MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pczdvds Structured version   Unicode version

Theorem pczdvds 13928
Description: Defining property of the prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pczdvds  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  N ) ) 
||  N )

Proof of Theorem pczdvds
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . 4  |-  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  )
21pczpre 13913 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)
32oveq2d 6106 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  N ) )  =  ( P ^ sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  N } ,  RR ,  <  ) ) )
4 prmuz2 13780 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5 eqid 2442 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  =  {
n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N }
65, 1pcprecl 13905 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( sup ( { n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  NN0  /\  ( P ^ sup ( { n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)  ||  N )
)
76simprd 463 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)  ||  N )
84, 7sylan 471 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N } ,  RR ,  <  )
)  ||  N )
93, 8eqbrtrd 4311 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  N ) ) 
||  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   {crab 2718   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   supcsup 7689   RRcr 9280   0cc0 9281    < clt 9417   2c2 10370   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ^cexp 11864    || cdivides 13534   Primecprime 13762    pCnt cpc 13902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-dvds 13535  df-gcd 13690  df-prm 13763  df-pc 13903
This theorem is referenced by:  pcdvds  13929  pcdvdsb  13934  pcdvdstr  13941  pcgcd1  13942  pcadd  13950
  Copyright terms: Public domain W3C validator