Theorem peano2b 3204

Description: A class belongs to omega iff its successor does.

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- (A e. om <-> suc A e. om)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 3203	. 2 |- Lim om
2		limsuc 3177	. 2 |- (Lim om -> (A e. om <-> suc A e. om))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A e. om <-> suc A e. om)

Syntax hints:   <-> wb 153   e. wcel 999  Lim wlim 3006  suc csuc 3007  omcom 3188

This theorem is referenced by:  nnsuc 3205  peano2 3207  peano5 3210  frsuc 4011  nnacom 4291  nnmsucr 4298  omsmolem 4314  php 4578  php4 4581  omsucdom 4587  unblem1 4603  isfinite2 4609  inf0 4668  inf3lem1 4675  inf3lem5 4679  sucdom 4907  indpi 5099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189

Copyright terms: Public domain