MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Structured version   Unicode version

Theorem peano1 6484
Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 6484 through peano5 6488 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1  |-  (/)  e.  om

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 6480 . 2  |-  Lim  om
2 0ellim 4768 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 5 1  |-  (/)  e.  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1755   (/)c0 3625   Lim wlim 4707   omcom 6465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-om 6466
This theorem is referenced by:  onnseq  6791  rdg0  6863  fr0g  6877  seqomlem3  6893  oa1suc  6959  om1  6969  oe1  6971  nna0r  7036  nnm0r  7037  nnmcl  7039  nnecl  7040  nnmsucr  7052  nnaword1  7056  nnaordex  7065  1onn  7066  oaabs2  7072  nnm1  7075  nneob  7079  omopth  7085  snfi  7378  0sdom1dom  7498  0fin  7528  findcard2  7540  nnunifi  7551  unblem2  7553  infn0  7562  unfilem3  7566  dffi3  7669  inf0  7815  infeq5i  7830  axinf2  7834  dfom3  7841  infdifsn  7850  noinfep  7853  noinfepOLD  7854  cantnflt  7868  cantnfltOLD  7898  cnfcomlem  7920  cnfcom  7921  cnfcom2lem  7922  cnfcom3lem  7924  cnfcom3  7925  cnfcomlemOLD  7928  cnfcomOLD  7929  cnfcom2lemOLD  7930  cnfcom3lemOLD  7932  cnfcom3OLD  7933  trcl  7936  rankdmr1  7996  rankeq0b  8055  cardlim  8130  infxpenc  8172  infxpenc2  8176  infxpencOLD  8177  infxpenc2OLD  8180  alephgeom  8240  alephfplem4  8265  ackbij1lem13  8389  ackbij1  8395  ackbij1b  8396  ominf4  8469  fin23lem16  8492  fin23lem31  8500  fin23lem40  8508  isf32lem9  8518  isf34lem7  8536  isf34lem6  8537  fin1a2lem6  8562  fin1a2lem7  8563  fin1a2lem11  8567  axdc3lem2  8608  axdc3lem4  8610  axdc4lem  8612  axcclem  8614  axdclem2  8677  pwfseqlem5  8817  omina  8845  wunex3  8895  1lt2pi  9061  1nn  10320  om2uzrani  11758  uzrdg0i  11765  fzennn  11773  axdc4uzlem  11787  hash1  12145  ltbwe  17485  2ndcdisj2  18902  snct  25834  trpredpred  27538  0hf  28061  neibastop2lem  28422
  Copyright terms: Public domain W3C validator