Theorem peano2zm 10902

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 10890	. 2 |- 1 e. ZZ
2		zsubcl 10901	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	mpan2 671	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767  (class class class)co 6282   1c1 9489   - cmin 9801   ZZcz 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861

This theorem is referenced by:  zlem1lt  10910  zltlem1  10911  zextlt  10931  zeo  10942  uzindOLD  10951  eluzp1m1  11101  uzm1  11108  zbtwnre  11176  fz01en  11709  fzsuc2  11733  elfzm11  11745  uzdisj  11747  elfzo  11795  fzon  11811  fzoss2  11817  fzossrbm1  11818  fzosplitsnm1  11854  ubmelm1fzo  11872  elfzom1b  11875  fzosplitprm1  11883  fzoshftral  11887  sermono  12103  seqf1olem1  12110  seqf1olem2  12111  bcm1k  12357  bcn2  12361  bcp1m1  12362  bcpasc  12363  bccl  12364  hashbclem  12463  seqcoll  12474  lswccatn0lsw  12567  lswccat0lsw  12568  revccat  12699  revrev  12700  absrdbnd  13133  fsumm1  13525  binomlem  13600  isumsplit  13611  climcndslem1  13620  arisum2  13631  mertenslem1  13652  oddm1even  13902  oddp1even  13903  3dvds  13905  isprm3  14081  hashdvds  14160  pockthlem  14278  4sqlem11  14328  vdwapun  14347  vdwap0  14349  vdwnnlem2  14369  efgsp1  16551  efgsres  16552  srgbinomlem4  16982  srgbinomlem  16983  znunit  18369  dvexp3  22114  dvfsumlem1  22162  degltlem1  22207  abelthlem6  22565  atantayl2  22997  log2ublem3  23007  wilthlem1  23070  basellem5  23086  mersenne  23230  perfectlem1  23232  lgslem1  23299  lgsval2lem  23309  lgseisenlem1  23352  lgseisenlem2  23353  lgseisenlem3  23354  lgsquadlem1  23357  lgsquadlem3  23359  lgsquad2lem1  23361  lgsquad3  23364  2sqlem8  23375  2sqblem  23380  dchrisumlem1  23402  logdivbnd  23469  pntrsumbnd2  23480  ostth2lem3  23548  axlowdim  23940  wwlkm1edg  24411  clwlkisclwwlklem2fv1  24458  clwlkisclwwlklem2fv2  24459  clwlkisclwwlklem2a4  24460  clwlkisclwwlklem2a  24461  clwlkisclwwlklem1  24463  clwlkisclwwlk  24465  clwwlkf  24470  wwlksubclwwlk  24480  clwwisshclwwlem  24482  clwlkfclwwlk  24520  nbhashuvtx1  24591  extwwlkfablem2  24755  numclwwlk5  24789  numclwwlk7  24791  frgrareggt1  24793  erdszelem7  28281  elfzm12  28516  fz0n  28585  fprodser  28658  fprodm1  28673  risefacval2  28709  fallfacval2  28710  fallfacval3  28711  fallfacfwd  28735  binomfallfaclem2  28739  preduz  28857  predfz  28860  ltflcei  29620  mettrifi  29853  rmxluc  30476  rmyluc  30477  jm2.24  30505  jm2.18  30534  jm2.22  30541  jm2.23  30542  jm2.26lem3  30547  jm2.15nn0  30549  jm2.16nn0  30550  jm2.27a  30551  jm2.27c  30553  jm3.1lem3  30565  hashnzfz  30825  monoords  31073  fzisoeu  31077  stoweidlem11  31311  dirkercncflem1  31403  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem65  31472  fourierdlem79  31486  zm1nn  31794  altgsumbcALT  32006