MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zm Structured version   Unicode version

Theorem peano2zm 10914
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 1z 10901 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 zsubcl 10913 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2mpan2 671 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   1c1 9496    - cmin 9810   ZZcz 10871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872
This theorem is referenced by:  zlem1lt  10922  zltlem1  10923  zextlt  10944  zeo  10955  uzindOLD  10964  eluzp1m1  11115  uzm1  11122  zbtwnre  11191  fz01en  11724  fzsuc2  11748  elfzm11  11760  uzdisj  11762  elfzo  11813  fzon  11829  fzoss2  11835  fzossrbm1  11836  fzosplitsnm1  11872  ubmelm1fzo  11890  elfzom1b  11893  fzosplitprm1  11901  fzoshftral  11905  sermono  12121  seqf1olem1  12128  seqf1olem2  12129  bcm1k  12375  bcn2  12379  bcp1m1  12380  bcpasc  12381  bccl  12382  hashbclem  12483  seqcoll  12494  lswccatn0lsw  12589  lswccat0lsw  12590  revccat  12722  revrev  12723  absrdbnd  13156  fsumm1  13548  binomlem  13623  isumsplit  13634  climcndslem1  13643  arisum2  13654  mertenslem1  13675  fprodser  13738  fprodm1  13753  oddm1even  14029  oddp1even  14030  3dvds  14032  isprm3  14208  hashdvds  14287  pockthlem  14405  4sqlem11  14455  vdwapun  14474  vdwap0  14476  vdwnnlem2  14496  efgsp1  16734  efgsres  16735  srgbinomlem4  17173  srgbinomlem  17174  znunit  18580  dvexp3  22357  dvfsumlem1  22405  degltlem1  22450  abelthlem6  22809  atantayl2  23247  log2ublem3  23257  wilthlem1  23320  basellem5  23336  mersenne  23480  perfectlem1  23482  lgslem1  23549  lgsval2lem  23559  lgseisenlem1  23602  lgseisenlem2  23603  lgseisenlem3  23604  lgsquadlem1  23607  lgsquadlem3  23609  lgsquad2lem1  23611  lgsquad3  23614  2sqlem8  23625  2sqblem  23630  dchrisumlem1  23652  logdivbnd  23719  pntrsumbnd2  23730  ostth2lem3  23798  axlowdim  24242  wwlkm1edg  24713  clwlkisclwwlklem2fv1  24760  clwlkisclwwlklem2a4  24762  clwlkisclwwlklem2a  24763  clwlkisclwwlklem1  24765  clwlkisclwwlk  24767  clwwlkf  24772  wwlksubclwwlk  24782  clwwisshclwwlem  24784  clwlkfclwwlk  24822  nbhashuvtx1  24893  extwwlkfablem2  25056  numclwwlk5  25090  numclwwlk7  25092  frgrareggt1  25094  erdszelem7  28619  elfzm12  29019  fz0n  29088  risefacval2  29108  fallfacval2  29109  fallfacval3  29110  fallfacfwd  29134  binomfallfaclem2  29138  preduz  29256  predfz  29259  ltflcei  30019  mettrifi  30226  rmxluc  30848  rmyluc  30849  jm2.24  30877  jm2.18  30906  jm2.22  30913  jm2.23  30914  jm2.26lem3  30919  jm2.15nn0  30921  jm2.16nn0  30922  jm2.27a  30923  jm2.27c  30925  jm3.1lem3  30937  hashnzfz  31201  monoords  31450  fzisoeu  31454  dvnmul  31694  stoweidlem11  31747  dirkercncflem1  31839  fourierdlem48  31891  fourierdlem49  31892  fourierdlem65  31908  fourierdlem79  31922  zm1nn  32279  altgsumbcALT  32810
  Copyright terms: Public domain W3C validator