MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pczndvds2 Structured version   Unicode version

Theorem pczndvds2 14262
Description: The remainder after dividing out all factors of  P is not divisible by  P. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pczndvds2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  ( N  /  ( P ^
( P  pCnt  N
) ) ) )

Proof of Theorem pczndvds2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 14107 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 eqid 2441 . . . 4  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  =  {
n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N }
3 eqid 2441 . . . 4  |-  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  )
42, 3pcprendvds2 14237 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  ( N  /  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) ) )
51, 4sylan 471 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  ( N  /  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) ) )
63pczpre 14243 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)
76oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  N ) )  =  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) )
87oveq2d 6293 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( N  /  ( P ^ ( P  pCnt  N ) ) )  =  ( N  /  ( P ^ sup ( { n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
) ) )
98breq2d 4445 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  ||  ( N  /  ( P ^
( P  pCnt  N
) ) )  <->  P  ||  ( N  /  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
105, 9mtbird 301 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  ( N  /  ( P ^
( P  pCnt  N
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1802    =/= wne 2636   {crab 2795   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   supcsup 7898   RRcr 9489   0cc0 9490    < clt 9626    / cdiv 10207   2c2 10586   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   ^cexp 12140    || cdvds 13858   Primecprime 14089    pCnt cpc 14232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-dvds 13859  df-gcd 14017  df-prm 14090  df-pc 14233
This theorem is referenced by:  pcndvds2  14263  pcadd  14280
  Copyright terms: Public domain W3C validator