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Theorem peano5uzi 10751
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
peano5uz.1  |-  N  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
peano5uzi  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } 
C_  A )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem peano5uzi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4317 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  n ) )
21elrab 3138 . . 3  |-  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  <->  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )
3 zcn 10672 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
43ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  CC )
5 peano5uz.1 . . . . . . . 8  |-  N  e.  ZZ
6 zcn 10672 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  N  e.  CC
8 ax-1cn 9361 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
97, 8subcli 9705 . . . . . 6  |-  ( N  -  1 )  e.  CC
10 npcan 9640 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
114, 9, 10sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
12 subsub 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
137, 8, 12mp3an23 1306 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
144, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
15 znn0sub 10713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
165, 15mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
1716biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
1817adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
19 nn0p1nn 10640 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2114, 20eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
22 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )
23 oveq1 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )
2423eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
26 oveq1 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( n  +  ( N  -  1
) ) )
2726eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2827imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
29 oveq1 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
3029eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3130imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
32 oveq1 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) ) )
3332eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3433imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
358, 7pncan3i 9706 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  =  N
36 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  N  e.  A )
3735, 36syl5eqel 2527 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )
38 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
3938eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
4039rspccv 3091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
42 nncn 10351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  n  e.  CC )
44 add32 9604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) ) )
459, 8, 44mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
4643, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
4746eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
( n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
4841, 47sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
4948ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A  ->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) ) )
5049a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
5125, 28, 31, 34, 37, 50nnind 10361 . . . . . 6  |-  ( ( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) )
5221, 22, 51sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )
5311, 52eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  A )
5453ex 434 . . 3  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  ->  n  e.  A ) )
552, 54syl5bi 217 . 2  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  e.  {
k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  ->  n  e.  A ) )
5655ssrdv 3383 1  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } 
C_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   {crab 2740    C_ wss 3349   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   CCcc 9301   1c1 9304    + caddc 9306    <_ cle 9440    - cmin 9616   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ZZcz 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668
This theorem is referenced by:  peano5uzti  10752  dfuzi  10753
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