Theorem peano2 6517

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	|- ( A e. om -> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 6513	. 2 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
2	1	biimpi 194	1 |- ( A e. om -> suc A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756   suc csuc 4742   omcom 6497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552  ax-un 6393

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-om 6498

This theorem is referenced by:  onnseq  6826  seqomlem1  6926  seqomlem4  6929  onasuc  6989  onmsuc  6990  onesuc  6991  nnacl  7071  nnecl  7073  nnacom  7077  nnmsucr  7085  1onn  7099  2onn  7100  3onn  7101  4onn  7102  nnneo  7111  nneob  7112  omopthlem1  7115  onomeneq  7521  dif1enOLD  7565  dif1en  7566  findcard  7572  findcard2  7573  unbnn2  7590  dffi3  7702  wofib  7780  axinf2  7867  dfom3  7874  noinfep  7886  noinfepOLD  7887  cantnflt  7901  cantnfltOLD  7931  trcl  7969  cardsucnn  8176  dif1card  8198  fseqdom  8217  alephfp  8299  ackbij1lem16  8425  ackbij2lem2  8430  ackbij2lem3  8431  ackbij2  8433  sornom  8467  infpssrlem4  8496  fin23lem26  8515  fin23lem20  8527  fin23lem38  8539  fin23lem39  8540  isf32lem2  8544  isf32lem3  8545  isf34lem7  8569  isf34lem6  8570  fin1a2lem6  8595  fin1a2lem9  8598  fin1a2lem12  8601  domtriomlem  8632  axdc2lem  8638  axdc3lem  8640  axdc3lem2  8641  axdc3lem4  8643  axdc4lem  8645  axdclem2  8710  peano2nn  10355  om2uzrani  11796  uzrdgsuci  11804  fzennn  11811  axdc4uzlem  11825  trpredtr  27716  elhf2  28235  0hf  28237  hfsn  28239  hfpw  28245  neibastop2lem  28607  bnj970  32036