MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem peano2zm 11008
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 1z 10995 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 zsubcl 11007 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2mpan2 682 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897  (class class class)co 6314   1c1 9565    - cmin 9885   ZZcz 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966
This theorem is referenced by:  zlem1lt  11016  zltlem1  11017  zextlt  11038  zeo  11049  eluzp1m1  11210  uzm1  11217  zbtwnre  11290  fz01en  11855  fzsuc2  11881  elfzm11  11893  uzdisj  11895  preduz  11941  predfz  11944  elfzo  11952  fzon  11969  fzoss2  11976  fzossrbm1  11977  fzosplitsnm1  12018  ubmelm1fzo  12037  elfzom1b  12040  fzosplitprm1  12048  fzoshftral  12052  sermono  12276  seqf1olem1  12283  seqf1olem2  12284  bcm1k  12531  bcn2  12535  bcp1m1  12536  bcpasc  12537  bccl  12538  hashbclem  12647  seqcoll  12659  revccat  12907  revrev  12908  absrdbnd  13452  fsumm1  13860  binomlem  13935  isumsplit  13946  climcndslem1  13955  arisum2  13967  mertenslem1  13988  fprodser  14051  fprodm1  14069  risefacval2  14111  fallfacval2  14112  fallfacval3  14113  fallfacfwd  14137  binomfallfaclem2  14141  oddm1even  14414  oddp1even  14415  3dvds  14417  isprm3  14681  ncoprmlnprm  14725  hashdvds  14771  pockthlem  14897  4sqlem11  14947  vdwapun  14972  vdwap0  14974  vdwnnlem2  14994  efgsp1  17435  efgsres  17436  srgbinomlem4  17824  srgbinomlem  17825  znunit  19182  dvexp3  22978  dvfsumlem1  23026  degltlem1  23069  abelthlem6  23439  atantayl2  23912  log2ublem3  23922  wilthlem1  24041  basellem5  24059  mersenne  24203  perfectlem1  24205  lgslem1  24272  lgsval2lem  24282  lgseisenlem1  24325  lgseisenlem2  24326  lgseisenlem3  24327  lgsquadlem1  24330  lgsquadlem3  24332  lgsquad2lem1  24334  lgsquad3  24337  2sqlem8  24348  2sqblem  24353  dchrisumlem1  24375  logdivbnd  24442  pntrsumbnd2  24453  ostth2lem3  24521  axlowdim  25039  wwlkm1edg  25511  clwlkisclwwlklem2fv1  25558  clwlkisclwwlklem2a4  25560  clwlkisclwwlklem2a  25561  clwlkisclwwlklem1  25563  clwlkisclwwlk  25565  clwwlkf  25570  wwlksubclwwlk  25580  clwwisshclwwlem  25582  clwlkfclwwlk  25620  nbhashuvtx1  25691  extwwlkfablem2  25854  numclwwlk5  25888  numclwwlk7  25890  frgrareggt1  25892  erdszelem7  29968  elfzm12  30367  fz0n  30412  fwddifnp1  30980  ltflcei  31977  poimirlem1  31985  poimirlem2  31986  poimirlem6  31990  poimirlem7  31991  poimirlem8  31992  poimirlem9  31993  poimirlem15  31999  poimirlem16  32000  poimirlem17  32001  poimirlem18  32002  poimirlem19  32003  poimirlem20  32004  poimirlem24  32008  poimirlem27  32011  poimirlem31  32015  poimirlem32  32016  mettrifi  32130  rmxluc  35828  rmyluc  35829  jm2.24  35857  jm2.18  35887  jm2.22  35894  jm2.23  35895  jm2.26lem3  35900  jm2.15nn0  35902  jm2.16nn0  35903  jm2.27a  35904  jm2.27c  35906  jm3.1lem3  35918  hashnzfz  36712  monoords  37551  fzisoeu  37555  dvnmul  37855  stoweidlem11  37908  dirkercncflem1  38002  fourierdlem48  38055  fourierdlem49  38056  fourierdlem65  38072  fourierdlem79  38086  mod2eq1n2dvds  38762  elmod2OLD  38763  iccpartipre  38772  zob  38800  dfodd6  38804  evenm1odd  38806  oddm1eveni  38809  onego  38813  m1expoddALTV  38815  dfodd4  38825  oddflALTV  38829  oddm1evenALTV  38841  nnoALTV  38861  perfectALTVlem1  38880  proththd  38951  zm1nn  39090  pthdlem1  39791  pthdlem2  39793  altgsumbcALT  40406  pw2m1lepw2m1  40590  m1modmmod  40596  difmodm1lt  40597  nno  40600  zofldiv2  40610  logbpw2m1  40650  nnolog2flm1  40673  dignn0flhalflem1  40698
  Copyright terms: Public domain W3C validator