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Theorem pellexlem2 35745
Description: Lemma for pellex 35750. Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )

Proof of Theorem pellexlem2
StepHypRef Expression
1 simpl3 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  NN )
21nnred 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  RR )
32resqcld 12480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  RR )
42sqge0d 12481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( B ^ 2 ) )
53, 4absidd 13561 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  ( B ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
65eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) )
76oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  /  ( abs `  ( B ^
2 ) ) ) )
8 simpl2 1034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  NN )
98nncnd 10647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  CC )
109sqcld 12452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
11 simpl1 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN )
1211nncnd 10647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  CC )
131nncnd 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  CC )
1413sqcld 12452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  CC )
1512, 14mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
1610, 15subcld 10005 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
171nnne0d 10676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  =/=  0 )
18 sqne0 12379 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
1918biimpar 493 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2013, 17, 19syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2116, 14, 20absdivd 13594 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  / 
( abs `  ( B ^ 2 ) ) ) )
227, 21eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
2322oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2416abscld 13575 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
2524recnd 9687 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
2625, 14, 20divcan2d 10407 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2710, 15, 14, 20divsubdird 10444 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
289, 13, 17sqdivd 12467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) ) )
2928eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  /  B ) ^
2 ) )
3011nnred 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  RR )
3111nnnn0d 10949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN0 )
3231nn0ge0d 10952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  D )
33 remsqsqrt 13397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3430, 32, 33syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3530, 32resqrtcld 13556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
3635recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  CC )
3736sqvald 12451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  D )  x.  ( sqr `  D ) ) )
3812, 14, 20divcan4d 10411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  D )
3934, 37, 383eqtr4rd 2516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4029, 39oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A  /  B ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
419, 13, 17divcld 10405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  CC )
42 subsq 12420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4341, 36, 42syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4441, 36addcld 9680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
458nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  RR )
4645, 1nndivred 10680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
4746, 35resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
4847recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
4944, 48mulcomd 9682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5043, 49eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5127, 40, 503eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5251fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
5352oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5423, 26, 533eqtr3d 2513 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5548, 44absmuld 13593 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
5655oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
5748abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5844abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5957, 58remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
603, 59remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
61 2nn0 10910 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
6261nn0negzi 11000 . . . . . . . 8  |-  -u 2  e.  ZZ
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
642, 17, 63reexpclzd 12479 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  RR )
6564, 58remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
663, 65remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
67 1red 9676 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  e.  RR )
68 2re 10701 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
2  e.  RR )
7069, 35remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
7167, 70readdcld 9688 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
72 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )
738nngt0d 10675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  A )
741nngt0d 10675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  B )
7545, 2, 73, 74divgt0d 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
7611nngt0d 10675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  D )
77 sqrtgt0 13399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
7830, 76, 77syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
7946, 35, 75, 78addgt0d 10209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )
8079gt0ne0d 10199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )
81 absgt0 13464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  ->  ( (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
8281biimpa 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  /\  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )  ->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
8344, 80, 82syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
84 ltmul1 10477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  ( B ^ -u 2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8557, 64, 58, 83, 84syl112anc 1296 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8672, 85mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
872, 17sqgt0d 12482 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( B ^ 2 ) )
88 ltmul2 10478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
2 ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <->  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
8959, 65, 3, 87, 88syl112anc 1296 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  < 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <-> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
9086, 89mpbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9113, 17, 63expclzd 12459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  CC )
9258recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  CC )
93 mulass 9645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9493eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
9514, 91, 92, 94syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
96 expneg 12318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9713, 61, 96sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9897oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( B ^ 2 ) ) ) )
9914, 20recidd 10400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
1  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 )
10098, 99eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  1 )
101100oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2
) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
10292mulid2d 9679 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10395, 101, 1023eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10441, 36addcomd 9853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
105 ppncan 9936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
106105eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10736, 36, 41, 106syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10836, 36addcld 9680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
109108, 48addcomd 9853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
110 2times 10751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) ) )
111110eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
11236, 111syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
113112oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
114109, 113eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
115104, 107, 1143eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
116115fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  =  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )
11747, 70readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  RR )
118117recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )
119118abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
12070recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
121120abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
12257, 121readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
12348, 120abstrid 13595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )
124 0le2 10722 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  2 )
12630, 32sqrtge0d 13559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  D ) )
12769, 35, 125, 126mulge0d 10211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
12870, 127absidd 13561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
129128oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
1301nnsqcld 12474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  NN )
131130nnge1d 10674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  <_  ( B ^ 2 ) )
132 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  1 )
134 lerec 10511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( B ^ 2 ) ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
13567, 133, 3, 87, 134syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
136131, 135mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 1  / 
1 ) )
137 1div1e1 10322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
138136, 137syl6breq 4435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  1 )
13997, 138eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  <_  1 )
14057, 64, 67, 72, 139ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  1 )
14157, 67, 140ltled 9800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <_  1 )
14257, 67, 70, 141leadd1dd 10248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  <_ 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
143129, 142eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
144119, 122, 71, 123, 143letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
145116, 144eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
146103, 145eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
14760, 66, 71, 90, 146ltletrd 9812 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
14856, 147eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
14954, 148eqbrtrd 4416 1  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373   abscabs 13374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376
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