Theorem peano2b 3968

Description: A class belongs to omega iff its successor does.

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- (A e. om <-> suc A e. om)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 3967	. 2 |- Lim om
2		limsuc 3933	. 2 |- (Lim om -> (A e. om <-> suc A e. om))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A e. om <-> suc A e. om)

Syntax hints:   <-> wb 163   e. wcel 1300  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  omcom 3949

This theorem is referenced by:  nnsuc 3969  peano2 3972  peano5 3975  frsuc 5161  nnacom 5288  nnmsucr 5295  nnmsucrOLD 5296  omsmolem 5313  php 5607  php4 5610  omsucdom 5616  unblem1 5633  isfinite2 5639  inf0 5712  inf3lem1 5719  inf3lem5 5723  sucdom 5994  nnacda 6088  indpi 6186  frsucopabn 13911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950

Copyright terms: Public domain