MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Structured version   Unicode version

Theorem peano2nnd 10565
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
peano2nnd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 peano2nn 10560 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6295   1c1 9505    + caddc 9507   NNcn 10548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-nn 10549
This theorem is referenced by:  bcpasc  12379  o1fsum  13607  eftlub  13722  eirrlem  13815  infpnlem1  14304  infpnlem2  14305  prmreclem4  14313  prmreclem5  14314  prmreclem6  14315  vdwlem6  14380  cayhamlem1  19236  ovolunlem1a  21775  ovolicc2lem3  21798  uniioombllem3  21862  uniioombllem4  21863  vieta1lem1  22573  vieta1lem2  22574  aaliou3lem2  22606  basellem1  23220  basellem2  23221  basellem3  23222  basellem4  23223  basellem5  23224  basellem6  23225  basellem7  23226  basellem8  23227  basellem9  23228  perfectlem1  23370  perfectlem2  23371  bclbnd  23421  lgsdilem2  23472  rplogsumlem2  23536  dchrisumlem2  23541  pntrsumbnd2  23618  pntrlog2bndlem2  23629  pntpbnd1a  23636  pntpbnd1  23637  pntpbnd2  23638  axlowdimlem16  24074  isarchi3  27546  ofldchr  27620  esumfzf  27891  esumpcvgval  27900  esumcvg  27908  dstfrvunirn  28229  dstfrvclim1  28232  lgamgulmlem3  28389  lgamgulmlem4  28390  lgamgulmlem5  28391  lgamgulmlem6  28392  lgamgulm2  28394  lgamcvg2  28413  gamcvg  28414  gamcvg2lem  28417  regamcl  28419  relgamcl  28420  subfacp1lem1  28439  subfacp1lem5  28444  subfaclim  28448  bpolydiflem  29734  4rexfrabdioph  30650  6rexfrabdioph  30651  pellfundge  30737  pellfundgt1  30738  wallispilem5  31683  wallispi2lem1  31685  wallispi2  31687  fourierdlem47  31768
  Copyright terms: Public domain W3C validator