MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcxcl Structured version   Unicode version

Theorem pcxcl 14243
Description: Extended real closure of the general prime count function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcxcl  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  N )  e. 
RR* )

Proof of Theorem pcxcl
StepHypRef Expression
1 pc0 14237 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = +oo )
2 pnfxr 11321 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
31, 2syl6eqel 2563 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  e. 
RR* )
43adantr 465 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  0 )  e. 
RR* )
5 oveq2 6292 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( P  pCnt  N )  =  ( P  pCnt  0
) )
65eleq1d 2536 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
( P  pCnt  N
)  e.  RR*  <->  ( P  pCnt  0 )  e.  RR* ) )
74, 6syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  QQ )  ->  ( N  =  0  ->  ( P  pCnt  N )  e.  RR* ) )
8 pcqcl 14239 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  e.  ZZ )
98zred 10966 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  e.  RR )
109rexrd 9643 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  e.  QQ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  N
)  e.  RR* )
1110expr 615 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  QQ )  ->  ( N  =/=  0  ->  ( P  pCnt  N )  e. 
RR* ) )
127, 11pm2.61dne 2784 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  N )  e. 
RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6284   0cc0 9492   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627   QQcq 11182   Primecprime 14076    pCnt cpc 14219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220
This theorem is referenced by:  pcdvdstr  14258  pcgcd1  14259  pcgcd  14260  pc2dvds  14261  pc11  14262  pcadd  14267  pcadd2  14268
  Copyright terms: Public domain W3C validator