MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz Structured version   Unicode version

Theorem peano2uz 11130
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
2 peano2z 10900 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
323ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4 zre 10864 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10864 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 letrp1 10380 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
75, 6syl3an2 1262 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
84, 7syl3an1 1261 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
91, 3, 83jca 1176 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  +  1 ) ) )
10 eluz2 11084 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
11 eluz2 11084 . 2  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  +  1 ) ) )
129, 10, 113imtr4i 266 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491    <_ cle 9625   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079
This theorem is referenced by:  peano2uzs  11131  peano2uzr  11132  uzaddcl  11133  fzsplit  11707  fzssp1  11722  fzsuc  11723  fzpred  11724  fzp1ss  11727  fzp1elp1  11729  fztp  11732  fzneuz  11755  fzosplitsnm1  11854  fzofzp1  11873  fzosplitsn  11882  fzostep1  11886  om2uzuzi  12024  uzrdgsuci  12035  fzen2  12043  fzfi  12046  seqsplit  12104  seqf1olem1  12110  seqf1olem2  12111  seqz  12119  faclbnd3  12334  bcm1k  12357  seqcoll  12474  seqcoll2  12475  swrds1  12635  clim2ser  13436  clim2ser2  13437  serf0  13462  iseraltlem2  13464  iseralt  13466  fsump1  13530  fsump1i  13543  fsumparts  13579  cvgcmp  13589  isum1p  13612  isumsup2  13617  climcndslem1  13620  climcndslem2  13621  climcnds  13622  cvgrat  13651  mertenslem1  13652  pcfac  14273  gsumprval  15827  telgsumfzslem  16808  telgsumfzs  16809  dvply2g  22415  aaliou3lem2  22473  ppinprm  23154  chtnprm  23156  ppiublem1  23205  chtublem  23214  chtub  23215  bposlem6  23292  pntlemf  23518  ostth2lem2  23547  clwwlkvbij  24477  fzsplit3  27267  esumcvg  27732  sseqf  27971  gsumnunsn  28133  signstfvp  28168  clim2prod  28599  clim2div  28600  ntrivcvgfvn0  28610  fprodntriv  28651  fprodp1  28675  fprodabs  28680  iprodefisumlem  28700  binomfallfaclem2  28739  sdclem2  29838  fdc  29841  mettrifi  29853  bfplem2  29922  rexrabdioph  30331  monotuz  30481  wallispilem1  31365  dirkertrigeqlem2  31399  fzosplitpr  31811
  Copyright terms: Public domain W3C validator