MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Structured version   Unicode version

Theorem peano1 6704
Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 6704 through peano5 6708 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1  |-  (/)  e.  om

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 6700 . 2  |-  Lim  om
2 0ellim 4930 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 5 1  |-  (/)  e.  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804   (/)c0 3770   Lim wlim 4869   omcom 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-om 6686
This theorem is referenced by:  onnseq  7017  rdg0  7089  fr0g  7103  seqomlem3  7119  oa1suc  7183  om1  7193  oe1  7195  nna0r  7260  nnm0r  7261  nnmcl  7263  nnecl  7264  nnmsucr  7276  nnaword1  7280  nnaordex  7289  1onn  7290  oaabs2  7296  nnm1  7299  nneob  7303  omopth  7309  snfi  7598  0sdom1dom  7719  0fin  7749  findcard2  7762  nnunifi  7773  unblem2  7775  infn0  7784  unfilem3  7788  dffi3  7893  inf0  8041  infeq5i  8056  axinf2  8060  dfom3  8067  infdifsn  8076  noinfep  8079  noinfepOLD  8080  cantnflt  8094  cantnfltOLD  8124  cnfcomlem  8146  cnfcom  8147  cnfcom2lem  8148  cnfcom3lem  8150  cnfcom3  8151  cnfcomlemOLD  8154  cnfcomOLD  8155  cnfcom2lemOLD  8156  cnfcom3lemOLD  8158  cnfcom3OLD  8159  trcl  8162  rankdmr1  8222  rankeq0b  8281  cardlim  8356  infxpenc  8398  infxpenc2  8402  infxpencOLD  8403  infxpenc2OLD  8406  alephgeom  8466  alephfplem4  8491  ackbij1lem13  8615  ackbij1  8621  ackbij1b  8622  ominf4  8695  fin23lem16  8718  fin23lem31  8726  fin23lem40  8734  isf32lem9  8744  isf34lem7  8762  isf34lem6  8763  fin1a2lem6  8788  fin1a2lem7  8789  fin1a2lem11  8793  axdc3lem2  8834  axdc3lem4  8836  axdc4lem  8838  axcclem  8840  axdclem2  8903  pwfseqlem5  9044  omina  9072  wunex3  9122  1lt2pi  9286  1nn  10554  om2uzrani  12045  uzrdg0i  12052  fzennn  12060  axdc4uzlem  12074  hash1  12451  ltbwe  18116  2ndcdisj2  19936  snct  27512  trpredpred  29287  0hf  29810  neibastop2lem  30154
  Copyright terms: Public domain W3C validator