem4 26785 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  ~~  NN )
2 fzfi 11266 . . . 4  |-  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  Fin
3 diffi 7298 . . . 4  |-  ( (
-u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e. 
Fin  ->  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  e. 
Fin )
42, 3mp1i 12 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  e. 
Fin )
5 elopab 4422 . . . . 5  |-  ( a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  <->  E. y E. z ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )
6 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( 1st `  a
)  =  ( 1st `  <. y ,  z
>. ) )
76oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  =  ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) )
8 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( 2nd `  a
)  =  ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) )
98oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 )  =  ( ( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) )
109oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) ^ 2 ) ) )
117, 10oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) ) ) )
12 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
13 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
1412, 13op1st 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. y ,  z
>. )  =  y
1514oveq1i 6050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  =  ( y ^ 2 )
1612, 13op2nd 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2nd `  <. y ,  z
>. )  =  z
1716oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  =  ( z ^ 2 )
1817oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  x.  ( ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( z ^
2 ) )
1915, 18oveq12i 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )
2011, 19syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )
2120ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )
22 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( a  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )
23 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( a  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  ->  D  e.  NN )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
2524ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( a  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
26 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
28 zsqcl 11407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  ZZ )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( y ^ 2 )  e.  ZZ )
30 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  ZZ )
3130ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  D  e.  ZZ )
32 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  z  e.  NN )
3332nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
34 zsqcl 11407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( z ^ 2 )  e.  ZZ )
3631, 35zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( D  x.  ( z ^ 2 ) )  e.  ZZ )
3729, 36zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
38 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
39 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
40 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR )
4140ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  D  e.  RR )
42 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  NN0 )
4342ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  D  e.  NN0 )
4443nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  0  <_  D )
4541, 44resqrcld 12175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
46 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  D )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
4739, 45, 46sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  D
) )  e.  RR )
48 readdcl 9029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
4938, 47, 48sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  RR )
5049flcld 11162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  ZZ )
5150znegcld 10333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  ZZ )
5237zred 10331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5350zred 10331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
54 nn0abscl 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) ) )  e. 
NN0 )
5537, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  e.  NN0 )
5655nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  e.  ZZ )
5756zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
58 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  +  1 )  e.  RR )
5953, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  +  1 )  e.  RR )
60 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
61 flltp1 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  RR  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  < 
( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  +  1 ) )
6249, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  < 
( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  +  1 ) )
6357, 49, 59, 60, 62lttrd 9187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  +  1 ) )
64 zleltp1 10282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <->  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  +  1 ) ) )
6556, 50, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) ) )  <_ 
( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <-> 
( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  +  1 ) ) )
6663, 65mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )
67 absle 12074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <->  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
6867biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )  /\  ( abs `  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  ->  ( -u ( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
6952, 53, 66, 68syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
70 elfz 11005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ZZ  /\  -u ( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <->  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
7170biimpar 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  e.  ZZ  /\  -u ( |_ `  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  <_  ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )  ->  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  e.  (
-u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
7237, 51, 50, 69, 71syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( D  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
7322, 23, 25, 72syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( a  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
7473adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
75 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
7675ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
77 eldifsn 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  <->  ( (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
7874, 76, 77sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  e.  ( (
-u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) )
7921, 78eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) )
8079ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( a  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )  ->  (
( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) ) )
8180exlimdvv 1644 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( E. y E. z ( a  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )  ->  (
( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) ) )
825, 81syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  ->  (
( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) ) )
8382imp 419 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) } )  -> 
( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) )
841, 4, 83fiphp3d 26770 . 2  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. x  e.  ( ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )
85 eldif 3290 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  <->  ( x  e.  ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  /\  -.  x  e.  { 0 } ) )
86 elfzelz 11015 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
87 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  x  e.  ZZ  /\ 
-.  x  e.  {
0 } )  ->  x  e.  ZZ )
88 elsn 3789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { 0 }  <-> 
x  =  0 )
8988biimpri 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  x  e.  { 0 } )
9089necon3bi 2608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  { 0 }  ->  x  =/=  0 )
91903ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  x  e.  ZZ  /\ 
-.  x  e.  {
0 } )  ->  x  =/=  0 )
9287, 91jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  x  e.  ZZ  /\ 
-.  x  e.  {
0 } )  -> 
( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )
93923exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( x  e.  ZZ  ->  ( -.  x  e.  { 0 }  ->  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) ) ) )
9486, 93syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( x  e.  ( -u ( |_
`  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  -> 
( -.  x  e. 
{ 0 }  ->  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) ) ) )
9594imp3a 421 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( x  e.  ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  /\  -.  x  e.  { 0 } )  ->  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) ) )
9685, 95syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) ) )
97 simp2l 983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  x  e.  ZZ )
98 simp2r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  x  =/=  0
)
99 nnex 9962 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
10099, 99xpex 4949 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN 
X.  NN )  e. 
_V
101 opabssxp 4909 . . . . . . . . . 10  |-  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  C_  ( NN  X.  NN )
102 ssdomg 7112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  X.  NN )  e.  _V  ->  ( { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  C_  ( NN  X.  NN )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  ( NN 
X.  NN ) ) )
103100, 101, 102mp2 9 . . . . . . . . 9  |-  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  ( NN 
X.  NN )
104 xpnnen 12763 . . . . . . . . 9  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
105 domentr 7125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  NN )
106103, 104, 105mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  NN
107 ensym 7115 . . . . . . . . . 10  |-  ( { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN  ->  NN 
~~  { a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x } )
1081073ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  NN  ~~  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x } )
109100, 101ssexi 4308 . . . . . . . . . 10  |-  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  e.  _V
110 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  b  ->  ( 1st `  a )  =  ( 1st `  b
) )
111110oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  b  ->  (
( 1st `  a
) ^ 2 )  =  ( ( 1st `  b ) ^ 2 ) )
112 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  b  ->  ( 2nd `  a )  =  ( 2nd `  b
) )
113112oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  b  ->  (
( 2nd `  a
) ^ 2 )  =  ( ( 2nd `  b ) ^ 2 ) )
114113oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  b  ->  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^
2 ) )  =  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )
115111, 114oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) ) )
116115eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ( 1st `  a ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a ) ^ 2 ) ) )  =  x  <->  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x ) )
117116elrab 3052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  <->  ( b  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  /\  (
( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x ) )
118 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
b  =  <. y ,  z >. )
119 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN ) )
120 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( 1st `  b
)  =  ( 1st `  <. y ,  z
>. ) )
121120oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  =  ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) )
122 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( 2nd `  b
)  =  ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) )
123122oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( 2nd `  b ) ^ 2 )  =  ( ( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) )
124123oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( 2nd `  <. y ,  z
>. ) ^ 2 ) ) )
125121, 124oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  <. y ,  z >. ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  <. y ,  z >. ) ^ 2 ) ) ) )
126125, 19syl6req 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) ) )
127126ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) ) )
128 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b ) ^ 2 ) ) )  =  x )
129127, 128eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x )
130118, 119, 129jca32 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  /\  ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )  -> 
( b  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) ) )
131130ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  ->  ( (
b  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )  ->  (
b  =  <. y ,  z >.  /\  (
( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) ) ) )
1321312eximdv 1631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  ->  ( E. y E. z ( b  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )  ->  E. y E. z ( b  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) ) ) )
133 elopab 4422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  <->  E. y E. z ( b  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) ) )
134 elopab 4422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  <->  E. y E. z ( b  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) ) )
135132, 133, 1343imtr4g 262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D )  e.  QQ )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  /\  ( ( ( 1st `  b ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  ->  ( b  e.  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  ->  b  e.  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) } ) )
136135expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x  /\  b  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) } )  -> 
b  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } ) )
137136ancomsd 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( b  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  /\  (
( ( 1st `  b
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  b
) ^ 2 ) ) )  =  x )  ->  b  e.  {
<. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) } ) )
138117, 137syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( b  e.  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ->  b  e.  {
<. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) } ) )
139138ssrdv 3314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  C_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
1401393adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  { a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  C_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
141 ssdomg 7112 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) }  e.  _V  ->  ( { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  C_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ->  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } ) )
142109, 140, 141mpsyl 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  { a  e. 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
143 endomtr 7124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN  ~~  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  /\  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )  ->  NN 
~<_  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
144108, 142, 143syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  NN  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )
145 sbth 7186 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) } )  ->  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN )
146106, 144, 145sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  (
z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN )
14797, 98, 146jca32 522 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\ 
-.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  {
a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) } 
~~  NN ) ) )
1481473exp 1152 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  ->  ( { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN  ->  ( x  e.  ZZ  /\  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) ) ) ) )
14996, 148syld 42 . . . 4  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } )  ->  ( { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
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1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN  ->  ( x  e.  ZZ  /\  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) ) ) ) )
150149imp3a 421 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( ( x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  {
0 } )  /\  { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( ( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) ) }  |  ( ( ( 1st `  a
) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN )  ->  ( x  e.  ZZ  /\  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) )  =  x ) } 
~~  NN ) ) ) )
151150reximdv2 2775 . 2  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( E. x  e.  ( ( -u ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) ... ( |_ `  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )  \  { 0 } ) { a  e.  { <. y ,  z >.  |  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  (
( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =/=  0  /\  ( abs `  (
( y ^ 2 )  -  ( D  x.  ( z ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
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) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( 2nd `  a
) ^ 2 ) ) )  =  x }  ~~  NN  ->  E. x  e.  ZZ  (
x  =/=  0  /\ 
{ <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) ) )
15284, 151mpd 15 1  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  =/=  0  /\  { <. y ,  z
>.  |  ( (
y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  /\  ( ( y ^
2 )  -  ( D  x.  ( z ^ 2 ) ) )  =  x ) }  ~~  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   {copab 4225    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   QQcq 10530   ...cfz 10999   |_cfl 11156   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993   abscabs 11994
This theorem is referenced by:  pellex  26788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083
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