Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell14qrgapw Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pell14qrgapw 35722
 Description: Positive Pell solutions are bounded away from 1, with a friendlier bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrgapw NN Pell14QR

Proof of Theorem pell14qrgapw
StepHypRef Expression
1 2re 10679 . . 3
21a1i 11 . 2 NN Pell14QR
3 eldifi 3555 . . . . . . . 8 NN
433ad2ant1 1029 . . . . . . 7 NN Pell14QR
54nnrpd 11339 . . . . . 6 NN Pell14QR
6 1rp 11306 . . . . . . 7
76a1i 11 . . . . . 6 NN Pell14QR
85, 7rpaddcld 11356 . . . . 5 NN Pell14QR
98rpsqrtcld 13473 . . . 4 NN Pell14QR
109rpred 11341 . . 3 NN Pell14QR
115rpsqrtcld 13473 . . . 4 NN Pell14QR
1211rpred 11341 . . 3 NN Pell14QR
1310, 12readdcld 9670 . 2 NN Pell14QR
14 pell14qrre 35703 . . 3 NN Pell14QR
15143adant3 1028 . 2 NN Pell14QR
16 df-2 10668 . . 3
17 1red 9658 . . . 4 NN Pell14QR
184nnred 10624 . . . . . . 7 NN Pell14QR
19 peano2re 9806 . . . . . . . 8
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 NN Pell14QR
214nnge1d 10652 . . . . . . 7 NN Pell14QR
2218ltp1d 10537 . . . . . . 7 NN Pell14QR
2317, 18, 20, 21, 22lelttrd 9793 . . . . . 6 NN Pell14QR
24 sq1 12369 . . . . . . 7
2524a1i 11 . . . . . 6 NN Pell14QR
264nncnd 10625 . . . . . . . 8 NN Pell14QR
27 peano2cn 9805 . . . . . . . 8
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 NN Pell14QR
2928sqsqrtd 13501 . . . . . 6 NN Pell14QR
3023, 25, 293brtr4d 4433 . . . . 5 NN Pell14QR
31 0le1 10137 . . . . . . 7
3231a1i 11 . . . . . 6 NN Pell14QR
339rpge0d 11345 . . . . . 6 NN Pell14QR
3417, 10, 32, 33lt2sqd 12450 . . . . 5 NN Pell14QR
3530, 34mpbird 236 . . . 4 NN Pell14QR
3626sqsqrtd 13501 . . . . . 6 NN Pell14QR
3721, 25, 363brtr4d 4433 . . . . 5 NN Pell14QR
3811rpge0d 11345 . . . . . 6 NN Pell14QR
3917, 12, 32, 38le2sqd 12451 . . . . 5 NN Pell14QR
4037, 39mpbird 236 . . . 4 NN Pell14QR
4117, 17, 10, 12, 35, 40ltleaddd 10234 . . 3 NN Pell14QR
4216, 41syl5eqbr 4436 . 2 NN Pell14QR
43 pell14qrgap 35721 . 2 NN Pell14QR
442, 13, 15, 42, 43ltletrd 9795 1 NN Pell14QR
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   cdif 3401   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   clt 9675   cle 9676  cn 10609  c2 10659  crp 11302  cexp 12272  csqrt 13296  ◻NNcsquarenn 35680  Pell14QRcpell14qr 35683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-pell1qr 35687  df-pell14qr 35688  df-pell1234qr 35689 This theorem is referenced by:  pellfundex  35734
 Copyright terms: Public domain W3C validator