MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Unicode version

Theorem peano1 4566
Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 4566 through peano5 4570 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1  |-  (/)  e.  om

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 4562 . 2  |-  Lim  om
2 0ellim 4347 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 10 1  |-  (/)  e.  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1621   (/)c0 3362   Lim wlim 4286   omcom 4547
This theorem is referenced by:  onnseq  6247  rdg0  6320  fr0g  6334  seqomlem3  6350  oa1suc  6416  om1  6426  oe1  6428  nna0r  6493  nnm0r  6494  nnmcl  6496  nnecl  6497  nnmsucr  6509  nnaword1  6513  nnaordex  6522  1onn  6523  oaabs2  6529  nnm1  6532  nneob  6536  omopth  6542  snfi  6826  0sdom1dom  6945  0fin  6972  findcard2  6983  nnunifi  6993  unblem2  6995  infn0  7004  unfilem3  7008  dffi3  7068  inf0  7206  infeq5i  7221  axinf2  7225  dfom3  7232  infdifsn  7241  noinfep  7244  noinfepOLD  7245  cantnflt  7257  cnfcomlem  7286  cnfcom  7287  cnfcom2lem  7288  cnfcom3lem  7290  cnfcom3  7291  trcl  7294  rankdmr1  7357  rankeq0b  7416  cardlim  7489  infxpenc  7529  infxpenc2  7533  alephgeom  7593  alephfplem4  7618  ackbij1lem13  7742  ackbij1  7748  ackbij1b  7749  ominf4  7822  fin23lem16  7845  fin23lem31  7853  fin23lem40  7861  isf32lem9  7871  isf34lem7  7889  isf34lem6  7890  fin1a2lem6  7915  fin1a2lem7  7916  fin1a2lem11  7920  axdc3lem2  7961  axdc3lem4  7963  axdc4lem  7965  axcclem  7967  axdclem2  8031  pwfseqlem5  8165  omina  8193  wunexALT  8243  1lt2pi  8409  1nn  9637  om2uzrani  10893  uzrdg0i  10900  fzennn  10908  axdc4uzlem  10922  hash1  11247  ltbwe  16046  2ndcdisj2  17015  trpredpred  23399  0hf  23981  neibastop2lem  25475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548
  Copyright terms: Public domain W3C validator