MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoval1 Structured version   Unicode version

Theorem pcoval1 21803
Description: Evaluate the concatenation of two paths on the first half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
pcoval1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  X )  =  ( F `  ( 2  x.  X
) ) )

Proof of Theorem pcoval1
StepHypRef Expression
1 0re 9625 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 1re 9624 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 0le0 10665 . . . . 5  |-  0  <_  0
4 halfre 10794 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
5 halflt1 10797 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <  1
64, 2, 5ltleii 9738 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
7 iccss 11644 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
0  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )  -> 
( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  ( 0 [,] 1 ) )
81, 2, 3, 6, 7mp4an 671 . . . 4  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  ( 0 [,] 1
)
98sseli 3437 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  e.  ( 0 [,] 1
) )
10 pcoval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
11 pcoval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
1210, 11pcovalg 21802 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  X )  =  if ( X  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  X ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  X )  -  1 ) ) ) )
139, 12sylan2 472 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  X )  =  if ( X  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  X ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  X )  -  1 ) ) ) )
14 elii1 21725 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( X  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  X  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1514simprbi 462 . . . 4  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  X  <_  ( 1  /  2
) )
1615iftrued 3892 . . 3  |-  ( X  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  if ( X  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  X ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  X )  - 
1 ) ) )  =  ( F `  ( 2  x.  X
) ) )
1716adantl 464 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  if ( X  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  X ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  X )  - 
1 ) ) )  =  ( F `  ( 2  x.  X
) ) )
1813, 17eqtrd 2443 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  X )  =  ( F `  ( 2  x.  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   ifcif 3884   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    x. cmul 9526    <_ cle 9658    - cmin 9840    / cdiv 10246   2c2 10625   [,]cicc 11584    Cn ccn 20016   IIcii 21669   *pcpco 21790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-2 10634  df-icc 11588  df-top 19689  df-topon 19692  df-cn 20019  df-pco 21795
This theorem is referenced by:  pco0  21804  pcoass  21814  pcorevlem  21816
  Copyright terms: Public domain W3C validator