Theorem peano2zm 10866

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 10853	. 2 |- 1 e. ZZ
2		zsubcl 10865	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	mpan2 669	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1840  (class class class)co 6232   1c1 9441   - cmin 9759   ZZcz 10823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824

This theorem is referenced by:  zlem1lt  10874  zltlem1  10875  zextlt  10896  zeo  10907  eluzp1m1  11066  uzm1  11073  zbtwnre  11141  fz01en  11682  fzsuc2  11707  elfzm11  11719  uzdisj  11721  elfzo  11772  fzon  11789  fzoss2  11796  fzossrbm1  11797  fzosplitsnm1  11837  ubmelm1fzo  11856  elfzom1b  11859  fzosplitprm1  11867  fzoshftral  11871  sermono  12091  seqf1olem1  12098  seqf1olem2  12099  bcm1k  12345  bcn2  12349  bcp1m1  12350  bcpasc  12351  bccl  12352  hashbclem  12455  seqcoll  12466  revccat  12701  revrev  12702  absrdbnd  13228  fsumm1  13622  binomlem  13697  isumsplit  13708  climcndslem1  13717  arisum2  13729  mertenslem1  13750  fprodser  13813  fprodm1  13828  risefacval2  13860  fallfacval2  13861  fallfacval3  13862  fallfacfwd  13886  binomfallfaclem2  13890  oddm1even  14146  oddp1even  14147  3dvds  14149  isprm3  14325  hashdvds  14404  pockthlem  14522  4sqlem11  14572  vdwapun  14591  vdwap0  14593  vdwnnlem2  14613  efgsp1  16969  efgsres  16970  srgbinomlem4  17404  srgbinomlem  17405  znunit  18790  dvexp3  22561  dvfsumlem1  22609  degltlem1  22654  abelthlem6  23013  atantayl2  23484  log2ublem3  23494  wilthlem1  23613  basellem5  23629  mersenne  23773  perfectlem1  23775  lgslem1  23842  lgsval2lem  23852  lgseisenlem1  23895  lgseisenlem2  23896  lgseisenlem3  23897  lgsquadlem1  23900  lgsquadlem3  23902  lgsquad2lem1  23904  lgsquad3  23907  2sqlem8  23918  2sqblem  23923  dchrisumlem1  23945  logdivbnd  24012  pntrsumbnd2  24023  ostth2lem3  24091  axlowdim  24563  wwlkm1edg  25034  clwlkisclwwlklem2fv1  25081  clwlkisclwwlklem2a4  25083  clwlkisclwwlklem2a  25084  clwlkisclwwlklem1  25086  clwlkisclwwlk  25088  clwwlkf  25093  wwlksubclwwlk  25103  clwwisshclwwlem  25105  clwlkfclwwlk  25143  nbhashuvtx1  25214  extwwlkfablem2  25377  numclwwlk5  25411  numclwwlk7  25413  frgrareggt1  25415  erdszelem7  29370  elfzm12  29769  fz0n  29814  preduz  29948  predfz  29951  fwddifnp1  30486  ltflcei  31379  mettrifi  31496  rmxluc  35197  rmyluc  35198  jm2.24  35226  jm2.18  35256  jm2.22  35263  jm2.23  35264  jm2.26lem3  35269  jm2.15nn0  35271  jm2.16nn0  35272  jm2.27a  35273  jm2.27c  35275  jm3.1lem3  35287  hashnzfz  36037  monoords  36831  fzisoeu  36835  dvnmul  37075  stoweidlem11  37128  dirkercncflem1  37220  fourierdlem48  37272  fourierdlem49  37273  fourierdlem65  37289  fourierdlem79  37303  mod2eq1n2dvds  37639  elmod2OLD  37640  iccpartipre  37651  zob  37679  dfodd6  37683  evenm1odd  37685  oddm1eveni  37688  onego  37692  m1expoddALTV  37694  dfodd4  37704  oddflALTV  37708  oddm1evenALTV  37720  nnoALTV  37740  perfectALTVlem1  37758  proththd  37792  zm1nn  37890  altgsumbcALT  38386  pw2m1lepw2m1  38571  m1modmmod  38578  difmodm1lt  38579  nno  38582  zofldiv2  38592  logbpw2m1  38632  nnolog2flm1  38655  dignn0flhalflem1  38680