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Theorem pcqmul 14790
Description: Multiplication property of the prime power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcqmul  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) ) )

Proof of Theorem pcqmul
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1031 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  A  e.  QQ )
2 elq 11266 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
31, 2sylib 199 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
4 simp3l 1033 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  e.  QQ )
5 elq 11266 . . 3  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
64, 5sylib 199 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
7 reeanv 2996 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
8 reeanv 2996 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  <->  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) ) )
9 simp2r 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  0 )
10 simp3r 1034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  =/=  0 )
119, 10jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )
1211ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
) )
13 simp1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  P  e.  Prime )
14 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
y  e.  NN )
1514nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
y  e.  CC )
1614nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
y  =/=  0 )
1715, 16div0d 10382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( 0  /  y
)  =  0 )
18 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  /  y )  =  ( 0  / 
y ) )
1918eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  /  y
)  =  0  <->  (
0  /  y )  =  0 ) )
2017, 19syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  =  0  ->  ( x  / 
y )  =  0 ) )
2120necon3d 2648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  =/=  0  ->  x  =/=  0 ) )
22 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  e.  NN )
2322nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  e.  CC )
2422nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  ->  w  =/=  0 )
2523, 24div0d 10382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( 0  /  w
)  =  0 )
26 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  0  ->  (
z  /  w )  =  ( 0  /  w ) )
2726eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  0  ->  (
( z  /  w
)  =  0  <->  (
0  /  w )  =  0 ) )
2825, 27syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( z  =  0  ->  ( z  /  w )  =  0 ) )
2928necon3d 2648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( z  /  w )  =/=  0  ->  z  =/=  0 ) )
30 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  P  e.  Prime )
31 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  x  e.  ZZ )
32 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
z  e.  ZZ )
3331, 32zmulcld 11046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( x  x.  z
)  e.  ZZ )
3431zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  x  e.  CC )
3532zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
z  e.  CC )
36 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  x  =/=  0 )
37 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
z  =/=  0 )
3834, 35, 36, 37mulne0d 10264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( x  x.  z
)  =/=  0 )
3914adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  e.  NN )
4022adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  e.  NN )
4139, 40nnmulcld 10657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( y  x.  w
)  e.  NN )
42 pcdiv 14789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( x  x.  z
)  e.  ZZ  /\  ( x  x.  z
)  =/=  0 )  /\  ( y  x.  w )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  x.  z ) )  -  ( P  pCnt  ( y  x.  w ) ) ) )
4330, 33, 38, 41, 42syl121anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  x.  z ) )  -  ( P  pCnt  ( y  x.  w ) ) ) )
44 pcmul 14788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( x  x.  z
) )  =  ( ( P  pCnt  x
)  +  ( P 
pCnt  z ) ) )
4530, 31, 36, 32, 37, 44syl122anc 1273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
x  x.  z ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  +  ( P  pCnt  z ) ) )
4639nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  e.  ZZ )
4716adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  =/=  0 )
4840nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  e.  ZZ )
4924adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  =/=  0 )
50 pcmul 14788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0 )  /\  ( w  e.  ZZ  /\  w  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( y  x.  w
) )  =  ( ( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  w ) ) )
5130, 46, 47, 48, 49, 50syl122anc 1273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
y  x.  w ) )  =  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  w ) ) )
5245, 51oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( x  x.  z ) )  -  ( P 
pCnt  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( ( P  pCnt  x )  +  ( P  pCnt  z ) )  -  (
( P  pCnt  y
)  +  ( P 
pCnt  w ) ) ) )
53 pczcl 14785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  x )  e.  NN0 )
5430, 31, 36, 53syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  NN0 )
5554nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  x
)  e.  CC )
56 pczcl 14785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  z )  e.  NN0 )
5730, 32, 37, 56syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  NN0 )
5857nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  z
)  e.  CC )
5930, 39pccld 14787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  NN0 )
6059nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  y
)  e.  CC )
6130, 40pccld 14787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  NN0 )
6261nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  w
)  e.  CC )
6355, 58, 60, 62addsub4d 10033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( ( P 
pCnt  x )  +  ( P  pCnt  z )
)  -  ( ( P  pCnt  y )  +  ( P  pCnt  w ) ) )  =  ( ( ( P 
pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) )  +  ( ( P 
pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) ) )
6443, 52, 633eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  x.  z
)  /  ( y  x.  w ) ) )  =  ( ( ( P  pCnt  x
)  -  ( P 
pCnt  y ) )  +  ( ( P 
pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) ) )
6515adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
y  e.  CC )
6623adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  ->  w  e.  CC )
6734, 65, 35, 66, 47, 49divmuldivd 10424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( x  / 
y )  x.  (
z  /  w ) )  =  ( ( x  x.  z )  /  ( y  x.  w ) ) )
6867oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  /  y
)  x.  ( z  /  w ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( x  x.  z )  / 
( y  x.  w
) ) ) )
69 pcdiv 14789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
7030, 31, 36, 39, 69syl121anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) ) )
71 pcdiv 14789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  z  =/=  0 )  /\  w  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
7230, 32, 37, 40, 71syl121anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
z  /  w ) )  =  ( ( P  pCnt  z )  -  ( P  pCnt  w ) ) )
7370, 72oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) )  =  ( ( ( P  pCnt  x )  -  ( P  pCnt  y ) )  +  ( ( P  pCnt  z
)  -  ( P 
pCnt  w ) ) ) )
7464, 68, 733eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  /\  ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0
) ) )  -> 
( P  pCnt  (
( x  /  y
)  x.  ( z  /  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P  pCnt  ( z  /  w ) ) ) )
7574expr 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  =/=  0  /\  z  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) )
7621, 29, 75syl2and 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( ( x  /  y )  =/=  0  /\  ( z  /  w )  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) )
77 neeq1 2705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  =/=  0  <->  ( x  /  y )  =/=  0 ) )
78 neeq1 2705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( B  =/=  0  <->  ( z  /  w )  =/=  0
) )
7977, 78bi2anan9 881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  <->  ( (
x  /  y )  =/=  0  /\  (
z  /  w )  =/=  0 ) ) )
80 oveq12 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  x.  B
)  =  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w ) ) )
8180oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( P 
pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) ) )
82 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( P  pCnt  A )  =  ( P  pCnt  (
x  /  y ) ) )
83 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( P  pCnt  B )  =  ( P  pCnt  (
z  /  w ) ) )
8482, 83oveqan12d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) )
8581, 84eqeq12d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) )  <->  ( P  pCnt  ( ( x  / 
y )  x.  (
z  /  w ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (
x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) )
8679, 85imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( ( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) ) )  <-> 
( ( ( x  /  y )  =/=  0  /\  ( z  /  w )  =/=  0 )  ->  ( P  pCnt  ( ( x  /  y )  x.  ( z  /  w
) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( x  /  y ) )  +  ( P 
pCnt  ( z  /  w ) ) ) ) ) )
8776, 86syl5ibrcom 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  (
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) ) )
8813, 87sylanl1 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  (
( A  =/=  0  /\  B  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) ) )
8912, 88mpid 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
9089rexlimdvva 2924 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  ( E. y  e.  NN  E. w  e.  NN  ( A  =  ( x  /  y
)  /\  B  =  ( z  /  w
) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B ) )  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
918, 90syl5bir 221 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  ( ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) ) ) )
9291rexlimdvva 2924 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( E. x  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  ( E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
937, 92syl5bir 221 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( P  pCnt  ( A  x.  B
) )  =  ( ( P  pCnt  A
)  +  ( P 
pCnt  B ) ) ) )
943, 6, 93mp2and 683 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  ( A  x.  B )
)  =  ( ( P  pCnt  A )  +  ( P  pCnt  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   E.wrex 2776  (class class class)co 6301   CCcc 9537   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   QQcq 11264   Primecprime 14609    pCnt cpc 14773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-dvds 14293  df-gcd 14456  df-prm 14610  df-pc 14774
This theorem is referenced by:  pcqdiv  14794  pcexp  14796  pcaddlem  14820  sylow1lem1  17237  padicabv  24454
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