Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrgaplem Structured version   Unicode version

Theorem pell1qrgaplem 29059
Description: Lemma for pell1qrgap 29060. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgaplem  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) ) )

Proof of Theorem pell1qrgaplem
StepHypRef Expression
1 nnrp 10988 . . . . . 6  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR+ )
21ad2antrr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  D  e.  RR+ )
3 1rp 10983 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  e.  RR+ )
52, 4rpaddcld 11030 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  e.  RR+ )
65rpsqrcld 12882 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  e.  RR+ )
76rpred 11015 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  e.  RR )
82rpsqrcld 12882 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR+ )
98rpred 11015 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
10 nn0re 10576 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
1110adantr 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
1211ad2antlr 719 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  e.  RR )
13 nn0re 10576 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  RR )
1413adantl 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  e.  RR )
1514ad2antlr 719 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  B  e.  RR )
169, 15remulcld 9402 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  B )  e.  RR )
172rpred 11015 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  D  e.  RR )
18 1re 9373 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  e.  RR )
2015resqcld 12018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
2119, 20resubcld 9764 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
2217, 21remulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) )  e.  RR )
23 0re 9374 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  e.  RR )
2517, 24remulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  0 )  e.  RR )
2612resqcld 12018 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
27 sq1 11944 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
29 nnge1 10336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
3029adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  B )
31 simplrl 752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) ) )
32 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =  0  ->  ( B ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
3332adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
34 sq0 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
3533, 34syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
3635oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( D  x.  0 ) )
372rpcnd 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  D  e.  CC )
3837adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  D  e.  CC )
3938mul01d 9556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( D  x.  0 )  =  0 )
4036, 39eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
4140oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  - 
0 ) )
42 simplrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  1 )
4312recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  e.  CC )
4443sqcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4544adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4645subid1d 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  0 )  =  ( A ^
2 ) )
4741, 42, 463eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  =  ( A ^
2 ) )
4827, 47syl5req 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
49 nn0ge0 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
5049adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
0  <_  A )
5150ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  A )
52 0le1 9851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  1 )
54 sq11 11922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  A  =  1
) )
5512, 51, 19, 53, 54syl22anc 1212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  A  = 
1 ) )
5655adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  A  = 
1 ) )
5748, 56mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  A  =  1 )
58 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
5958oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  B )  =  ( ( sqr `  D )  x.  0 ) )
608rpcnd 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  CC )
6160adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( sqr `  D )  e.  CC )
6261mul01d 9556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  0 )  =  0 )
6359, 62eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  B )  =  0 )
6457, 63oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  =  ( 1  +  0 ) )
65 1p0e1 10422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  0 )  =  1
6664, 65syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  =  1 )
6731, 66breqtrd 4304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  <  1 )
6818ltnri 9471 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  <  1
69 pm2.24 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  1  ->  ( -.  1  <  1  ->  1  <_  B )
)
7067, 68, 69mpisyl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  <_  B )
71 simplrr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  B  e.  NN0 )
72 elnn0 10569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN0  <->  ( B  e.  NN  \/  B  =  0 ) )
7371, 72sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( B  e.  NN  \/  B  =  0 ) )
7430, 70, 73mpjaodan 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  <_  B )
75 nn0ge0 10593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN0  ->  0  <_  B )
7675adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
0  <_  B )
7776ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  B )
7819, 15, 53, 77le2sqd 12027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  <_  B  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) ) )
7974, 78mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1 ^ 2 )  <_  ( B ^
2 ) )
8028, 79eqbrtrrd 4302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  <_  ( B ^ 2 ) )
8119, 20suble0d 9918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( 1  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  <->  1  <_  ( B ^ 2 ) ) )
8280, 81mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0 )
8321, 24, 2lemul2d 11055 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( 1  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^ 2 ) ) )  <_  ( D  x.  0 ) ) )
8482, 83mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) )  <_  ( D  x.  0 ) )
8522, 25, 26, 84leadd2dd 9942 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^ 2 ) ) ) )  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  0 ) ) )
865rpcnd 11017 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  e.  CC )
8786sqsqrd 12909 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( D  + 
1 ) )
88 simprr 749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  1 )
8988eqcomd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
9089oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  =  ( D  +  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9115recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  B  e.  CC )
9291sqcld 11990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
9337, 92mulcld 9394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
9437, 44, 93addsub12d 9730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9519recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  e.  CC )
9637, 95, 92subdid 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( D  x.  1 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
9737mulid1d 9391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  1 )  =  D )
9897oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( D  x.  1 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
9996, 98eqtr2d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( D  x.  (
1  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
10099oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) ) ) )
10194, 100eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10290, 101eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  (
1  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10387, 102eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  (
1  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10437mul01d 9556 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  0 )  =  0 )
105104oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( D  x.  0 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  0 ) )
10644addid1d 9557 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  0 )  =  ( A ^
2 ) )
107105, 106eqtr2d 2466 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( D  x.  0 ) ) )
10885, 103, 1073brtr4d 4310 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) ) ^ 2 )  <_  ( A ^
2 ) )
1096rpge0d 11019 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) )
1107, 12, 109, 51le2sqd 12027 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  <_  A  <->  ( ( sqr `  ( D  + 
1 ) ) ^
2 )  <_  ( A ^ 2 ) ) )
111108, 110mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  <_  A )
11260mulid1d 9391 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  1 )  =  ( sqr `  D
) )
11319, 15, 8lemul2d 11055 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  <_  B  <->  ( ( sqr `  D )  x.  1 )  <_  (
( sqr `  D
)  x.  B ) ) )
11474, 113mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  B
) )
115112, 114eqbrtrrd 4302 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  <_ 
( ( sqr `  D
)  x.  B ) )
1167, 9, 12, 16, 111, 115le2addd 9945 1  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583   NNcn 10310   2c2 10359   NN0cn0 10567   RR+crp 10979   ^cexp 11849   sqrcsqr 12706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709
This theorem is referenced by:  pell1qrgap  29060
  Copyright terms: Public domain W3C validator