MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Structured version   Unicode version

Theorem peano2 6705
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 6701 . 2  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
21biimpi 194 1  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   suc csuc 4870   omcom 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-om 6686
This theorem is referenced by:  onnseq  7017  seqomlem1  7117  seqomlem4  7120  onasuc  7180  onmsuc  7181  onesuc  7182  nnacl  7262  nnecl  7264  nnacom  7268  nnmsucr  7276  1onn  7290  2onn  7291  3onn  7292  4onn  7293  nnneo  7302  nneob  7303  omopthlem1  7306  onomeneq  7709  dif1enOLD  7754  dif1en  7755  findcard  7761  findcard2  7762  unbnn2  7779  dffi3  7893  wofib  7973  axinf2  8060  dfom3  8067  noinfep  8079  noinfepOLD  8080  cantnflt  8094  cantnfltOLD  8124  trcl  8162  cardsucnn  8369  dif1card  8391  fseqdom  8410  alephfp  8492  ackbij1lem16  8618  ackbij2lem2  8623  ackbij2lem3  8624  ackbij2  8626  sornom  8660  infpssrlem4  8689  fin23lem26  8708  fin23lem20  8720  fin23lem38  8732  fin23lem39  8733  isf32lem2  8737  isf32lem3  8738  isf34lem7  8762  isf34lem6  8763  fin1a2lem6  8788  fin1a2lem9  8791  fin1a2lem12  8794  domtriomlem  8825  axdc2lem  8831  axdc3lem  8833  axdc3lem2  8834  axdc3lem4  8836  axdc4lem  8838  axdclem2  8903  peano2nn  10555  om2uzrani  12045  uzrdgsuci  12053  fzennn  12060  axdc4uzlem  12074  trpredtr  29289  elhf2  29808  0hf  29810  hfsn  29812  hfpw  29818  neibastop2lem  30154  bnj970  33873
  Copyright terms: Public domain W3C validator