MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpre1 Structured version   Unicode version

Theorem pcpre1 14225
Description: Value of the prime power pre-function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
pclem.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
pcpre1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  =  0 )
Distinct variable groups:    n, N    P, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)

Proof of Theorem pcpre1
StepHypRef Expression
1 1z 10894 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
2 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( N  e.  ZZ  <->  1  e.  ZZ ) )
31, 2mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  N  e.  ZZ )
4 ax-1ne0 9561 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
5 neeq1 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =/=  0  <->  1  =/=  0 ) )
64, 5mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  N  =/=  0 )
73, 6jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )
8 pclem.1 . . . . . . . . 9  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
9 pclem.2 . . . . . . . . 9  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
108, 9pcprecl 14222 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S
)  ||  N )
)
117, 10sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S
)  ||  N )
)
1211simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  ||  N )
13 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  N  =  1 )
1412, 13breqtrd 4471 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  ||  1 )
15 eluz2b2 11154 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
1615simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
1716adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  P  e.  NN )
1811simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  e.  NN0 )
1917, 18nnexpcld 12299 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  e.  NN )
2019nnzd 10965 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  e.  ZZ )
21 1nn 10547 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
22 dvdsle 13890 . . . . . 6  |-  ( ( ( P ^ S
)  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( P ^ S )  ||  1  ->  ( P ^ S
)  <_  1 ) )
2320, 21, 22sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( ( P ^ S )  ||  1  ->  ( P ^ S
)  <_  1 ) )
2414, 23mpd 15 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  <_  1 )
2517nncnd 10552 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  P  e.  CC )
2625exp0d 12272 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
2724, 26breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( P ^ S
)  <_  ( P ^ 0 ) )
2817nnred 10551 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  P  e.  RR )
2918nn0zd 10964 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  e.  ZZ )
30 0zd 10876 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
0  e.  ZZ )
3115simprbi 464 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
1  <  P )
3328, 29, 30, 32leexp2d 12308 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( S  <_  0  <->  ( P ^ S )  <_  ( P ^
0 ) ) )
3427, 33mpbird 232 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  <_  0 )
3510simpld 459 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  S  e.  NN0 )
367, 35sylan2 474 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  e.  NN0 )
37 nn0le0eq0 10824 . . 3  |-  ( S  e.  NN0  ->  ( S  <_  0  <->  S  = 
0 ) )
3836, 37syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  -> 
( S  <_  0  <->  S  =  0 ) )
3934, 38mpbid 210 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  =  1 )  ->  S  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supcsup 7900   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    < clt 9628    <_ cle 9629   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ^cexp 12134    || cdivides 13847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848
This theorem is referenced by:  pczpre  14230  pc1  14238
  Copyright terms: Public domain W3C validator