MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcrec Structured version   Unicode version

Theorem pcrec 13944
Description: Prime power of a reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcrec  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
1  /  A ) )  =  -u ( P  pCnt  A ) )

Proof of Theorem pcrec
StepHypRef Expression
1 1z 10695 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2 zq 10978 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  1  e.  QQ
4 ax-1ne0 9370 . . . . 5  |-  1  =/=  0
53, 4pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 1  e.  QQ  /\  1  =/=  0 )
6 pcqdiv 13943 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
1  e.  QQ  /\  1  =/=  0 )  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( 1  /  A
) )  =  ( ( P  pCnt  1
)  -  ( P 
pCnt  A ) ) )
75, 6mp3an2 1302 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
1  /  A ) )  =  ( ( P  pCnt  1 )  -  ( P  pCnt  A ) ) )
8 pc1 13941 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  1
)  =  0 )
109oveq1d 6125 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( P  pCnt  1 )  -  ( P  pCnt  A ) )  =  ( 0  -  ( P  pCnt  A
) ) )
117, 10eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
1  /  A ) )  =  ( 0  -  ( P  pCnt  A ) ) )
12 df-neg 9617 . 2  |-  -u ( P  pCnt  A )  =  ( 0  -  ( P  pCnt  A ) )
1311, 12syl6eqr 2493 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
1  /  A ) )  =  -u ( P  pCnt  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620  (class class class)co 6110   0cc0 9301   1c1 9302    - cmin 9614   -ucneg 9615    / cdiv 10012   ZZcz 10665   QQcq 10972   Primecprime 13782    pCnt cpc 13922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-fl 11661  df-mod 11728  df-seq 11826  df-exp 11885  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-dvds 13555  df-gcd 13710  df-prm 13783  df-pc 13923
This theorem is referenced by:  pcexp  13945
  Copyright terms: Public domain W3C validator