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Theorem peano5 6743
Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43, except our proof does not require the Axiom of Infinity. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as theorem findes 6750. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano5  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem peano5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifn 3568 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  -.  y  e.  A )
21adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
3 eldifi 3567 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  y  e.  om )
43adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  e.  om )
5 elndif 3569 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  (/)  e.  ( om  \  A ) )
6 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  <->  (/)  e.  ( om 
\  A ) ) )
76biimpcd 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( y  =  (/)  ->  (/)  e.  ( om  \  A ) ) )
87necon3bd 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( om  \  A
)  ->  y  =/=  (/) ) )
95, 8mpan9 476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  =/=  (/) )
10 nnsuc 6736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
114, 9, 10syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1211adantlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1312adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
14 nfra1 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)
15 nfv 1772 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
1614, 15nfan 2022 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. x  e. 
om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  /\  (
y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )
17 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  A
18 rsp 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( x  e. 
om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )
19 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
2019sucid 5521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
suc  x
21 eleq2 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( x  e.  y  <-> 
x  e.  suc  x
) )
2220, 21mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  ->  x  e.  y )
23 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  suc  x  e.  om )
)
24 peano2b 6735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  om  <->  suc  x  e. 
om )
2523, 24syl6bbr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  x  e.  om ) )
26 minel 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  -.  x  e.  ( om  \  A ) )
27 neldif 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  om  /\  -.  x  e.  ( om  \  A ) )  ->  x  e.  A
)
2826, 27sylan2 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  A )
2928exp32 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
3025, 29syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) ) )
3122, 30mpid 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
323, 31syl5 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  ( om  \  A )  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) )
3332impd 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  A
) )
34 eleq1a 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  x  e.  A  -> 
( y  =  suc  x  ->  y  e.  A
) )
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( suc  x  e.  A  ->  y  e.  A
) )
3633, 35imim12d 77 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A
) ) )
3736com13 83 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3818, 37sylan9 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  e.  om  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3916, 17, 38rexlimd 2883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4039exp32 614 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) )
4140a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) ) )
4241imp41 602 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4313, 42mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A )
442, 43mtand 669 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4544nrexdv 2855 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  -.  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
46 ordom 6728 . . . . 5  |-  Ord  om
47 difss 3572 . . . . 5  |-  ( om 
\  A )  C_  om
48 tz7.5 5463 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  ( om  \  A )  C_  om 
/\  ( om  \  A
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4946, 47, 48mp3an12 1363 . . . 4  |-  ( ( om  \  A )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
5049necon1bi 2664 . . 3  |-  ( -. 
E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
5145, 50syl 17 . 2  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
52 ssdif0 3835 . 2  |-  ( om  C_  A  <->  ( om  \  A
)  =  (/) )
5351, 52sylibr 217 1  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750    \ cdif 3413    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   Ord word 5441   suc csuc 5444   omcom 6719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-om 6720
This theorem is referenced by:  find  6745  finds  6746  finds2  6748  omex  8174  dfom3  8178
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