Theorem peano2zm 10276

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 10267	. 2 |- 1 e. ZZ
2		zsubcl 10275	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	mpan2 653	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721  (class class class)co 6040   1c1 8947   - cmin 9247   ZZcz 10238

This theorem is referenced by:  zlem1lt  10283  zltlem1  10284  zextlt  10300  zeo  10311  uzindOLD  10320  eluzp1m1  10465  uzm1  10472  zbtwnre  10528  fz01en  11035  fzsuc2  11060  elfzm11  11071  uzdisj  11074  elfzo  11097  fzon  11113  fzoss2  11118  fzossrbm1  11119  elfzom1b  11146  sermono  11310  seqf1olem1  11317  seqf1olem2  11318  bcm1k  11561  bcn2  11565  bcp1m1  11566  bcpasc  11567  bccl  11568  hashbclem  11656  seqcoll  11667  revccat  11753  revrev  11754  absrdbnd  12100  fsumm1  12492  binomlem  12563  isumsplit  12575  climcndslem1  12584  arisum2  12595  mertenslem1  12616  oddm1even  12864  oddp1even  12865  3dvds  12867  isprm3  13043  hashdvds  13119  pockthlem  13228  4sqlem11  13278  vdwapun  13297  vdwap0  13299  vdwnnlem2  13319  efgsp1  15324  efgsres  15325  znunit  16799  dvexp3  19815  dvfsumlem1  19863  degltlem1  19948  abelthlem6  20305  atantayl2  20731  log2ublem3  20741  wilthlem1  20804  basellem5  20820  mersenne  20964  perfectlem1  20966  lgslem1  21033  lgsval2lem  21043  lgseisenlem1  21086  lgseisenlem2  21087  lgseisenlem3  21088  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem3  21093  lgsquad2lem1  21095  lgsquad3  21098  2sqlem8  21109  2sqblem  21114  dchrisumlem1  21136  logdivbnd  21203  pntrsumbnd2  21214  ostth2lem3  21282  erdszelem7  24836  elfzm12  25065  fz0n  25155  fprodser  25228  fprodm1  25243  risefacval2  25279  fallfacval2  25280  fallfacfac  25302  fallfacfwd  25303  binomfallfaclem2  25307  preduz  25414  predfz  25417  axlowdim  25804  ltflcei  26140  mettrifi  26353  rmxluc  26889  rmyluc  26890  jm2.24  26918  jm2.18  26949  jm2.22  26956  jm2.23  26957  jm2.26lem3  26962  jm2.15nn0  26964  jm2.16nn0  26965  jm2.27a  26966  jm2.27c  26968  jm3.1lem3  26980  stoweidlem11  27627  fzosplitsnm1  27991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239