Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpremul Structured version   Unicode version

Theorem pcpremul 14576
 Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of is essential for this property; but . Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcpremul.1
pcpremul.2
pcpremul.3
Assertion
Ref Expression
pcpremul
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem pcpremul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 14444 . . . . . . 7
213ad2ant1 1018 . . . . . 6
3 zmulcl 10953 . . . . . . . 8
43ad2ant2r 745 . . . . . . 7
543adant1 1015 . . . . . 6
6 zcn 10910 . . . . . . . . 9
76anim1i 566 . . . . . . . 8
8 zcn 10910 . . . . . . . . 9
98anim1i 566 . . . . . . . 8
10 mulne0 10232 . . . . . . . 8
117, 9, 10syl2an 475 . . . . . . 7
12113adant1 1015 . . . . . 6
13 eqid 2402 . . . . . . 7
1413pclem 14571 . . . . . 6
152, 5, 12, 14syl12anc 1228 . . . . 5
1615simp1d 1009 . . . 4
1715simp3d 1011 . . . 4
18 simp2l 1023 . . . . . . . . 9
19 simp2r 1024 . . . . . . . . 9
20 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
21 pcpremul.1 . . . . . . . . . 10
2220, 21pcprecl 14572 . . . . . . . . 9
232, 18, 19, 22syl12anc 1228 . . . . . . . 8
2423simpld 457 . . . . . . 7
25 simp3l 1025 . . . . . . . . 9
26 simp3r 1026 . . . . . . . . 9
27 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
28 pcpremul.2 . . . . . . . . . 10
2927, 28pcprecl 14572 . . . . . . . . 9
302, 25, 26, 29syl12anc 1228 . . . . . . . 8
3130simpld 457 . . . . . . 7
3224, 31nn0addcld 10897 . . . . . 6
33 prmnn 14429 . . . . . . . . . . 11
34333ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10
3534nncnd 10592 . . . . . . . . 9
3635, 31, 24expaddd 12356 . . . . . . . 8
3723simprd 461 . . . . . . . . 9
3834, 24nnexpcld 12375 . . . . . . . . . . 11
3938nnzd 11007 . . . . . . . . . 10
4034, 31nnexpcld 12375 . . . . . . . . . . 11
4140nnzd 11007 . . . . . . . . . 10
42 dvdsmulc 14220 . . . . . . . . . 10
4339, 18, 41, 42syl3anc 1230 . . . . . . . . 9
4437, 43mpd 15 . . . . . . . 8
4536, 44eqbrtrd 4415 . . . . . . 7
4630simprd 461 . . . . . . . 8
47 dvdscmul 14219 . . . . . . . . 9
4841, 25, 18, 47syl3anc 1230 . . . . . . . 8
4946, 48mpd 15 . . . . . . 7
5034, 32nnexpcld 12375 . . . . . . . . 9
5150nnzd 11007 . . . . . . . 8
5218, 41zmulcld 11014 . . . . . . . 8
53 dvdstr 14227 . . . . . . . 8
5451, 52, 5, 53syl3anc 1230 . . . . . . 7
5545, 49, 54mp2and 677 . . . . . 6
56 oveq2 6286 . . . . . . . 8
5756breq1d 4405 . . . . . . 7
5857elrab 3207 . . . . . 6
5932, 55, 58sylanbrc 662 . . . . 5
60 oveq2 6286 . . . . . . 7
6160breq1d 4405 . . . . . 6
6261cbvrabv 3058 . . . . 5
6359, 62syl6eleq 2500 . . . 4
64 suprzub 11218 . . . 4
6516, 17, 63, 64syl3anc 1230 . . 3
66 pcpremul.3 . . 3
6765, 66syl6breqr 4435 . 2
6820, 21pcprendvds2 14574 . . . . . 6
692, 18, 19, 68syl12anc 1228 . . . . 5
7027, 28pcprendvds2 14574 . . . . . 6
712, 25, 26, 70syl12anc 1228 . . . . 5
72 ioran 488 . . . . 5
7369, 71, 72sylanbrc 662 . . . 4
74 simp1 997 . . . . 5
7538nnne0d 10621 . . . . . . 7
76 dvdsval2 14198 . . . . . . 7
7739, 75, 18, 76syl3anc 1230 . . . . . 6
7837, 77mpbid 210 . . . . 5
7940nnne0d 10621 . . . . . . 7
80 dvdsval2 14198 . . . . . . 7
8141, 79, 25, 80syl3anc 1230 . . . . . 6
8246, 81mpbid 210 . . . . 5
83 euclemma 14458 . . . . 5
8474, 78, 82, 83syl3anc 1230 . . . 4
8573, 84mtbird 299 . . 3
8613, 66pcprecl 14572 . . . . . . 7
872, 5, 12, 86syl12anc 1228 . . . . . 6
8887simpld 457 . . . . 5
89 nn0ltp1le 10962 . . . . 5
9032, 88, 89syl2anc 659 . . . 4
9134nnzd 11007 . . . . . . 7
92 peano2nn0 10877 . . . . . . . 8
9332, 92syl 17 . . . . . . 7
94 dvdsexp 14251 . . . . . . . 8
95943expia 1199 . . . . . . 7
9691, 93, 95syl2anc 659 . . . . . 6
9787simprd 461 . . . . . . 7
9834, 93nnexpcld 12375 . . . . . . . . 9
9998nnzd 11007 . . . . . . . 8
10034, 88nnexpcld 12375 . . . . . . . . 9
101100nnzd 11007 . . . . . . . 8
102 dvdstr 14227 . . . . . . . 8
10399, 101, 5, 102syl3anc 1230 . . . . . . 7
10497, 103mpan2d 672 . . . . . 6
10596, 104syld 42 . . . . 5
10693nn0zd 11006 . . . . . 6
10788nn0zd 11006 . . . . . 6
108 eluz 11140 . . . . . 6
109106, 107, 108syl2anc 659 . . . . 5
11035, 32expp1d 12355 . . . . . . 7
11118zcnd 11009 . . . . . . . . . 10
11225zcnd 11009 . . . . . . . . . 10
113111, 112mulcld 9646 . . . . . . . . 9
11450nncnd 10592 . . . . . . . . 9
11550nnne0d 10621 . . . . . . . . 9
116113, 114, 115divcan2d 10363 . . . . . . . 8
11736oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10
11838nncnd 10592 . . . . . . . . . . 11
11940nncnd 10592 . . . . . . . . . . 11
120111, 118, 112, 119, 75, 79divmuldivd 10402 . . . . . . . . . 10
121117, 120eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9
122121oveq2d 6294 . . . . . . . 8
123116, 122eqtr3d 2445 . . . . . . 7
124110, 123breq12d 4408 . . . . . 6
12578, 82zmulcld 11014 . . . . . . 7
126 dvdscmulr 14221 . . . . . . 7
12791, 125, 51, 115, 126syl112anc 1234 . . . . . 6
128124, 127bitrd 253 . . . . 5
129105, 109, 1283imtr3d 267 . . . 4
13090, 129sylbid 215 . . 3
13185, 130mtod 177 . 2
13232nn0red 10894 . . 3
13388nn0red 10894 . . 3
134132, 133eqleltd 9761 . 2
13567, 131, 134mpbir2and 923 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2754  wrex 2755  crab 2758   wss 3414  c0 3738   class class class wbr 4395  cfv 5569  (class class class)co 6278  csup 7934  cc 9520  cr 9521  cc0 9522  c1 9523   caddc 9525   cmul 9527   clt 9658   cle 9659   cdiv 10247  cn 10576  c2 10626  cn0 10836  cz 10905  cuz 11127  cexp 12210   cdvds 14195  cprime 14426 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427 This theorem is referenced by:  pceulem  14578  pcmul  14584
 Copyright terms: Public domain W3C validator