Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pczpre Structured version   Unicode version

Theorem pczpre 14230
 Description: Connect the prime count pre-function to the actual prime count function, when restricted to the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pczpre.1
Assertion
Ref Expression
pczpre
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pczpre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zq 11188 . . 3
2 eqid 2467 . . . 4
3 eqid 2467 . . . 4
42, 3pcval 14227 . . 3
51, 4sylanr1 652 . 2
6 simprl 755 . . . 4
76zcnd 10967 . . . . . 6
87div1d 10312 . . . . 5
98eqcomd 2475 . . . 4
10 prmuz2 14094 . . . . . . . 8
11 eqid 2467 . . . . . . . 8
12 eqid 2467 . . . . . . . . 9
13 eqid 2467 . . . . . . . . 9
1412, 13pcpre1 14225 . . . . . . . 8
1510, 11, 14sylancl 662 . . . . . . 7
1615adantr 465 . . . . . 6
1716oveq2d 6300 . . . . 5
18 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
19 pczpre.1 . . . . . . . . . 10
2018, 19pcprecl 14222 . . . . . . . . 9
2110, 20sylan 471 . . . . . . . 8
2221simpld 459 . . . . . . 7
2322nn0cnd 10854 . . . . . 6
2423subid1d 9919 . . . . 5
2517, 24eqtr2d 2509 . . . 4
26 1nn 10547 . . . . 5
27 oveq1 6291 . . . . . . . 8
2827eqeq2d 2481 . . . . . . 7
29 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12
3029rabbidv 3105 . . . . . . . . . . 11
3130supeq1d 7906 . . . . . . . . . 10
3231, 19syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9
3332oveq1d 6299 . . . . . . . 8
3433eqeq2d 2481 . . . . . . 7
3528, 34anbi12d 710 . . . . . 6
36 oveq2 6292 . . . . . . . 8
3736eqeq2d 2481 . . . . . . 7
38 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11
3938rabbidv 3105 . . . . . . . . . 10
4039supeq1d 7906 . . . . . . . . 9
4140oveq2d 6300 . . . . . . . 8
4241eqeq2d 2481 . . . . . . 7
4337, 42anbi12d 710 . . . . . 6
4435, 43rspc2ev 3225 . . . . 5
4526, 44mp3an2 1312 . . . 4
466, 9, 25, 45syl12anc 1226 . . 3
47 ltso 9665 . . . . . 6
4847supex 7923 . . . . 5
4919, 48eqeltri 2551 . . . 4
502, 3pceu 14229 . . . . 5
511, 50sylanr1 652 . . . 4
52 eqeq1 2471 . . . . . . 7
5352anbi2d 703 . . . . . 6
54532rexbidv 2980 . . . . 5
5554iota2 5577 . . . 4
5649, 51, 55sylancr 663 . . 3
5746, 56mpbid 210 . 2
585, 57eqtrd 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  weu 2275   wne 2662  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113   class class class wbr 4447  cio 5549  cfv 5588  (class class class)co 6284  csup 7900  cr 9491  cc0 9492  c1 9493   clt 9628   cmin 9805   cdiv 10206  cn 10536  c2 10585  cn0 10795  cz 10864  cuz 11082  cq 11182  cexp 12134   cdivides 13847  cprime 14076   cpc 14219 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220 This theorem is referenced by:  pczcl  14231  pcmul  14234  pcdiv  14235  pc1  14238  pczdvds  14245  pczndvds  14247  pczndvds2  14249  pcneg  14256
 Copyright terms: Public domain W3C validator