MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprecl Structured version   Unicode version

Theorem pcprecl 14211
Description: Closure of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
pclem.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
pcprecl  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S
)  ||  N )
)
Distinct variable groups:    n, N    P, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)

Proof of Theorem pcprecl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclem.2 . . 3  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
2 pclem.1 . . . . 5  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
32pclem 14210 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  A  z  <_  y ) )
4 suprzcl2 11161 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. y  e.  ZZ  A. z  e.  A  z  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A
)
61, 5syl5eqel 2552 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  S  e.  A )
7 oveq2 6283 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ S
) )
87breq1d 4450 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  (
( P ^ x
)  ||  N  <->  ( P ^ S )  ||  N
) )
9 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( n  =  x  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ x
) )
109breq1d 4450 . . . . 5  |-  ( n  =  x  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ x )  ||  N ) )
1110cbvrabv 3105 . . . 4  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  =  {
x  e.  NN0  | 
( P ^ x
)  ||  N }
122, 11eqtri 2489 . . 3  |-  A  =  { x  e.  NN0  |  ( P ^ x
)  ||  N }
138, 12elrab2 3256 . 2  |-  ( S  e.  A  <->  ( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S )  ||  N ) )
146, 13sylib 196 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S
)  ||  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3469   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   supcsup 7889   RRcr 9480   0cc0 9481    < clt 9617    <_ cle 9618   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   ^cexp 12122    || cdivides 13836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837
This theorem is referenced by:  pcprendvds  14212  pcprendvds2  14213  pcpre1  14214  pcpremul  14215  pceulem  14217  pczpre  14219  pczcl  14220  pczdvds  14234
  Copyright terms: Public domain W3C validator