MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pczndvds2 Structured version   Unicode version

Theorem pczndvds2 13945
Description: The remainder after dividing out all factors of  P is not divisible by  P. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pczndvds2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  ( N  /  ( P ^
( P  pCnt  N
) ) ) )

Proof of Theorem pczndvds2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 13793 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  =  {
n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N }
3 eqid 2443 . . . 4  |-  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  )
42, 3pcprendvds2 13920 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  ( N  /  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) ) )
51, 4sylan 471 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  ( N  /  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) ) )
63pczpre 13926 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)
76oveq2d 6119 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  N ) )  =  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) )
87oveq2d 6119 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( N  /  ( P ^ ( P  pCnt  N ) ) )  =  ( N  /  ( P ^ sup ( { n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
) ) )
98breq2d 4316 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  ||  ( N  /  ( P ^
( P  pCnt  N
) ) )  <->  P  ||  ( N  /  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
105, 9mtbird 301 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  P  ||  ( N  /  ( P ^
( P  pCnt  N
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   {crab 2731   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   supcsup 7702   RRcr 9293   0cc0 9294    < clt 9430    / cdiv 10005   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   ^cexp 11877    || cdivides 13547   Primecprime 13775    pCnt cpc 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-pc 13916
This theorem is referenced by:  pcndvds2  13946  pcadd  13963
  Copyright terms: Public domain W3C validator