Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1234qrreccl Structured version   Unicode version

Theorem pell1234qrreccl 30952
 Description: General solutions of the Pell equation are closed under reciprocals. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrreccl NN Pell1234QR Pell1234QR

Proof of Theorem pell1234qrreccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 30949 . . . 4 NN Pell1234QR
21biimpa 484 . . 3 NN Pell1234QR
3 pell1234qrre 30950 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
4 pell1234qrne0 30951 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
53, 4rereccld 10392 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
65ad2antrr 725 . . . . . . 7 NN Pell1234QR
7 simplrl 761 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
8 simplrr 762 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
98znegcld 10992 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
105recnd 9639 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
12 zcn 10890 . . . . . . . . . . . 12
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
15 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . 14 NN
1615nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13 NN
1716ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
1817sqrtcld 13279 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
198zcnd 10991 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
2019negcld 9937 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
2118, 20mulcld 9633 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
2214, 21addcld 9632 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
233recnd 9639 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
254ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
2618, 19sqmuld 12324 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell1234QR
2717sqsqrtd 13281 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell1234QR
2827oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell1234QR
2926, 28eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
3029oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
31 simprr 757 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
3218, 19mulcld 9633 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
33 subsq 12277 . . . . . . . . . . . 12
3414, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
3530, 31, 343eqtr3d 2506 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
3624, 25recidd 10336 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
37 simprl 756 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
3818, 19mulneg2d 10031 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell1234QR
3938oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
4014, 32negsubd 9956 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
4139, 40eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
4237, 41oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
4335, 36, 423eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
4411, 22, 24, 25, 43mulcanad 10205 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
45 sqneg 12230 . . . . . . . . . . . 12
4619, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
4746oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
4847oveq2d 6312 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
4948, 31eqtrd 2498 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
50 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
5150eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
52 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12
5352oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
5453eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
5551, 54anbi12d 710 . . . . . . . . 9
56 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
5756oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
5857eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
59 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
6059oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
6160oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
6261eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
6358, 62anbi12d 710 . . . . . . . . 9
6455, 63rspc2ev 3221 . . . . . . . 8
657, 9, 44, 49, 64syl112anc 1232 . . . . . . 7 NN Pell1234QR
666, 65jca 532 . . . . . 6 NN Pell1234QR
6766ex 434 . . . . 5 NN Pell1234QR
6867rexlimdvva 2956 . . . 4 NN Pell1234QR
6968adantld 467 . . 3 NN Pell1234QR
702, 69mpd 15 . 2 NN Pell1234QR
71 elpell1234qr 30949 . . 3 NN Pell1234QR
7271adantr 465 . 2 NN Pell1234QR Pell1234QR
7370, 72mpbird 232 1 NN Pell1234QR Pell1234QR
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wrex 2808   cdif 3468  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514   cmin 9824  cneg 9825   cdiv 10227  cn 10556  c2 10606  cz 10885  cexp 12168  csqrt 13077  ◻NNcsquarenn 30934  Pell1234QRcpell1234qr 30936 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-pell1234qr 30942 This theorem is referenced by:  pell14qrreccl  30962
 Copyright terms: Public domain W3C validator