MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Structured version   Unicode version

Theorem peano2nnd 10453
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
peano2nnd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 peano2nn 10448 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758  (class class class)co 6203   1c1 9397    + caddc 9399   NNcn 10436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-nn 10437
This theorem is referenced by:  bcpasc  12217  o1fsum  13397  eftlub  13514  eirrlem  13607  infpnlem1  14092  infpnlem2  14093  prmreclem4  14101  prmreclem5  14102  prmreclem6  14103  vdwlem6  14168  ovolunlem1a  21114  ovolicc2lem3  21137  uniioombllem3  21201  uniioombllem4  21202  vieta1lem1  21912  vieta1lem2  21913  aaliou3lem2  21945  basellem1  22554  basellem2  22555  basellem3  22556  basellem4  22557  basellem5  22558  basellem6  22559  basellem7  22560  basellem8  22561  basellem9  22562  perfectlem1  22704  perfectlem2  22705  bclbnd  22755  lgsdilem2  22806  rplogsumlem2  22870  dchrisumlem2  22875  pntrsumbnd2  22952  pntrlog2bndlem2  22963  pntpbnd1a  22970  pntpbnd1  22971  pntpbnd2  22972  axlowdimlem16  23375  isarchi3  26369  ofldchr  26447  esumfzf  26683  esumpcvgval  26692  esumcvg  26700  dstfrvunirn  27021  dstfrvclim1  27024  lgamgulmlem3  27181  lgamgulmlem4  27182  lgamgulmlem5  27183  lgamgulmlem6  27184  lgamgulm2  27186  lgamcvg2  27205  gamcvg  27206  gamcvg2lem  27209  regamcl  27211  relgamcl  27212  subfacp1lem1  27231  subfacp1lem5  27236  subfaclim  27240  bpolydiflem  28361  4rexfrabdioph  29304  6rexfrabdioph  29305  pellfundge  29391  pellfundgt1  29392  wallispilem5  30032  wallispi2lem1  30034  wallispi2  30036  cayhamlem1  31372
  Copyright terms: Public domain W3C validator