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Theorem peano5nni 9629
Description: Peano's inductive postulate. Theorem I.36 (principle of mathematical induction) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
peano5nni  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  NN  C_  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5nni
StepHypRef Expression
1 df-n 9627 . . 3  |-  NN  =  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
2 df-ima 4601 . . 3  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
31, 2eqtri 2273 . 2  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
4 frfnom 6333 . . . . 5  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
54a1i 12 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om )
6 fveq2 5377 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) ) )
76eleq1d 2319 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  A
) )
8 fveq2 5377 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z ) )
98eleq1d 2319 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  e.  A ) )
10 fveq2 5377 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z ) )
1110eleq1d 2319 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A  <->  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) )
12 ax-1cn 8675 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
13 fr0g 6334 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1 )
1412, 13ax-mp 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  =  1
15 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
1  e.  A )
1614, 15syl5eqel 2337 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  (/) )  e.  A
)
17 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
1817eleq1d 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  A ) )
1918rcla4cv 2818 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
2019ad2antlr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
21 ovex 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  _V
22 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  =  ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
23 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  n  ->  (
y  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
24 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2522, 23, 24frsucmpt2 6338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  /\  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  =  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2621, 25mpan2 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  om  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  =  ( ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 ) )
2726eleq1d 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A  <->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  +  1 )  e.  A ) )
2827adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z
)  e.  A  <->  ( (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z
)  +  1 )  e.  A ) )
2920, 28sylibrd 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) )
3029expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  (
( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  z )  e.  A  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  z )  e.  A
) ) )
317, 9, 11, 16, 30finds2 4575 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
3231com12 29 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
3332ralrimiv 2587 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  A. y  e.  om  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
)
34 ffnfv 5537 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A  <->  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\  A. y  e.  om  ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  e.  A
) )
355, 33, 34sylanbrc 648 . . 3  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A )
36 frn 5252 . . 3  |-  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) : om --> A  ->  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  C_  A
)
3735, 36syl 17 . 2  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  ran  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  C_  A
)
383, 37syl5eqss 3143 1  |-  ( ( 1  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  NN  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   (/)c0 3362    e. cmpt 3974   suc csuc 4287   omcom 4547   ran crn 4581    |` cres 4582   "cima 4583    Fn wfn 4587   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   reccrdg 6308   CCcc 8615   1c1 8618    + caddc 8620   NNcn 9626
This theorem is referenced by:  nnssre  9630  dfnn2  9639  nnind  9644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-1cn 8675
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-n 9627
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