MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zm Structured version   Unicode version

Theorem peano2zm 10792
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 1z 10780 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 zsubcl 10791 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2mpan2 671 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758  (class class class)co 6193   1c1 9387    - cmin 9699   ZZcz 10750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751
This theorem is referenced by:  zlem1lt  10800  zltlem1  10801  zextlt  10820  zeo  10831  uzindOLD  10840  eluzp1m1  10988  uzm1  10995  zbtwnre  11055  fz01en  11587  fzsuc2  11624  elfzm11  11638  uzdisj  11641  elfzo  11665  fzon  11681  fzoss2  11687  fzossrbm1  11688  fzosplitsnm1  11718  ubmelm1fzo  11733  elfzom1b  11736  fzoshftral  11746  sermono  11948  seqf1olem1  11955  seqf1olem2  11956  bcm1k  12201  bcn2  12205  bcp1m1  12206  bcpasc  12207  bccl  12208  hashbclem  12316  seqcoll  12327  lswccatn0lsw  12398  lswccat0lsw  12399  revccat  12517  revrev  12518  absrdbnd  12940  fsumm1  13331  binomlem  13403  isumsplit  13414  climcndslem1  13423  arisum2  13434  mertenslem1  13455  oddm1even  13704  oddp1even  13705  3dvds  13707  isprm3  13883  hashdvds  13961  pockthlem  14077  4sqlem11  14127  vdwapun  14146  vdwap0  14148  vdwnnlem2  14168  efgsp1  16347  efgsres  16348  srgbinomlem4  16756  srgbinomlem  16757  znunit  18114  dvexp3  21576  dvfsumlem1  21624  degltlem1  21669  abelthlem6  22027  atantayl2  22459  log2ublem3  22469  wilthlem1  22532  basellem5  22548  mersenne  22692  perfectlem1  22694  lgslem1  22761  lgsval2lem  22771  lgseisenlem1  22814  lgseisenlem2  22815  lgseisenlem3  22816  lgsquadlem1  22819  lgsquadlem3  22821  lgsquad2lem1  22823  lgsquad3  22826  2sqlem8  22837  2sqblem  22842  dchrisumlem1  22864  logdivbnd  22931  pntrsumbnd2  22942  ostth2lem3  23010  axlowdim  23352  erdszelem7  27222  elfzm12  27457  fz0n  27526  fprodser  27599  fprodm1  27614  risefacval2  27650  fallfacval2  27651  fallfacval3  27652  fallfacfwd  27676  binomfallfaclem2  27680  preduz  27798  predfz  27801  ltflcei  28560  mettrifi  28794  rmxluc  29418  rmyluc  29419  jm2.24  29447  jm2.18  29478  jm2.22  29485  jm2.23  29486  jm2.26lem3  29491  jm2.15nn0  29493  jm2.16nn0  29494  jm2.27a  29495  jm2.27c  29497  jm3.1lem3  29509  stoweidlem11  29947  elfzom1elfzo  30358  fzosplitprm1  30365  wwlkm1edg  30508  clwlkisclwwlklem2fv1  30585  clwlkisclwwlklem2fv2  30586  clwlkisclwwlklem2a4  30587  clwlkisclwwlklem2a  30588  clwlkisclwwlklem1  30590  clwlkisclwwlk  30592  clwwlkf  30597  wwlksubclwwlk  30607  zm1nn  30609  clwwisshclwwlem  30611  clwlkfclwwlk  30658  nbhashuvtx1  30674  extwwlkfablem2  30812  numclwwlk5  30846  numclwwlk7  30848  frgrareggt1  30850  altgsumbcALT  30891
  Copyright terms: Public domain W3C validator