MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Structured version   Unicode version

Theorem peano2 6485
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 6481 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
21biimpi 194 1  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   suc csuc 4708   omcom 6465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-om 6466
This theorem is referenced by:  onnseq  6791  seqomlem1  6891  seqomlem4  6894  onasuc  6956  onmsuc  6957  onesuc  6958  nnacl  7038  nnecl  7040  nnacom  7044  nnmsucr  7052  1onn  7066  2onn  7067  3onn  7068  4onn  7069  nnneo  7078  nneob  7079  omopthlem1  7082  onomeneq  7488  dif1enOLD  7532  dif1en  7533  findcard  7539  findcard2  7540  unbnn2  7557  dffi3  7669  wofib  7747  axinf2  7834  dfom3  7841  noinfep  7853  noinfepOLD  7854  cantnflt  7868  cantnfltOLD  7898  trcl  7936  cardsucnn  8143  dif1card  8165  fseqdom  8184  alephfp  8266  ackbij1lem16  8392  ackbij2lem2  8397  ackbij2lem3  8398  ackbij2  8400  sornom  8434  infpssrlem4  8463  fin23lem26  8482  fin23lem20  8494  fin23lem38  8506  fin23lem39  8507  isf32lem2  8511  isf32lem3  8512  isf34lem7  8536  isf34lem6  8537  fin1a2lem6  8562  fin1a2lem9  8565  fin1a2lem12  8568  domtriomlem  8599  axdc2lem  8605  axdc3lem  8607  axdc3lem2  8608  axdc3lem4  8610  axdc4lem  8612  axdclem2  8677  peano2nn  10321  om2uzrani  11758  uzrdgsuci  11766  fzennn  11773  axdc4uzlem  11787  trpredtr  27540  elhf2  28059  0hf  28061  hfsn  28063  hfpw  28069  neibastop2lem  28422  bnj970  31639
  Copyright terms: Public domain W3C validator