MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz Structured version   Unicode version

Theorem peano2uz 11219
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
2 peano2z 10985 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
323ad2ant2 1027 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4 zre 10948 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10948 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 letrp1 10454 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
75, 6syl3an2 1298 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
84, 7syl3an1 1297 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
91, 3, 83jca 1185 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  +  1 ) ) )
10 eluz2 11172 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
11 eluz2 11172 . 2  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  +  1 ) ) )
129, 10, 113imtr4i 269 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    e. wcel 1872   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545   1c1 9547    + caddc 9549    <_ cle 9683   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167
This theorem is referenced by:  peano2uzs  11220  peano2uzr  11221  uzaddcl  11222  fzsplit  11832  fzssp1  11848  fzsuc  11850  fzpred  11851  fzp1ss  11854  fzp1elp1  11856  fztp  11859  fzneuz  11882  fzosplitsnm1  11994  fzofzp1  12014  fzosplitsn  12023  fzostep1  12027  om2uzuzi  12169  uzrdgsuci  12180  fzen2  12188  fzfi  12191  seqsplit  12252  seqf1olem1  12258  seqf1olem2  12259  seqz  12267  faclbnd3  12483  bcm1k  12506  seqcoll  12631  seqcoll2  12632  swrds1  12809  clim2ser  13717  clim2ser2  13718  serf0  13746  iseraltlem2  13748  iseralt  13750  fsump1  13816  fsump1i  13829  fsumparts  13865  cvgcmp  13875  isum1p  13898  isumsup2  13903  climcndslem1  13906  climcndslem2  13907  climcnds  13908  cvgrat  13938  mertenslem1  13939  clim2prod  13943  clim2div  13944  ntrivcvgfvn0  13954  fprodntriv  13995  fprodp1  14022  fprodabs  14027  binomfallfaclem2  14092  pcfac  14843  gsumprval  16523  telgsumfzslem  17617  telgsumfzs  17618  dvply2g  23236  aaliou3lem2  23297  ppinprm  24077  chtnprm  24079  ppiublem1  24128  chtublem  24137  chtub  24138  bposlem6  24215  pntlemf  24441  ostth2lem2  24470  clwwlkvbij  25527  fzsplit3  28376  esumcvg  28915  sseqf  29233  gsumnunsn  29433  signstfvp  29468  iprodefisumlem  30383  poimirlem1  31905  poimirlem2  31906  poimirlem3  31907  poimirlem4  31908  poimirlem6  31910  poimirlem7  31911  poimirlem8  31912  poimirlem9  31913  poimirlem12  31916  poimirlem13  31917  poimirlem14  31918  poimirlem15  31919  poimirlem16  31920  poimirlem17  31921  poimirlem18  31922  poimirlem19  31923  poimirlem20  31924  poimirlem21  31925  poimirlem22  31926  poimirlem23  31927  poimirlem24  31928  poimirlem26  31930  poimirlem27  31931  poimirlem31  31935  poimirlem32  31936  sdclem2  32035  fdc  32038  mettrifi  32050  bfplem2  32119  rexrabdioph  35606  monotuz  35759  wallispilem1  37867  dirkertrigeqlem2  37901  sge0p1  38164  carageniuncllem1  38250  iccpartres  38602  iccelpart  38617  pfxccatpfx2  38839  fzosplitpr  38919
  Copyright terms: Public domain W3C validator