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Theorem pcz 14613
Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcz  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  e.  ZZ  <->  A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )
) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem pcz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcge0 14594 . . . 4  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( p  pCnt  A
) )
21ancoms 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  Prime )  -> 
0  <_  ( p  pCnt  A ) )
32ralrimiva 2818 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )
)
4 elq 11229 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
5 nnz 10927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
6 dvds0 14208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  ||  0 )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  ||  0 )
87ad2antlr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  y  ||  0 )
9 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  x  = 
0 )
108, 9breqtrrd 4421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  y  ||  x )
1110a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  ->  y  ||  x ) )
12 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
13 simplll 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  x  e.  ZZ )
14 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  x  =/=  0 )
15 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  y  e.  NN )
16 pcdiv 14585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( p  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( p  pCnt  x )  -  ( p  pCnt  y ) ) )
1712, 13, 14, 15, 16syl121anc 1235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( x  /  y ) )  =  ( ( p 
pCnt  x )  -  (
p  pCnt  y )
) )
1817breq2d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y
) )  <->  0  <_  ( ( p  pCnt  x
)  -  ( p 
pCnt  y ) ) ) )
19 pczcl 14581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  x )  e.  NN0 )
2012, 13, 14, 19syl12anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  x )  e.  NN0 )
2120nn0red 10894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  x )  e.  RR )
2212, 15pccld 14583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  y )  e.  NN0 )
2322nn0red 10894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  y )  e.  RR )
2421, 23subge0d 10182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
0  <_  ( (
p  pCnt  x )  -  ( p  pCnt  y ) )  <->  ( p  pCnt  y )  <_  (
p  pCnt  x )
) )
2518, 24bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y
) )  <->  ( p  pCnt  y )  <_  (
p  pCnt  x )
) )
2625ralbidva 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
27 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  ZZ )
28 pc2dvds 14611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  ||  x  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
295, 27, 28syl2anr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  x  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
3029adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( y  ||  x  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
3126, 30bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  <->  y  ||  x
) )
3231biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  ->  y  ||  x ) )
3311, 32pm2.61dane 2721 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. p  e. 
Prime  0  <_  ( p 
pCnt  ( x  / 
y ) )  -> 
y  ||  x )
)
345adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
35 nnne0 10609 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
3635adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  =/=  0 )
37 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  ZZ )
38 dvdsval2 14198 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  ||  x  <->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) )
3934, 36, 37, 38syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  x  <->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) )
4033, 39sylibd 214 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. p  e. 
Prime  0  <_  ( p 
pCnt  ( x  / 
y ) )  -> 
( x  /  y
)  e.  ZZ ) )
41 oveq2 6286 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
p  pCnt  A )  =  ( p  pCnt  ( x  /  y ) ) )
4241breq2d 4407 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
0  <_  ( p  pCnt  A )  <->  0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y ) ) ) )
4342ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  A )  <->  A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y ) ) ) )
44 eleq1 2474 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  e.  ZZ  <->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) )
4543, 44imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( A. p  e. 
Prime  0  <_  ( p 
pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ )  <->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  ->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) ) )
4640, 45syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ ) ) )
4746rexlimivv 2901 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ ) )
484, 47sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ ) )
493, 48impbid2 204 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  e.  ZZ  <->  A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   0cc0 9522    <_ cle 9659    - cmin 9841    / cdiv 10247   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   QQcq 11227    || cdvds 14195   Primecprime 14426    pCnt cpc 14569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427  df-pc 14570
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  14622  qexpz  14629
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