MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Structured version   Unicode version

Theorem peano2nnd 10548
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
peano2nnd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 peano2nn 10543 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10532
This theorem is referenced by:  bcpasc  12381  relexpsucnnr  12942  o1fsum  13709  eftlub  13926  eirrlem  14019  infpnlem1  14512  infpnlem2  14513  prmreclem4  14521  prmreclem5  14522  prmreclem6  14523  vdwlem6  14588  cayhamlem1  19534  ovolunlem1a  22073  ovolicc2lem3  22096  uniioombllem3  22160  uniioombllem4  22161  vieta1lem1  22872  vieta1lem2  22873  aaliou3lem2  22905  basellem1  23552  basellem2  23553  basellem3  23554  basellem4  23555  basellem5  23556  basellem6  23557  basellem7  23558  basellem8  23559  basellem9  23560  perfectlem1  23702  perfectlem2  23703  bclbnd  23753  lgsdilem2  23804  rplogsumlem2  23868  dchrisumlem2  23873  pntrsumbnd2  23950  pntrlog2bndlem2  23961  pntpbnd1a  23968  pntpbnd1  23969  pntpbnd2  23970  axlowdimlem16  24462  isarchi3  27965  ofldchr  28039  esumfzf  28298  esumpcvgval  28307  esumcvg  28315  dstfrvunirn  28677  dstfrvclim1  28680  lgamgulmlem3  28837  lgamgulmlem4  28838  lgamgulmlem5  28839  lgamgulmlem6  28840  lgamgulm2  28842  lgamcvg2  28861  gamcvg  28862  gamcvg2lem  28865  regamcl  28867  relgamcl  28868  subfacp1lem1  28887  subfacp1lem5  28892  subfaclim  28896  bpolydiflem  30044  4rexfrabdioph  30971  6rexfrabdioph  30972  pellfundge  31057  pellfundgt1  31058  wallispilem5  32090  wallispi2lem1  32092  wallispi2  32094  fourierdlem47  32175  blennngt2o2  33467
  Copyright terms: Public domain W3C validator