MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz Structured version   Unicode version

Theorem peano2uz 10913
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
2 peano2z 10691 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
323ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4 zre 10655 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10655 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 letrp1 10176 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
75, 6syl3an2 1252 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
84, 7syl3an1 1251 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  ( N  +  1 ) )
91, 3, 83jca 1168 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  +  1 ) ) )
10 eluz2 10872 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
11 eluz2 10872 . 2  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  +  1 ) ) )
129, 10, 113imtr4i 266 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   1c1 9288    + caddc 9290    <_ cle 9424   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867
This theorem is referenced by:  peano2uzs  10914  peano2uzr  10915  uzaddcl  10916  fzsplit  11480  fzssp1  11506  fzsuc  11507  fzpred  11508  fzp1ss  11511  fzp1elp1  11514  fztp  11517  fzneuz  11546  fzosplitsnm1  11613  fzofzp1  11629  fzosplitsn  11638  fzostep1  11640  om2uzuzi  11777  uzrdgsuci  11788  fzen2  11796  fzfi  11799  seqsplit  11844  seqf1olem1  11850  seqf1olem2  11851  seqz  11859  faclbnd3  12073  bcm1k  12096  seqcoll  12221  seqcoll2  12222  swrds1  12350  clim2ser  13137  clim2ser2  13138  serf0  13163  iseraltlem2  13165  iseralt  13167  fsump1  13228  fsump1i  13241  fsumparts  13274  cvgcmp  13284  isum1p  13309  isumsup2  13314  climcndslem1  13317  climcndslem2  13318  climcnds  13319  cvgrat  13348  mertenslem1  13349  pcfac  13966  gsumprval  15519  srgbinomlem4  16646  dvply2g  21756  aaliou3lem2  21814  ppinprm  22495  chtnprm  22497  ppiublem1  22546  chtublem  22555  chtub  22556  bposlem6  22633  pntlemf  22859  ostth2lem2  22888  fzsplit3  26083  esumcvg  26540  sseqf  26780  gsumnunsn  26942  signstfvp  26977  clim2prod  27408  clim2div  27409  ntrivcvgfvn0  27419  fprodntriv  27460  fprodp1  27484  fprodabs  27489  iprodefisumlem  27509  binomfallfaclem2  27548  sdclem2  28643  fdc  28646  mettrifi  28658  bfplem2  28727  rexrabdioph  29137  monotuz  29287  wallispilem1  29865  fzosplitpr  30228  clwwlkvbij  30468
  Copyright terms: Public domain W3C validator