Theorem peano2zm 10680

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 10668	. 2 |- 1 e. ZZ
2		zsubcl 10679	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	mpan2 671	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756  (class class class)co 6086   1c1 9275   - cmin 9587   ZZcz 10638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639

This theorem is referenced by:  zlem1lt  10688  zltlem1  10689  zextlt  10708  zeo  10719  uzindOLD  10728  eluzp1m1  10876  uzm1  10883  zbtwnre  10943  fz01en  11469  fzsuc2  11506  elfzm11  11520  uzdisj  11523  elfzo  11547  fzon  11563  fzoss2  11569  fzossrbm1  11570  fzosplitsnm1  11600  ubmelm1fzo  11615  elfzom1b  11618  fzoshftral  11628  sermono  11830  seqf1olem1  11837  seqf1olem2  11838  bcm1k  12083  bcn2  12087  bcp1m1  12088  bcpasc  12089  bccl  12090  hashbclem  12197  seqcoll  12208  lswccatn0lsw  12279  lswccat0lsw  12280  revccat  12398  revrev  12399  absrdbnd  12821  fsumm1  13212  binomlem  13284  isumsplit  13295  climcndslem1  13304  arisum2  13315  mertenslem1  13336  oddm1even  13585  oddp1even  13586  3dvds  13588  isprm3  13764  hashdvds  13842  pockthlem  13958  4sqlem11  14008  vdwapun  14027  vdwap0  14029  vdwnnlem2  14049  efgsp1  16225  efgsres  16226  srgbinomlem4  16629  srgbinomlem  16630  znunit  17971  dvexp3  21425  dvfsumlem1  21473  degltlem1  21518  abelthlem6  21876  atantayl2  22308  log2ublem3  22318  wilthlem1  22381  basellem5  22397  mersenne  22541  perfectlem1  22543  lgslem1  22610  lgsval2lem  22620  lgseisenlem1  22663  lgseisenlem2  22664  lgseisenlem3  22665  lgsquadlem1  22668  lgsquadlem3  22670  lgsquad2lem1  22672  lgsquad3  22675  2sqlem8  22686  2sqblem  22691  dchrisumlem1  22713  logdivbnd  22780  pntrsumbnd2  22791  ostth2lem3  22859  axlowdim  23158  erdszelem7  27037  elfzm12  27271  fz0n  27340  fprodser  27413  fprodm1  27428  risefacval2  27464  fallfacval2  27465  fallfacval3  27466  fallfacfwd  27490  binomfallfaclem2  27494  preduz  27612  predfz  27615  ltflcei  28372  mettrifi  28606  rmxluc  29230  rmyluc  29231  jm2.24  29259  jm2.18  29290  jm2.22  29297  jm2.23  29298  jm2.26lem3  29303  jm2.15nn0  29305  jm2.16nn0  29306  jm2.27a  29307  jm2.27c  29309  jm3.1lem3  29321  stoweidlem11  29759  elfzom1elfzo  30170  fzosplitprm1  30177  wwlkm1edg  30320  clwlkisclwwlklem2fv1  30397  clwlkisclwwlklem2fv2  30398  clwlkisclwwlklem2a4  30399  clwlkisclwwlklem2a  30400  clwlkisclwwlklem1  30402  clwlkisclwwlk  30404  clwwlkf  30409  wwlksubclwwlk  30419  zm1nn  30421  clwwisshclwwlem  30423  clwlkfclwwlk  30470  nbhashuvtx1  30486  extwwlkfablem2  30624  numclwwlk5  30658  numclwwlk7  30660  frgrareggt1  30662  altgsumbcALT  30701