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Theorem peano5 4570
Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43, except our proof does not require the Axiom of Infinity. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction hypothesis, is derived from this theorem as theorem findes 4577. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano5  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5
StepHypRef Expression
1 eldifn 3216 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  -.  y  e.  A )
21adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
3 eldifi 3215 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  y  e.  om )
43adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  e.  om )
5 elndif 3217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  (/)  e.  ( om  \  A ) )
6 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  <->  (/)  e.  ( om 
\  A ) ) )
76biimpcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( y  =  (/)  ->  (/)  e.  ( om  \  A ) ) )
87necon3bd 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( om  \  A
)  ->  y  =/=  (/) ) )
95, 8mpan9 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  =/=  (/) )
10 nnsuc 4564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
114, 9, 10syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1211adantlr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1312adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
14 nfra1 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)
15 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
1614, 15nfan 1737 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. x  e. 
om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  /\  (
y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )
17 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  A
18 ra4 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( x  e. 
om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )
19 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
2019sucid 4364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
suc  x
21 eleq2 2314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( x  e.  y  <-> 
x  e.  suc  x
) )
2220, 21mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  ->  x  e.  y )
23 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  suc  x  e.  om )
)
24 peano2b 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  om  <->  suc  x  e. 
om )
2523, 24syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  x  e.  om ) )
26 minel 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  -.  x  e.  ( om  \  A ) )
27 neldif 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  om  /\  -.  x  e.  ( om  \  A ) )  ->  x  e.  A
)
2826, 27sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  A )
2928exp32 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
3025, 29syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) ) )
3122, 30mpid 39 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
323, 31syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  ( om  \  A )  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) )
3332imp3a 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  A
) )
34 eleq1a 2322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  x  e.  A  -> 
( y  =  suc  x  ->  y  e.  A
) )
3534com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( suc  x  e.  A  ->  y  e.  A
) )
3633, 35imim12d 70 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A
) ) )
3736com13 76 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3818, 37sylan9 641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  e.  om  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3916, 17, 38rexlimd 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4039exp32 591 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) )
4140a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) ) )
4241imp41 579 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4313, 42mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A )
442, 43mtand 643 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4544nrexdv 2608 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  -.  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
46 ordom 4556 . . . . 5  |-  Ord  om
47 difss 3220 . . . . 5  |-  ( om 
\  A )  C_  om
48 tz7.5 4306 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  ( om  \  A )  C_  om 
/\  ( om  \  A
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4946, 47, 48mp3an12 1272 . . . 4  |-  ( ( om  \  A )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
5049necon1bi 2455 . . 3  |-  ( -. 
E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
5145, 50syl 17 . 2  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
52 ssdif0 3420 . 2  |-  ( om  C_  A  <->  ( om  \  A
)  =  (/) )
5351, 52sylibr 205 1  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510    \ cdif 3075    i^i cin 3077    C_ wss 3078   (/)c0 3362   Ord word 4284   suc csuc 4287   omcom 4547
This theorem is referenced by:  find  4572  finds  4573  finds2  4575  omex  7228  dfom3  7232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548
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