MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2b Structured version   Unicode version

Theorem peano2b 6504
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 limom 6503 . 2  |-  Lim  om
2 limsuc 6472 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  ( A  e. 
om 
<->  suc  A  e.  om ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1756   Lim wlim 4732   suc csuc 4733   omcom 6488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-om 6489
This theorem is referenced by:  nnsuc  6505  peano2  6508  peano5  6511  frsuc  6904  frsucmptn  6906  nnaordi  7069  nnmsucr  7076  omsmolem  7104  php  7507  php4  7510  omsucdomOLD  7518  unblem1  7576  isfinite2  7582  inf0  7839  inf3lem1  7846  inf3lem5  7850  cantnfp1lem3  7900  cantnflem1  7909  cantnfp1lem3OLD  7926  cantnflem1OLD  7932  itunisuc  8600  ituniiun  8603  indpi  9088
  Copyright terms: Public domain W3C validator