MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Structured version   Unicode version

Theorem peano2nnd 10331
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
peano2nnd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 peano2nn 10326 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   1c1 9275    + caddc 9277   NNcn 10314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-nn 10315
This theorem is referenced by:  bcpasc  12089  o1fsum  13268  eftlub  13385  eirrlem  13478  infpnlem1  13963  infpnlem2  13964  prmreclem4  13972  prmreclem5  13973  prmreclem6  13974  vdwlem6  14039  ovolunlem1a  20954  ovolicc2lem3  20977  uniioombllem3  21040  uniioombllem4  21041  vieta1lem1  21751  vieta1lem2  21752  aaliou3lem2  21784  basellem1  22393  basellem2  22394  basellem3  22395  basellem4  22396  basellem5  22397  basellem6  22398  basellem7  22399  basellem8  22400  basellem9  22401  perfectlem1  22543  perfectlem2  22544  bclbnd  22594  lgsdilem2  22645  rplogsumlem2  22709  dchrisumlem2  22714  pntrsumbnd2  22791  pntrlog2bndlem2  22802  pntpbnd1a  22809  pntpbnd1  22810  pntpbnd2  22811  axlowdimlem16  23154  isarchi3  26155  ofldchr  26233  esumfzf  26470  esumpcvgval  26479  esumcvg  26487  dstfrvunirn  26809  dstfrvclim1  26812  lgamgulmlem3  26969  lgamgulmlem4  26970  lgamgulmlem5  26971  lgamgulmlem6  26972  lgamgulm2  26974  lgamcvg2  26993  gamcvg  26994  gamcvg2lem  26997  regamcl  26999  relgamcl  27000  subfacp1lem1  27019  subfacp1lem5  27024  subfaclim  27028  bpolydiflem  28148  4rexfrabdioph  29089  6rexfrabdioph  29090  pellfundge  29176  pellfundgt1  29177  wallispilem5  29817  wallispi2lem1  29819  wallispi2  29821
  Copyright terms: Public domain W3C validator