Theorem pcorevlem 21820

Description: Lemma for pcorev 21821. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcorev.1	|- G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
pcorev.2	|- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } )
pcorevlem.3	|- H = ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pcorevlem	|- ( F e. ( II Cn J ) -> ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) /\ ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P ) )

Distinct variable groups:   t, s, x, F   G, s, t   J, s, t, x   P, s, t, x

Allowed substitution hints:   G( x)   H( x, t, s)

Proof of Theorem pcorevlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . . . 5 |- G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
2		iitopon 21677	. . . . . . 7 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
4		iirevcn 21724	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - x ) ) e. ( II Cn II )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - x ) ) e. ( II Cn II ) )
6		id 23	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F e. ( II Cn J ) )
7	3, 5, 6	cnmpt11f 20459	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) ) e. ( II Cn J ) )
8	1, 7	syl5eqel 2496	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> G e. ( II Cn J ) )
9		1elunit 11695	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
10		oveq2 6288	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( 1 - x ) = ( 1 - 1 ) )
11		1m1e0 10647	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
12	10, 11	syl6eq 2461	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( 1 - x ) = 0 )
13	12	fveq2d 5855	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` 0 ) )
14		fvex 5861	. . . . . 6 |- ( F ` 0 ) e. _V
15	13, 1, 14	fvmpt 5934	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
16	9, 15	mp1i 13	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
17	8, 6, 16	pcocn 21811	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
18		cntop2 20037	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. Top )
19		eqid 2404	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
20	19	toptopon 19728	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
21	18, 20	sylib 198	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
22		iiuni 21679	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
23	22, 19	cnf 20042	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
24		ffvelrn 6009	. . . . . 6 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
25	23, 9, 24	sylancl 662	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
26		pcorev.2	. . . . . 6 |- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } )
27	26	pcoptcl 21815	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( F ` 1 ) e. U. J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) )
28	21, 25, 27	syl2anc 661	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) )
29	28	simp1d 1011	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> P e. ( II Cn J ) )
30		pcorevlem.3	. . . 4 |- H = ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
31		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
32		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
33		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
34		dfii2 21680	. . . . . 6 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
35		0red 9629	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> 0 e. RR )
36		1red 9643	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> 1 e. RR )
37		halfre 10797	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. RR
38		0re 9628	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
39		halfgt0 10799	. . . . . . . . 9 |- 0 < ( 1 / 2 )
40	38, 37, 39	ltleii 9741	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
41		1re 9627	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
42		halflt1 10800	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) < 1
43	37, 41, 42	ltleii 9741	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
44	38, 41	elicc2i 11646	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
45	37, 40, 43, 44	mpbir3an 1181	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
46	45	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
47		simprl 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> s = ( 1 / 2 ) )
48	47	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
49		2cn 10649	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
50		2ne0 10671	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
51	49, 50	recidi 10318	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
52	48, 51	syl6eq 2461	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = 1 )
53	52	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
54	53, 11	syl6eq 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = 0 )
55	54	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - 0 ) )
56		1m0e1 10689	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 0 ) = 1
57	55, 56	syl6eq 2461	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = 1 )
58	52, 57	eqtr4d 2448	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
59	58	oveq2d 6296	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
60	59	oveq2d 6296	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
61		retopon 21564	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
62		iccssre 11662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
63	38, 37, 62	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
64		resttopon 19957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
65	61, 63, 64	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
67	66, 3	cnmpt2nd 20464	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
68		oveq2 6288	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( 1 - x ) = ( 1 - t ) )
69	66, 3, 67, 3, 5, 68	cnmpt21 20466	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
70	66, 3	cnmpt1st 20463	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> s ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
71	32	iihalf1cn 21726	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
73		oveq2 6288	. . . . . . . . 9 |- ( x = s -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
74	66, 3, 70, 66, 72, 73	cnmpt21 20466	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. s ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
75		iimulcn 21732	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x x. y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II )
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x x. y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
77		oveq12 6289	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 1 - t ) /\ y = ( 2 x. s ) ) -> ( x x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) )
78	66, 3, 69, 74, 3, 3, 76, 77	cnmpt22 20469	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
79		oveq2 6288	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
80	66, 3, 78, 3, 5, 79	cnmpt21 20466	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
81		iccssre 11662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
82	37, 41, 81	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
83		resttopon 19957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
84	61, 82, 83	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
86	85, 3	cnmpt2nd 20464	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
87	85, 3, 86, 3, 5, 68	cnmpt21 20466	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
88	85, 3	cnmpt1st 20463	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> s ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
89	33	iihalf2cn 21728	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
91	73	oveq1d 6295	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
92	85, 3, 88, 85, 90, 91	cnmpt21 20466	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
93		oveq2 6288	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( 2 x. s ) - 1 ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
94	85, 3, 92, 3, 5, 93	cnmpt21 20466	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
95		oveq12 6289	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 1 - t ) /\ y = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) -> ( x x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
96	85, 3, 87, 94, 3, 3, 76, 95	cnmpt22 20469	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
97		oveq2 6288	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
98	85, 3, 96, 3, 5, 97	cnmpt21 20466	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
99	31, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 3, 60, 80, 98	cnmpt2pc 21722	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
100	3, 3, 99, 6	cnmpt21f 20467	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
101	30, 100	syl5eqel 2496	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> H e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
102		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> y e. ( 0 [,] 1 ) )
103		0elunit 11694	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
104		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> s = y )
105	104	breq1d 4407	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
106		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> t = 0 )
107	106	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
108	107, 56	syl6eq 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - t ) = 1 )
109	104	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. y ) )
110	108, 109	oveq12d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( 1 x. ( 2 x. y ) ) )
111	110	oveq2d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
112	109	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
113	112	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
114	108, 113	oveq12d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
115	114	oveq2d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
116	105, 111, 115	ifbieq12d 3914	. . . . . . 7 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
117	116	fveq2d 5855	. . . . . 6 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
118		fvex 5861	. . . . . 6 |- ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. _V
119	117, 30, 118	ovmpt2a 6416	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
120	102, 103, 119	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
121		iftrue 3893	. . . . . . . 8 |- ( y <_ ( 1 / 2 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
122	121	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
123	122	fveq2d 5855	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
124		elii1 21729	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) )
125	8, 6	pcoval1 21807	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( G ` ( 2 x. y ) ) )
126		iihalf1 21725	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) )
127	126	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) )
128		oveq2 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 2 x. y ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( 2 x. y ) ) )
129	128	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 2 x. y ) -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
130		fvex 5861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) e. _V
131	129, 1, 130	fvmpt 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
132		unitssre 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
133	132	sseli 3440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. RR )
134	133	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
135	134	mulid2d 9646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 x. ( 2 x. y ) ) = ( 2 x. y ) )
136	135	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. y ) ) )
137	136	fveq2d 5855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
138	131, 137	eqtr4d 2448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
139	127, 138	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
140	125, 139	eqtrd 2445	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
141	124, 140	sylan2br 476	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
142	141	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
143	123, 142	eqtr4d 2448	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
144		iffalse 3896	. . . . . . . 8 |- ( -. y <_ ( 1 / 2 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
145	144	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
146	145	fveq2d 5855	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
147		elii2 21730	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
148	8, 6, 16	pcoval2 21810	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
149		iihalf2 21727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
150	149	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
151		ax-1cn 9582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
152	132	sseli 3440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. RR )
153	152	recnd 9654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
154		subcl 9857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
155	151, 153, 154	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
156	155	mulid2d 9646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
157	156	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
158		nncan 9886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
159	151, 153, 158	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
160	157, 159	eqtr2d 2446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
161	150, 160	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
162	161	fveq2d 5855	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( F ` ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
163	148, 162	eqtrd 2445	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
164	147, 163	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
165	164	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
166	146, 165	eqtr4d 2448	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
167	143, 166	pm2.61dan 794	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
168	120, 167	eqtrd 2445	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
169	132	sseli 3440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. RR )
170	169	recnd 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. CC )
171		mulcl 9608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
172	49, 170, 171	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
173	172	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
174	173	mul02d 9814	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 x. ( 2 x. y ) ) = 0 )
175	174	oveq2d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) = ( 1 - 0 ) )
176	175, 56	syl6eq 2461	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) = 1 )
177		subcl 9857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
178	173, 151, 177	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
179	151, 178, 154	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
180	179	mul02d 9814	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = 0 )
181	180	oveq2d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - 0 ) )
182	181, 56	syl6eq 2461	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = 1 )
183	176, 182	ifeq12d 3907	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 1 , 1 ) )
184		ifid 3924	. . . . . 6 |- if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 1 , 1 ) = 1
185	183, 184	syl6eq 2461	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = 1 )
186	185	fveq2d 5855	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` 1 ) )
187		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> s = y )
188	187	breq1d 4407	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
189		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> t = 1 )
190	189	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - 1 ) )
191	190, 11	syl6eq 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - t ) = 0 )
192	187	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. y ) )
193	191, 192	oveq12d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( 0 x. ( 2 x. y ) ) )
194	193	oveq2d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) )
195	192	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
196	195	oveq2d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
197	191, 196	oveq12d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
198	197	oveq2d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
199	188, 194, 198	ifbieq12d 3914	. . . . . . 7 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
200	199	fveq2d 5855	. . . . . 6 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
201		fvex 5861	. . . . . 6 |- ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. _V
202	200, 30, 201	ovmpt2a 6416	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
203	102, 9, 202	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
204	26	fveq1i 5852	. . . . 5 |- ( P ` y ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y )
205		fvex 5861	. . . . . . 7 |- ( F ` 1 ) e. _V
206	205	fvconst2 6109	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y ) = ( F ` 1 ) )
207	206	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y ) = ( F ` 1 ) )
208	204, 207	syl5eq 2457	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( P ` y ) = ( F ` 1 ) )
209	186, 203, 208	3eqtr4d 2455	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( P ` y ) )
210		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> s = 0 )
211	210, 40	syl6eqbr 4434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> s <_ ( 1 / 2 ) )
212	211	iftrued 3895	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
213		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> t = y )
214	213	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - y ) )
215	210	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. 0 ) )
216		2t0e0 10734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 0 ) = 0
217	215, 216	syl6eq 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = 0 )
218	214, 217	oveq12d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( ( 1 - y ) x. 0 ) )
219	218	oveq2d 6296	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
220	212, 219	eqtrd 2445	. . . . . . . 8 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
221	220	fveq2d 5855	. . . . . . 7 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
222		fvex 5861	. . . . . . 7 |- ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) e. _V
223	221, 30, 222	ovmpt2a 6416	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
224	103, 223	mpan 670	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
225		subcl 9857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 - y ) e. CC )
226	151, 170, 225	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - y ) e. CC )
227	226	mul01d 9815	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - y ) x. 0 ) = 0 )
228	227	oveq2d 6296	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) = ( 1 - 0 ) )
229	228, 56	syl6eq 2461	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) = 1 )
230	229	fveq2d 5855	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) = ( F ` 1 ) )
231	224, 230	eqtrd 2445	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 H y ) = ( F ` 1 ) )
232	8, 6	pco0 21808	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( G ` 0 ) )
233		oveq2 6288	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( 1 - x ) = ( 1 - 0 ) )
234	233, 56	syl6eq 2461	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( 1 - x ) = 1 )
235	234	fveq2d 5855	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` 1 ) )
236	235, 1, 205	fvmpt 5934	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
237	103, 236	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( G ` 0 ) = ( F ` 1 )
238	232, 237	syl6req 2462	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
239	231, 238	sylan9eqr 2467	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H y ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
240	37, 41	ltnlei 9739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
241	42, 240	mpbi 210	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
242		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> s = 1 )
243	242	breq1d 4407	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
244	241, 243	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> -. s <_ ( 1 / 2 ) )
245	244	iffalsed 3898	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
246		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> t = y )
247	246	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - y ) )
248	242	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. 1 ) )
249		2t1e2 10727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 1 ) = 2
250	248, 249	syl6eq 2461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = 2 )
251	250	oveq1d 6295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
252		2m1e1 10693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
253	251, 252	syl6eq 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = 1 )
254	253	oveq2d 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - 1 ) )
255	254, 11	syl6eq 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = 0 )
256	247, 255	oveq12d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( ( 1 - y ) x. 0 ) )
257	256	oveq2d 6296	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
258	245, 257	eqtrd 2445	. . . . . . . 8 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
259	258	fveq2d 5855	. . . . . . 7 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
260	259, 30, 222	ovmpt2a 6416	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
261	9, 260	mpan 670	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
262	261, 230	eqtrd 2445	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 H y ) = ( F ` 1 ) )
263	8, 6	pco1 21809	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
264	263	eqcomd 2412	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
265	262, 264	sylan9eqr 2467	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H y ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
266	17, 29, 101, 168, 209, 239, 265	isphtpy2d 21781	. 2 |- ( F e. ( II Cn J ) -> H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) )
267		ne0i 3746	. . . 4 |- ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) )
268	266, 267	syl 17	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) )
269		isphtpc 21788	. . 3 |- ( ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P <-> ( ( G ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) /\ P e. ( II Cn J ) /\ ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) ) )
270	17, 29, 268, 269	syl3anbrc 1183	. 2 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P )
271	266, 270	jca 532	1 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) /\ ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   e. wcel 1844   =/= wne 2600   C_ wss 3416   (/)c0 3740   ifcif 3887   {csn 3974   U.cuni 4193   class class class wbr 4397   |-> cmpt 4455   X. cxp 4823   ran crn 4826   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   |-> cmpt2 6282   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525   x. cmul 9529   < clt 9660   <_ cle 9661   - cmin 9843   / cdiv 10249   2c2 10628   (,)cioo 11584   [,]cicc 11587   ↾_t crest 15037   topGenctg 15054   Topctop 19688  TopOnctopon 19689   Cn ccn 20020   tX ctx 20355   IIcii 21673   PHtpycphtpy 21762   ~=ph cphtpc 21763   *pcpco 21794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-mulf 9604

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-ii 21675  df-htpy 21764  df-phtpy 21765  df-phtpc 21786  df-pco 21799

This theorem is referenced by:  pcorev  21821