MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz Structured version   Unicode version

Theorem peano2uz 10895
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
2 peano2z 10673 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
323ad2ant2 1003 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4 zre 10637 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10637 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 letrp1 10158 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
75, 6syl3an2 1245 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
84, 7syl3an1 1244 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
91, 3, 83jca 1161 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  +  1 ) ) )
10 eluz2 10854 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
11 eluz2 10854 . 2  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  +  1 ) ) )
129, 10, 113imtr4i 266 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 958    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9268   1c1 9270    + caddc 9272    <_ cle 9406   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849
This theorem is referenced by:  peano2uzs  10896  peano2uzr  10897  uzaddcl  10898  fzsplit  11461  fzssp1  11487  fzsuc  11488  fzp1ss  11490  fzp1elp1  11493  fztp  11496  fzneuz  11524  fzosplitsnm1  11591  fzofzp1  11607  fzosplitsn  11616  fzostep1  11618  om2uzuzi  11755  uzrdgsuci  11766  fzen2  11774  fzfi  11777  seqsplit  11822  seqf1olem1  11828  seqf1olem2  11829  seqz  11837  faclbnd3  12051  bcm1k  12074  seqcoll  12199  seqcoll2  12200  swrds1  12328  clim2ser  13115  clim2ser2  13116  serf0  13141  iseraltlem2  13143  iseralt  13145  fsump1  13206  fsump1i  13219  fsumparts  13251  cvgcmp  13261  isum1p  13286  isumsup2  13291  climcndslem1  13294  climcndslem2  13295  climcnds  13296  cvgrat  13325  mertenslem1  13326  pcfac  13943  gsumprval  15493  dvply2g  21635  aaliou3lem2  21693  ppinprm  22374  chtnprm  22376  ppiublem1  22425  chtublem  22434  chtub  22435  bposlem6  22512  pntlemf  22738  ostth2lem2  22767  fzsplit3  25900  esumcvg  26388  sseqf  26622  gsumnunsn  26784  signstfvp  26819  clim2prod  27249  clim2div  27250  ntrivcvgfvn0  27260  fprodntriv  27301  fprodp1  27325  fprodabs  27330  iprodefisumlem  27350  binomfallfaclem2  27389  sdclem2  28479  fdc  28482  mettrifi  28494  bfplem2  28563  rexrabdioph  28974  monotuz  29124  wallispilem1  29703  fzosplitpr  30066  clwwlkvbij  30306
  Copyright terms: Public domain W3C validator