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Theorem pell14qrgt0 29047
Description: A positive Pell solution is a positive number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrgt0  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
0  <  A )

Proof of Theorem pell14qrgt0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 29037 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell14QR `  D )  <->  ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
2 0cnd 9369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  e.  CC )
3 eldifi 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
43ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN )
54nnred 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  RR )
64nnnn0d 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN0 )
76nn0ge0d 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  D )
85, 7resqrcld 12890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
9 zre 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
109adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  RR )
1110ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  RR )
128, 11remulcld 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  b )  e.  RR )
1312recnd 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  b )  e.  CC )
142, 13abssubd 12925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( sqr `  D
)  x.  b )  -  0 ) ) )
1513subid1d 9698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( sqr `  D
)  x.  b )  -  0 )  =  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )
1615fveq2d 5685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( ( ( sqr `  D )  x.  b )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) )
1714, 16eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
18 absresq 12777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( sqr `  D
)  x.  b )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  D )  x.  b ) ^
2 ) )
1912, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  D )  x.  b ) ^
2 ) )
205recnd 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  CC )
2120sqrcld 12909 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  CC )
2210recnd 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  CC )
2322ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  CC )
2421, 23sqmuld 12006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( sqr `  D
)  x.  b ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  D ) ^ 2 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )
2520sqsqrd 12911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
2625oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( sqr `  D
) ^ 2 )  x.  ( b ^
2 ) )  =  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )
2719, 24, 263eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  =  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )
28 0lt1 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  1 )
30 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )
3129, 30breqtrrd 4308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  ( ( a ^
2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) ) )
3211resqcld 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
b ^ 2 )  e.  RR )
335, 32remulcld 9404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  RR )
34 nn0re 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  RR )
3534adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  RR )
3635ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  RR )
3736resqcld 12020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
a ^ 2 )  e.  RR )
3833, 37posdifd 9916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( D  x.  (
b ^ 2 ) )  <  ( a ^ 2 )  <->  0  <  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) ) ) )
3931, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  <  ( a ^
2 ) )
4027, 39eqbrtrd 4302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  <  ( a ^
2 ) )
4113abscld 12908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  e.  RR )
4213absge0d 12916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) )
43 nn0ge0 10595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  0  <_ 
a )
4443adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  0  <_  a )
4544ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  a )
4641, 36, 42, 45lt2sqd 12028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) )  <  a  <->  ( ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) ^ 2 )  <  ( a ^ 2 ) ) )
4740, 46mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  <  a
)
4817, 47eqbrtrd 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )  <  a
)
49 0re 9376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  e.  RR )
5150, 12, 36absdifltd 12906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
0  -  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )  <  a  <->  ( (
( ( sqr `  D
)  x.  b )  -  a )  <  0  /\  0  < 
( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  +  a ) ) ) )
5248, 51mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  -  a )  <  0  /\  0  <  ( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  +  a ) ) )
5352simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  ( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  +  a ) )
54 nn0cn 10579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  CC )
5554adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  CC )
5655ad2antlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  CC )
5756, 13addcomd 9561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  x.  b )  +  a ) )
5853, 57breqtrrd 4308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )
5958adantrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
0  <  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
60 simprl 750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
6159, 60breqtrrd 4308 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
0  <  A )
6261ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  /\  (
( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
0  <  A )
)
6362rexlimdvva 2840 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( E. a  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  A ) )
6463expimpd 600 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
0  <  A )
)
651, 64sylbid 215 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell14QR `  D )  ->  0  <  A ) )
6665imp 429 1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
0  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1757   E.wrex 2708    \ cdif 3315   class class class wbr 4282   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   CCcc 9270   RRcr 9271   0cc0 9272   1c1 9273    + caddc 9275    x. cmul 9277    < clt 9408    <_ cle 9409    - cmin 9585   NNcn 10312   2c2 10361   NN0cn0 10569   ZZcz 10636   ^cexp 11851   sqrcsqr 12708   abscabs 12709  ◻NNcsquarenn 29024  Pell14QRcpell14qr 29027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-sup 7681  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-rp 10982  df-seq 11793  df-exp 11852  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-pell14qr 29031
This theorem is referenced by:  pell14qrrp  29048  elpell14qr2  29050  elpell1qr2  29060  pellfundex  29074
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