Theorem peano2zm 10675

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 10663	. 2 |- 1 e. ZZ
2		zsubcl 10674	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	mpan2 664	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1755  (class class class)co 6080   1c1 9270   - cmin 9582   ZZcz 10633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634

This theorem is referenced by:  zlem1lt  10683  zltlem1  10684  zextlt  10703  zeo  10714  uzindOLD  10723  eluzp1m1  10871  uzm1  10878  zbtwnre  10938  fz01en  11463  fzsuc2  11498  elfzm11  11511  uzdisj  11514  elfzo  11538  fzon  11554  fzoss2  11560  fzossrbm1  11561  fzosplitsnm1  11591  ubmelm1fzo  11606  elfzom1b  11609  fzoshftral  11619  sermono  11821  seqf1olem1  11828  seqf1olem2  11829  bcm1k  12074  bcn2  12078  bcp1m1  12079  bcpasc  12080  bccl  12081  hashbclem  12188  seqcoll  12199  lswccatn0lsw  12270  lswccat0lsw  12271  revccat  12389  revrev  12390  absrdbnd  12812  fsumm1  13203  binomlem  13274  isumsplit  13285  climcndslem1  13294  arisum2  13305  mertenslem1  13326  oddm1even  13575  oddp1even  13576  3dvds  13578  isprm3  13754  hashdvds  13832  pockthlem  13948  4sqlem11  13998  vdwapun  14017  vdwap0  14019  vdwnnlem2  14039  efgsp1  16213  efgsres  16214  znunit  17837  dvexp3  21291  dvfsumlem1  21339  degltlem1  21427  abelthlem6  21785  atantayl2  22217  log2ublem3  22227  wilthlem1  22290  basellem5  22306  mersenne  22450  perfectlem1  22452  lgslem1  22519  lgsval2lem  22529  lgseisenlem1  22572  lgseisenlem2  22573  lgseisenlem3  22574  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem3  22579  lgsquad2lem1  22581  lgsquad3  22584  2sqlem8  22595  2sqblem  22600  dchrisumlem1  22622  logdivbnd  22689  pntrsumbnd2  22700  ostth2lem3  22768  axlowdim  23029  erdszelem7  26932  elfzm12  27166  fz0n  27235  fprodser  27308  fprodm1  27323  risefacval2  27359  fallfacval2  27360  fallfacval3  27361  fallfacfwd  27385  binomfallfaclem2  27389  preduz  27507  predfz  27510  ltflcei  28260  mettrifi  28494  rmxluc  29119  rmyluc  29120  jm2.24  29148  jm2.18  29179  jm2.22  29186  jm2.23  29187  jm2.26lem3  29192  jm2.15nn0  29194  jm2.16nn0  29195  jm2.27a  29196  jm2.27c  29198  jm3.1lem3  29210  stoweidlem11  29649  elfzom1elfzo  30060  fzosplitprm1  30067  wwlkm1edg  30210  clwlkisclwwlklem2fv1  30287  clwlkisclwwlklem2fv2  30288  clwlkisclwwlklem2a4  30289  clwlkisclwwlklem2a  30290  clwlkisclwwlklem1  30292  clwlkisclwwlk  30294  clwwlkf  30299  wwlksubclwwlk  30309  zm1nn  30311  clwwisshclwwlem  30313  clwlkfclwwlk  30360  nbhashuvtx1  30376  extwwlkfablem2  30514  numclwwlk5  30548  numclwwlk7  30550  frgrareggt1  30552