MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano5uzi Structured version   Unicode version

Theorem peano5uzi 10961
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
peano5uz.1  |-  N  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
peano5uzi  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } 
C_  A )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem peano5uzi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4457 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  n ) )
21elrab 3266 . . 3  |-  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  <->  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )
3 zcn 10881 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
43ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  CC )
5 peano5uz.1 . . . . . . . 8  |-  N  e.  ZZ
6 zcn 10881 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  N  e.  CC
8 ax-1cn 9562 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
97, 8subcli 9907 . . . . . 6  |-  ( N  -  1 )  e.  CC
10 npcan 9841 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
114, 9, 10sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
12 subsub 9861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
137, 8, 12mp3an23 1316 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
144, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
15 znn0sub 10922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
165, 15mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
1716biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
1817adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
19 nn0p1nn 10847 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2114, 20eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
22 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )
23 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )
2423eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
26 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( n  +  ( N  -  1
) ) )
2726eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2827imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
29 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
3029eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3130imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
32 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) ) )
3332eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3433imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
358, 7pncan3i 9908 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  =  N
36 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  N  e.  A )
3735, 36syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )
38 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
3938eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
4039rspccv 3216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
42 nncn 10556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  n  e.  CC )
44 add32 9805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) ) )
459, 8, 44mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
4643, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
4746eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
( n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
4841, 47sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
4948ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A  ->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) ) )
5049a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
5125, 28, 31, 34, 37, 50nnind 10566 . . . . . 6  |-  ( ( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) )
5221, 22, 51sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )
5311, 52eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  A )
5453ex 434 . . 3  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  ->  n  e.  A ) )
552, 54syl5bi 217 . 2  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  e.  {
k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  ->  n  e.  A ) )
5655ssrdv 3515 1  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } 
C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821    C_ wss 3481   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502   1c1 9505    + caddc 9507    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877
This theorem is referenced by:  peano5uzti  10962  dfuzi  10963
  Copyright terms: Public domain W3C validator