Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qr1 Structured version   Unicode version

Theorem pell1qr1 30969
 Description: 1 is a Pell solution and in the first quadrant as one. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qr1 NN Pell1QR

Proof of Theorem pell1qr1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9628 . 2 NN
2 1nn0 10832 . . . 4
32a1i 11 . . 3 NN
4 0nn0 10831 . . . 4
54a1i 11 . . 3 NN
6 eldifi 3622 . . . . . . . 8 NN
76nncnd 10572 . . . . . . 7 NN
87sqrtcld 13279 . . . . . 6 NN
98mul01d 9796 . . . . 5 NN
109oveq2d 6312 . . . 4 NN
11 1p0e1 10669 . . . 4
1210, 11syl6req 2515 . . 3 NN
13 sq1 12264 . . . . . 6
1413a1i 11 . . . . 5 NN
15 sq0 12261 . . . . . . 7
1615oveq2i 6307 . . . . . 6
177mul01d 9796 . . . . . 6 NN
1816, 17syl5eq 2510 . . . . 5 NN
1914, 18oveq12d 6314 . . . 4 NN
20 1m0e1 10667 . . . 4
2119, 20syl6eq 2514 . . 3 NN
22 oveq1 6303 . . . . . 6
2322eqeq2d 2471 . . . . 5
24 oveq1 6303 . . . . . . 7
2524oveq1d 6311 . . . . . 6
2625eqeq1d 2459 . . . . 5
2723, 26anbi12d 710 . . . 4
28 oveq2 6304 . . . . . . 7
2928oveq2d 6312 . . . . . 6
3029eqeq2d 2471 . . . . 5
31 oveq1 6303 . . . . . . . 8
3231oveq2d 6312 . . . . . . 7
3332oveq2d 6312 . . . . . 6
3433eqeq1d 2459 . . . . 5
3530, 34anbi12d 710 . . . 4
3627, 35rspc2ev 3221 . . 3
373, 5, 12, 21, 36syl112anc 1232 . 2 NN
38 elpell1qr 30945 . 2 NN Pell1QR
391, 37, 38mpbir2and 922 1 NN Pell1QR
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wrex 2808   cdif 3468  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514   cmin 9824  cn 10556  c2 10606  cn0 10816  cexp 12168  csqrt 13077  ◻NNcsquarenn 30934  Pell1QRcpell1qr 30935 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-pell1qr 30940 This theorem is referenced by:  elpell1qr2  30970
 Copyright terms: Public domain W3C validator