MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2b Structured version   Unicode version

Theorem peano2b 6701
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 limom 6700 . 2  |-  Lim  om
2 limsuc 6669 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  ( A  e. 
om 
<->  suc  A  e.  om ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1767   Lim wlim 4879   suc csuc 4880   omcom 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-om 6686
This theorem is referenced by:  nnsuc  6702  peano2  6705  peano5  6708  frsuc  7103  frsucmptn  7105  nnaordi  7268  nnmsucr  7275  omsmolem  7303  php  7702  php4  7705  omsucdomOLD  7714  unblem1  7773  isfinite2  7779  inf0  8039  inf3lem1  8046  inf3lem5  8050  cantnfp1lem3  8100  cantnflem1  8109  cantnfp1lem3OLD  8126  cantnflem1OLD  8132  itunisuc  8800  ituniiun  8803  indpi  9286
  Copyright terms: Public domain W3C validator