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Theorem pellexlem2 30398
Description: Lemma for pellex 30403. Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )

Proof of Theorem pellexlem2
StepHypRef Expression
1 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  NN )
21nnred 10551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  RR )
32resqcld 12304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  RR )
42sqge0d 12305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( B ^ 2 ) )
53, 4absidd 13217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  ( B ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
65eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) )
76oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  /  ( abs `  ( B ^
2 ) ) ) )
8 simpl2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  NN )
98nncnd 10552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  CC )
109sqcld 12276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
11 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN )
1211nncnd 10552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  CC )
131nncnd 10552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  CC )
1413sqcld 12276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  CC )
1512, 14mulcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
1610, 15subcld 9930 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
171nnne0d 10580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  =/=  0 )
18 sqne0 12202 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
1918biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2013, 17, 19syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2116, 14, 20absdivd 13249 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  / 
( abs `  ( B ^ 2 ) ) ) )
227, 21eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
2322oveq2d 6300 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2416abscld 13230 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
2524recnd 9622 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
2625, 14, 20divcan2d 10322 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2710, 15, 14, 20divsubdird 10359 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
289, 13, 17sqdivd 12291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) ) )
2928eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  /  B ) ^
2 ) )
3011nnred 10551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  RR )
3111nnnn0d 10852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN0 )
3231nn0ge0d 10855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  D )
33 remsqsqrt 13053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3430, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3530, 32resqrtcld 13212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
3635recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  CC )
3736sqvald 12275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  D )  x.  ( sqr `  D ) ) )
3812, 14, 20divcan4d 10326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  D )
3934, 37, 383eqtr4rd 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4029, 39oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A  /  B ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
419, 13, 17divcld 10320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  CC )
42 subsq 12243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4341, 36, 42syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4441, 36addcld 9615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
458nnred 10551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  RR )
4645, 1nndivred 10584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
4746, 35resubcld 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
4847recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
4944, 48mulcomd 9617 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5043, 49eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5127, 40, 503eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5251fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
5352oveq2d 6300 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5423, 26, 533eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5548, 44absmuld 13248 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
5655oveq2d 6300 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
5748abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5844abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5957, 58remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
603, 59remulcld 9624 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
61 2nn0 10812 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
6261nn0negzi 10902 . . . . . . . 8  |-  -u 2  e.  ZZ
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
642, 17, 63reexpclzd 12303 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  RR )
6564, 58remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
663, 65remulcld 9624 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
67 1re 9595 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  e.  RR )
69 2re 10605 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
2  e.  RR )
7170, 35remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
7268, 71readdcld 9623 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
73 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )
748nngt0d 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  A )
751nngt0d 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  B )
7645, 2, 74, 75divgt0d 10481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
7711nngt0d 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  D )
78 sqrtgt0 13055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
7930, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
8046, 35, 76, 79addgt0d 10127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )
8180gt0ne0d 10117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )
82 absgt0 13120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  ->  ( (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
8382biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  /\  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )  ->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
8444, 81, 83syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
85 ltmul1 10392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  ( B ^ -u 2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8657, 64, 58, 84, 85syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8773, 86mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
882, 17sqgt0d 12306 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( B ^ 2 ) )
89 ltmul2 10393 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
2 ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <->  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
9059, 65, 3, 88, 89syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  < 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <-> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
9187, 90mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9213, 17, 63expclzd 12283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  CC )
9358recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  CC )
94 mulass 9580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9594eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
9614, 92, 93, 95syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
97 expneg 12142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9813, 61, 97sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9998oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( B ^ 2 ) ) ) )
10014, 20recidd 10315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
1  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 )
10199, 100eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  1 )
102101oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2
) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
10393mulid2d 9614 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10496, 102, 1033eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10541, 36addcomd 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
106 ppncan 9861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
107106eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10836, 36, 41, 107syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10936, 36addcld 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
110109, 48addcomd 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
111 2times 10654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) ) )
112111eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
11336, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
114113oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
115110, 114eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
116105, 108, 1153eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
117116fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  =  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )
11847, 71readdcld 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  RR )
119118recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )
120119abscld 13230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
12171recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
122121abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
12357, 122readdcld 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
12448, 121abstrid 13250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )
125 0le2 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
126125a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  2 )
12730, 32sqrtge0d 13215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  D ) )
12870, 35, 126, 127mulge0d 10129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
12971, 128absidd 13217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
130129oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
1311nnsqcld 12298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  NN )
132131nnge1d 10578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  <_  ( B ^ 2 ) )
133 0lt1 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  1 )
135 lerec 10427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( B ^ 2 ) ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
13668, 134, 3, 88, 135syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
137132, 136mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 1  / 
1 ) )
138 1div1e1 10237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
139137, 138syl6breq 4486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  1 )
14098, 139eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  <_  1 )
14157, 64, 68, 73, 140ltletrd 9741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  1 )
14257, 68, 141ltled 9732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <_  1 )
14357, 68, 71, 142leadd1dd 10166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  <_ 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
144130, 143eqbrtrd 4467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
145120, 123, 72, 124, 144letrd 9738 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
146117, 145eqbrtrd 4467 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
147104, 146eqbrtrd 4467 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
14860, 66, 72, 91, 147ltletrd 9741 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
14956, 148eqbrtrd 4467 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
15054, 149eqbrtrd 4467 1  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ^cexp 12134   sqrcsqrt 13029   abscabs 13030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032
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