Theorem peano2zm 10982

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 10969	. 2 |- 1 e. ZZ
2		zsubcl 10981	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	mpan2 676	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1869  (class class class)co 6303   1c1 9542   - cmin 9862   ZZcz 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940

This theorem is referenced by:  zlem1lt  10990  zltlem1  10991  zextlt  11012  zeo  11023  eluzp1m1  11184  uzm1  11191  zbtwnre  11264  fz01en  11829  fzsuc2  11855  elfzm11  11867  uzdisj  11869  preduz  11913  predfz  11916  elfzo  11924  fzon  11941  fzoss2  11948  fzossrbm1  11949  fzosplitsnm1  11989  ubmelm1fzo  12008  elfzom1b  12011  fzosplitprm1  12019  fzoshftral  12023  sermono  12246  seqf1olem1  12253  seqf1olem2  12254  bcm1k  12501  bcn2  12505  bcp1m1  12506  bcpasc  12507  bccl  12508  hashbclem  12614  seqcoll  12626  revccat  12867  revrev  12868  absrdbnd  13398  fsumm1  13805  binomlem  13880  isumsplit  13891  climcndslem1  13900  arisum2  13912  mertenslem1  13933  fprodser  13996  fprodm1  14014  risefacval2  14056  fallfacval2  14057  fallfacval3  14058  fallfacfwd  14082  binomfallfaclem2  14086  oddm1even  14359  oddp1even  14360  3dvds  14362  isprm3  14626  ncoprmlnprm  14670  hashdvds  14716  pockthlem  14842  4sqlem11  14892  vdwapun  14917  vdwap0  14919  vdwnnlem2  14939  efgsp1  17380  efgsres  17381  srgbinomlem4  17769  srgbinomlem  17770  znunit  19126  dvexp3  22922  dvfsumlem1  22970  degltlem1  23013  abelthlem6  23383  atantayl2  23856  log2ublem3  23866  wilthlem1  23985  basellem5  24003  mersenne  24147  perfectlem1  24149  lgslem1  24216  lgsval2lem  24226  lgseisenlem1  24269  lgseisenlem2  24270  lgseisenlem3  24271  lgsquadlem1  24274  lgsquadlem3  24276  lgsquad2lem1  24278  lgsquad3  24281  2sqlem8  24292  2sqblem  24297  dchrisumlem1  24319  logdivbnd  24386  pntrsumbnd2  24397  ostth2lem3  24465  axlowdim  24983  wwlkm1edg  25455  clwlkisclwwlklem2fv1  25502  clwlkisclwwlklem2a4  25504  clwlkisclwwlklem2a  25505  clwlkisclwwlklem1  25507  clwlkisclwwlk  25509  clwwlkf  25514  wwlksubclwwlk  25524  clwwisshclwwlem  25526  clwlkfclwwlk  25564  nbhashuvtx1  25635  extwwlkfablem2  25798  numclwwlk5  25832  numclwwlk7  25834  frgrareggt1  25836  erdszelem7  29922  elfzm12  30321  fz0n  30365  fwddifnp1  30931  ltflcei  31853  poimirlem1  31861  poimirlem2  31862  poimirlem6  31866  poimirlem7  31867  poimirlem8  31868  poimirlem9  31869  poimirlem15  31875  poimirlem16  31876  poimirlem17  31877  poimirlem18  31878  poimirlem19  31879  poimirlem20  31880  poimirlem24  31884  poimirlem27  31887  poimirlem31  31891  poimirlem32  31892  mettrifi  32006  rmxluc  35710  rmyluc  35711  jm2.24  35739  jm2.18  35769  jm2.22  35776  jm2.23  35777  jm2.26lem3  35782  jm2.15nn0  35784  jm2.16nn0  35785  jm2.27a  35786  jm2.27c  35788  jm3.1lem3  35800  hashnzfz  36533  monoords  37362  fzisoeu  37366  dvnmul  37644  stoweidlem11  37697  dirkercncflem1  37791  fourierdlem48  37844  fourierdlem49  37845  fourierdlem65  37861  fourierdlem79  37875  mod2eq1n2dvds  38443  elmod2OLD  38444  iccpartipre  38453  zob  38481  dfodd6  38485  evenm1odd  38487  oddm1eveni  38490  onego  38494  m1expoddALTV  38496  dfodd4  38506  oddflALTV  38510  oddm1evenALTV  38522  nnoALTV  38542  perfectALTVlem1  38561  proththd  38632  zm1nn  38744  altgsumbcALT  39440  pw2m1lepw2m1  39624  m1modmmod  39630  difmodm1lt  39631  nno  39634  zofldiv2  39644  logbpw2m1  39684  nnolog2flm1  39707  dignn0flhalflem1  39732