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Theorem pcz 14058
Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcz  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  e.  ZZ  <->  A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )
) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem pcz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcge0 14039 . . . 4  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( p  pCnt  A
) )
21ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  Prime )  -> 
0  <_  ( p  pCnt  A ) )
32ralrimiva 2825 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )
)
4 elq 11059 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
5 nnz 10772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
6 dvds0 13659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  ||  0 )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  ||  0 )
87ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  y  ||  0 )
9 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  x  = 
0 )
108, 9breqtrrd 4419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  y  ||  x )
1110a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  ->  y  ||  x ) )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
13 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  x  e.  ZZ )
14 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  x  =/=  0 )
15 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  y  e.  NN )
16 pcdiv 14030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( p  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( p  pCnt  x )  -  ( p  pCnt  y ) ) )
1712, 13, 14, 15, 16syl121anc 1224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( x  /  y ) )  =  ( ( p 
pCnt  x )  -  (
p  pCnt  y )
) )
1817breq2d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y
) )  <->  0  <_  ( ( p  pCnt  x
)  -  ( p 
pCnt  y ) ) ) )
19 pczcl 14026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  x )  e.  NN0 )
2012, 13, 14, 19syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  x )  e.  NN0 )
2120nn0red 10741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  x )  e.  RR )
2212, 15pccld 14028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  y )  e.  NN0 )
2322nn0red 10741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  y )  e.  RR )
2421, 23subge0d 10033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
0  <_  ( (
p  pCnt  x )  -  ( p  pCnt  y ) )  <->  ( p  pCnt  y )  <_  (
p  pCnt  x )
) )
2518, 24bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y
) )  <->  ( p  pCnt  y )  <_  (
p  pCnt  x )
) )
2625ralbidva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
27 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  ZZ )
28 pc2dvds 14056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  ||  x  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
295, 27, 28syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  x  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( y  ||  x  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
3126, 30bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  <->  y  ||  x
) )
3231biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  ->  y  ||  x ) )
3311, 32pm2.61dane 2766 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. p  e. 
Prime  0  <_  ( p 
pCnt  ( x  / 
y ) )  -> 
y  ||  x )
)
345adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
35 nnne0 10458 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
3635adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  =/=  0 )
37 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  ZZ )
38 dvdsval2 13649 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  ||  x  <->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) )
3934, 36, 37, 38syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  x  <->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) )
4033, 39sylibd 214 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. p  e. 
Prime  0  <_  ( p 
pCnt  ( x  / 
y ) )  -> 
( x  /  y
)  e.  ZZ ) )
41 oveq2 6201 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
p  pCnt  A )  =  ( p  pCnt  ( x  /  y ) ) )
4241breq2d 4405 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
0  <_  ( p  pCnt  A )  <->  0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y ) ) ) )
4342ralbidv 2841 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  A )  <->  A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y ) ) ) )
44 eleq1 2523 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  e.  ZZ  <->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) )
4543, 44imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( A. p  e. 
Prime  0  <_  ( p 
pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ )  <->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  ->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) ) )
4640, 45syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ ) ) )
4746rexlimivv 2945 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ ) )
484, 47sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ ) )
493, 48impbid2 204 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  e.  ZZ  <->  A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   0cc0 9386    <_ cle 9523    - cmin 9699    / cdiv 10097   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   QQcq 11057    || cdivides 13646   Primecprime 13874    pCnt cpc 14014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-dvds 13647  df-gcd 13802  df-prm 13875  df-pc 14015
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  14067  qexpz  14074
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