Theorem peano1 3155

Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 3155 through peano5 3159 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
peano1	|- (/) e. om

Proof of Theorem peano1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 3152	. 2 |- Lim om
2		0ellim 3037	. 2 |- (Lim om -> (/) e. om)
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (/) e. om

Syntax hints:   e. wcel 960  (/)c0 2283  Lim wlim 2955  omcom 3137

This theorem is referenced by:  fr0t 3958  nnmcl 4236  nnecl 4237  nnmsucr 4246  1onn 4259  nneob 4261  snfi 4438  snfiOLD 4439  0sdom1dom 4530  infn0 4542  unblem2 4552  unfilem3 4562  unifiOLD 4570  inf0 4615  infeq5 4630  axinf2 4633  dfom3 4639  noinfep 4650  trcl 4655  cardlim 4862  alephgeom 4893  alephfplem4 4910  mulclpi 5033  1lt2pi 5044  om2uzran 6301  uzrdgini 6304  emfin 10466  top2usne 10535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138

Copyright terms: Public domain