Theorem pcorevlem 21261

Description: Lemma for pcorev 21262. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcorev.1	|- G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
pcorev.2	|- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } )
pcorevlem.3	|- H = ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pcorevlem	|- ( F e. ( II Cn J ) -> ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) /\ ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P ) )

Distinct variable groups:   t, s, x, F   G, s, t   J, s, t, x   P, s, t, x

Allowed substitution hints:   G( x)   H( x, t, s)

Proof of Theorem pcorevlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . . . 5 |- G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
2		iitopon 21118	. . . . . . 7 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
4		iirevcn 21165	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - x ) ) e. ( II Cn II )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - x ) ) e. ( II Cn II ) )
6		id 22	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F e. ( II Cn J ) )
7	3, 5, 6	cnmpt11f 19900	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) ) e. ( II Cn J ) )
8	1, 7	syl5eqel 2559	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> G e. ( II Cn J ) )
9		1elunit 11635	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
10		oveq2 6290	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( 1 - x ) = ( 1 - 1 ) )
11		1m1e0 10600	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
12	10, 11	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( 1 - x ) = 0 )
13	12	fveq2d 5868	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` 0 ) )
14		fvex 5874	. . . . . 6 |- ( F ` 0 ) e. _V
15	13, 1, 14	fvmpt 5948	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
16	9, 15	mp1i 12	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
17	8, 6, 16	pcocn 21252	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
18		cntop2 19508	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. Top )
19		eqid 2467	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
20	19	toptopon 19201	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
21	18, 20	sylib 196	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
22		iiuni 21120	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
23	22, 19	cnf 19513	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
24		ffvelrn 6017	. . . . . 6 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
25	23, 9, 24	sylancl 662	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
26		pcorev.2	. . . . . 6 |- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } )
27	26	pcoptcl 21256	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( F ` 1 ) e. U. J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) )
28	21, 25, 27	syl2anc 661	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) )
29	28	simp1d 1008	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> P e. ( II Cn J ) )
30		pcorevlem.3	. . . 4 |- H = ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
31		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
32		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
33		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
34		dfii2 21121	. . . . . 6 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
35		0red 9593	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> 0 e. RR )
36		1red 9607	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> 1 e. RR )
37		halfre 10750	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. RR
38		0re 9592	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
39		halfgt0 10752	. . . . . . . . 9 |- 0 < ( 1 / 2 )
40	38, 37, 39	ltleii 9703	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
41		1re 9591	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
42		halflt1 10753	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) < 1
43	37, 41, 42	ltleii 9703	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
44	38, 41	elicc2i 11586	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
45	37, 40, 43, 44	mpbir3an 1178	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
46	45	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
47		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> s = ( 1 / 2 ) )
48	47	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
49		2cn 10602	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
50		2ne0 10624	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
51	49, 50	recidi 10271	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
52	48, 51	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = 1 )
53	52	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
54	53, 11	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = 0 )
55	54	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - 0 ) )
56		1m0e1 10642	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 0 ) = 1
57	55, 56	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = 1 )
58	52, 57	eqtr4d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
59	58	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
60	59	oveq2d 6298	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
61		retopon 21005	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
62		iccssre 11602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
63	38, 37, 62	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
64		resttopon 19428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
65	61, 63, 64	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
67	66, 3	cnmpt2nd 19905	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
68		oveq2 6290	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( 1 - x ) = ( 1 - t ) )
69	66, 3, 67, 3, 5, 68	cnmpt21 19907	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
70	66, 3	cnmpt1st 19904	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> s ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
71	32	iihalf1cn 21167	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
73		oveq2 6290	. . . . . . . . 9 |- ( x = s -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
74	66, 3, 70, 66, 72, 73	cnmpt21 19907	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. s ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
75		iimulcn 21173	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x x. y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II )
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x x. y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
77		oveq12 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 1 - t ) /\ y = ( 2 x. s ) ) -> ( x x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) )
78	66, 3, 69, 74, 3, 3, 76, 77	cnmpt22 19910	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
79		oveq2 6290	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
80	66, 3, 78, 3, 5, 79	cnmpt21 19907	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
81		iccssre 11602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
82	37, 41, 81	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
83		resttopon 19428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
84	61, 82, 83	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
86	85, 3	cnmpt2nd 19905	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
87	85, 3, 86, 3, 5, 68	cnmpt21 19907	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
88	85, 3	cnmpt1st 19904	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> s ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
89	33	iihalf2cn 21169	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
91	73	oveq1d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
92	85, 3, 88, 85, 90, 91	cnmpt21 19907	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
93		oveq2 6290	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( 2 x. s ) - 1 ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
94	85, 3, 92, 3, 5, 93	cnmpt21 19907	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
95		oveq12 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 1 - t ) /\ y = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) -> ( x x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
96	85, 3, 87, 94, 3, 3, 76, 95	cnmpt22 19910	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
97		oveq2 6290	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
98	85, 3, 96, 3, 5, 97	cnmpt21 19907	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
99	31, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 3, 60, 80, 98	cnmpt2pc 21163	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
100	3, 3, 99, 6	cnmpt21f 19908	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
101	30, 100	syl5eqel 2559	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> H e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
102		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> y e. ( 0 [,] 1 ) )
103		0elunit 11634	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
104		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> s = y )
105	104	breq1d 4457	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
106		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> t = 0 )
107	106	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
108	107, 56	syl6eq 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - t ) = 1 )
109	104	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. y ) )
110	108, 109	oveq12d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( 1 x. ( 2 x. y ) ) )
111	110	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
112	109	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
113	112	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
114	108, 113	oveq12d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
115	114	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
116	105, 111, 115	ifbieq12d 3966	. . . . . . 7 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
117	116	fveq2d 5868	. . . . . 6 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
118		fvex 5874	. . . . . 6 |- ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. _V
119	117, 30, 118	ovmpt2a 6415	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
120	102, 103, 119	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
121		iftrue 3945	. . . . . . . 8 |- ( y <_ ( 1 / 2 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
122	121	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
123	122	fveq2d 5868	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
124		elii1 21170	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) )
125	8, 6	pcoval1 21248	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( G ` ( 2 x. y ) ) )
126		iihalf1 21166	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) )
127	126	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) )
128		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 2 x. y ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( 2 x. y ) ) )
129	128	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 2 x. y ) -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
130		fvex 5874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) e. _V
131	129, 1, 130	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
132		unitssre 11663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
133	132	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. RR )
134	133	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
135	134	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 x. ( 2 x. y ) ) = ( 2 x. y ) )
136	135	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. y ) ) )
137	136	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
138	131, 137	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
139	127, 138	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
140	125, 139	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
141	124, 140	sylan2br 476	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
142	141	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
143	123, 142	eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
144		iffalse 3948	. . . . . . . 8 |- ( -. y <_ ( 1 / 2 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
145	144	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
146	145	fveq2d 5868	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
147		elii2 21171	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
148	8, 6, 16	pcoval2 21251	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
149		iihalf2 21168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
150	149	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
151		ax-1cn 9546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
152	132	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. RR )
153	152	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
154		subcl 9815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
155	151, 153, 154	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
156	155	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
157	156	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
158		nncan 9844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
159	151, 153, 158	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
160	157, 159	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
161	150, 160	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
162	161	fveq2d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( F ` ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
163	148, 162	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
164	147, 163	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
165	164	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
166	146, 165	eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
167	143, 166	pm2.61dan 789	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
168	120, 167	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
169	132	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. RR )
170	169	recnd 9618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. CC )
171		mulcl 9572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
172	49, 170, 171	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
173	172	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
174	173	mul02d 9773	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 x. ( 2 x. y ) ) = 0 )
175	174	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) = ( 1 - 0 ) )
176	175, 56	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) = 1 )
177		subcl 9815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
178	173, 151, 177	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
179	151, 178, 154	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
180	179	mul02d 9773	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = 0 )
181	180	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - 0 ) )
182	181, 56	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = 1 )
183	176, 182	ifeq12d 3959	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 1 , 1 ) )
184		ifid 3976	. . . . . 6 |- if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 1 , 1 ) = 1
185	183, 184	syl6eq 2524	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = 1 )
186	185	fveq2d 5868	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` 1 ) )
187		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> s = y )
188	187	breq1d 4457	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
189		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> t = 1 )
190	189	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - 1 ) )
191	190, 11	syl6eq 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - t ) = 0 )
192	187	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. y ) )
193	191, 192	oveq12d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( 0 x. ( 2 x. y ) ) )
194	193	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) )
195	192	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
196	195	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
197	191, 196	oveq12d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
198	197	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
199	188, 194, 198	ifbieq12d 3966	. . . . . . 7 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
200	199	fveq2d 5868	. . . . . 6 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
201		fvex 5874	. . . . . 6 |- ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. _V
202	200, 30, 201	ovmpt2a 6415	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
203	102, 9, 202	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
204	26	fveq1i 5865	. . . . 5 |- ( P ` y ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y )
205		fvex 5874	. . . . . . 7 |- ( F ` 1 ) e. _V
206	205	fvconst2 6114	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y ) = ( F ` 1 ) )
207	206	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y ) = ( F ` 1 ) )
208	204, 207	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( P ` y ) = ( F ` 1 ) )
209	186, 203, 208	3eqtr4d 2518	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( P ` y ) )
210		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> s = 0 )
211	210, 40	syl6eqbr 4484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> s <_ ( 1 / 2 ) )
212		iftrue 3945	. . . . . . . . . 10 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
213	211, 212	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
214		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> t = y )
215	214	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - y ) )
216	210	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. 0 ) )
217		2t0e0 10687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 0 ) = 0
218	216, 217	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = 0 )
219	215, 218	oveq12d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( ( 1 - y ) x. 0 ) )
220	219	oveq2d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
221	213, 220	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
222	221	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
223		fvex 5874	. . . . . . 7 |- ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) e. _V
224	222, 30, 223	ovmpt2a 6415	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
225	103, 224	mpan 670	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
226		subcl 9815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 - y ) e. CC )
227	151, 170, 226	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - y ) e. CC )
228	227	mul01d 9774	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - y ) x. 0 ) = 0 )
229	228	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) = ( 1 - 0 ) )
230	229, 56	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) = 1 )
231	230	fveq2d 5868	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) = ( F ` 1 ) )
232	225, 231	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 H y ) = ( F ` 1 ) )
233	8, 6	pco0 21249	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( G ` 0 ) )
234		oveq2 6290	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( 1 - x ) = ( 1 - 0 ) )
235	234, 56	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( 1 - x ) = 1 )
236	235	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` 1 ) )
237	236, 1, 205	fvmpt 5948	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
238	103, 237	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( G ` 0 ) = ( F ` 1 )
239	233, 238	syl6req 2525	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
240	232, 239	sylan9eqr 2530	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H y ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
241	37, 41	ltnlei 9701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
242	42, 241	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
243		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> s = 1 )
244	243	breq1d 4457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
245	242, 244	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> -. s <_ ( 1 / 2 ) )
246		iffalse 3948	. . . . . . . . . 10 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
247	245, 246	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
248		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> t = y )
249	248	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - y ) )
250	243	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. 1 ) )
251		2t1e2 10680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 1 ) = 2
252	250, 251	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = 2 )
253	252	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
254		2m1e1 10646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
255	253, 254	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = 1 )
256	255	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - 1 ) )
257	256, 11	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = 0 )
258	249, 257	oveq12d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( ( 1 - y ) x. 0 ) )
259	258	oveq2d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
260	247, 259	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
261	260	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
262	261, 30, 223	ovmpt2a 6415	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
263	9, 262	mpan 670	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
264	263, 231	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 H y ) = ( F ` 1 ) )
265	8, 6	pco1 21250	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
266	265	eqcomd 2475	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
267	264, 266	sylan9eqr 2530	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H y ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
268	17, 29, 101, 168, 209, 240, 267	isphtpy2d 21222	. 2 |- ( F e. ( II Cn J ) -> H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) )
269		ne0i 3791	. . . 4 |- ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) )
270	268, 269	syl 16	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) )
271		isphtpc 21229	. . 3 |- ( ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P <-> ( ( G ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) /\ P e. ( II Cn J ) /\ ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) ) )
272	17, 29, 270, 271	syl3anbrc 1180	. 2 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P )
273	268, 272	jca 532	1 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) /\ ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   ran crn 5000   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   x. cmul 9493   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   2c2 10581   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   ↾_t crest 14672   topGenctg 14689   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   Cn ccn 19491   tX ctx 19796   IIcii 21114   PHtpycphtpy 21203   ~=ph cphtpc 21204   *pcpco 21235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-ii 21116  df-htpy 21205  df-phtpy 21206  df-phtpc 21227  df-pco 21240

This theorem is referenced by:  pcorev  21262