MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz Structured version   Unicode version

Theorem peano2uz 11138
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 995 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
2 peano2z 10906 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
323ad2ant2 1017 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4 zre 10869 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10869 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 letrp1 10385 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
75, 6syl3an2 1261 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
84, 7syl3an1 1260 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
91, 3, 83jca 1175 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  +  1 ) ) )
10 eluz2 11091 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
11 eluz2 11091 . 2  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  +  1 ) ) )
129, 10, 113imtr4i 266 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 972    e. wcel 1802   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RRcr 9489   1c1 9491    + caddc 9493    <_ cle 9627   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086
This theorem is referenced by:  peano2uzs  11139  peano2uzr  11140  uzaddcl  11141  fzsplit  11715  fzssp1  11730  fzsuc  11731  fzpred  11732  fzp1ss  11735  fzp1elp1  11737  fztp  11740  fzneuz  11763  fzosplitsnm1  11864  fzofzp1  11883  fzosplitsn  11892  fzostep1  11896  om2uzuzi  12034  uzrdgsuci  12045  fzen2  12053  fzfi  12056  seqsplit  12114  seqf1olem1  12120  seqf1olem2  12121  seqz  12129  faclbnd3  12344  bcm1k  12367  seqcoll  12486  seqcoll2  12487  swrds1  12650  clim2ser  13451  clim2ser2  13452  serf0  13477  iseraltlem2  13479  iseralt  13481  fsump1  13545  fsump1i  13558  fsumparts  13594  cvgcmp  13604  isum1p  13627  isumsup2  13632  climcndslem1  13635  climcndslem2  13636  climcnds  13637  cvgrat  13666  mertenslem1  13667  pcfac  14290  gsumprval  15777  telgsumfzslem  16886  telgsumfzs  16887  dvply2g  22546  aaliou3lem2  22604  ppinprm  23291  chtnprm  23293  ppiublem1  23342  chtublem  23351  chtub  23352  bposlem6  23429  pntlemf  23655  ostth2lem2  23684  clwwlkvbij  24666  fzsplit3  27464  esumcvg  27958  sseqf  28197  gsumnunsn  28359  signstfvp  28394  clim2prod  28990  clim2div  28991  ntrivcvgfvn0  29001  fprodntriv  29042  fprodp1  29066  fprodabs  29071  iprodefisumlem  29091  binomfallfaclem2  29130  sdclem2  30203  fdc  30206  mettrifi  30218  bfplem2  30287  rexrabdioph  30695  monotuz  30845  wallispilem1  31732  dirkertrigeqlem2  31766  fzosplitpr  32176
  Copyright terms: Public domain W3C validator