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Theorem pcorevlem 21820
Description: Lemma for pcorev 21821. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev.1  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
pcorev.2  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } )
pcorevlem.3  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
pcorevlem  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( H  e.  ( ( G ( *p `  J ) F ) ( PHtpy `  J ) P )  /\  ( G ( *p `  J ) F ) (  ~=ph  `  J ) P ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, F    G, s, t    J, s, t, x    P, s, t, x
Allowed substitution hints:    G( x)    H( x, t, s)

Proof of Theorem pcorevlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev.1 . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  (
1  -  x ) ) )
2 iitopon 21677 . . . . . . 7  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
4 iirevcn 21724 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  x ) )  e.  ( II  Cn  II )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  x ) )  e.  ( II 
Cn  II ) )
6 id 23 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F  e.  ( II  Cn  J
) )
73, 5, 6cnmpt11f 20459 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  ( 1  -  x ) ) )  e.  ( II 
Cn  J ) )
81, 7syl5eqel 2496 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  G  e.  ( II  Cn  J
) )
9 1elunit 11695 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
10 oveq2 6288 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  1 ) )
11 1m1e0 10647 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1210, 11syl6eq 2461 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
1  -  x )  =  0 )
1312fveq2d 5855 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  ( 1  -  x ) )  =  ( F `  0
) )
14 fvex 5861 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  e. 
_V
1513, 1, 14fvmpt 5934 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
169, 15mp1i 13 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( G `  1 )  =  ( F ` 
0 ) )
178, 6, 16pcocn 21811 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( G ( *p `  J ) F )  e.  ( II  Cn  J ) )
18 cntop2 20037 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  J  e.  Top )
19 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
2019toptopon 19728 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2118, 20sylib 198 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
22 iiuni 21679 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
2322, 19cnf 20042 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
24 ffvelrn 6009 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  e.  U. J )
2523, 9, 24sylancl 662 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F `  1 )  e.  U. J )
26 pcorev.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } )
2726pcoptcl 21815 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  ( F `  1 )  e.  U. J )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  ( F `  1 )  /\  ( P ` 
1 )  =  ( F `  1 ) ) )
2821, 25, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P `  0 )  =  ( F ` 
1 )  /\  ( P `  1 )  =  ( F ` 
1 ) ) )
2928simp1d 1011 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  P  e.  ( II  Cn  J
) )
30 pcorevlem.3 . . . 4  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
31 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
32 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
33 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
34 dfii2 21680 . . . . . 6  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
35 0red 9629 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  0  e.  RR )
36 1red 9643 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  1  e.  RR )
37 halfre 10797 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
38 0re 9628 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
39 halfgt0 10799 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  2
)
4038, 37, 39ltleii 9741 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
41 1re 9627 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
42 halflt1 10800 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  <  1
4337, 41, 42ltleii 9741 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
4438, 41elicc2i 11646 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
4537, 40, 43, 44mpbir3an 1181 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
4645a1i 11 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
47 simprl 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  s  =  ( 1  / 
2 ) )
4847oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
2  x.  s )  =  ( 2  x.  ( 1  /  2
) ) )
49 2cn 10649 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
50 2ne0 10671 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
5149, 50recidi 10318 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
5248, 51syl6eq 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
2  x.  s )  =  1 )
5352oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 2  x.  s
)  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
5453, 11syl6eq 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 2  x.  s
)  -  1 )  =  0 )
5554oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) )  =  ( 1  -  0 ) )
56 1m0e1 10689 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  0 )  =  1
5755, 56syl6eq 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) )  =  1 )
5852, 57eqtr4d 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
2  x.  s )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )
5958oveq2d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( 2  x.  s ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  s
)  -  1 ) ) ) )
6059oveq2d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( s  =  ( 1  /  2 )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s ) ) )  =  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) )
61 retopon 21564 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
62 iccssre 11662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
6338, 37, 62mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
64 resttopon 19957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
6561, 63, 64mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
6766, 3cnmpt2nd 20464 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  t )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
68 oveq2 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  t ) )
6966, 3, 67, 3, 5, 68cnmpt21 20466 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  t ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
7066, 3cnmpt1st 20463 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  s )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  tX  II )  Cn  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) ) ) )
7132iihalf1cn 21726 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  x ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II )
7271a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  |->  ( 2  x.  x ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
73 oveq2 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  s ) )
7466, 3, 70, 66, 72, 73cnmpt21 20466 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 2  x.  s ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
75 iimulcn 21732 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  II )
7675a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x  x.  y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  II ) )
77 oveq12 6289 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( 1  -  t )  /\  y  =  ( 2  x.  s ) )  ->  ( x  x.  y )  =  ( ( 1  -  t
)  x.  ( 2  x.  s ) ) )
7866, 3, 69, 74, 3, 3, 76, 77cnmpt22 20469 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( 1  -  t
)  x.  ( 2  x.  s ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
79 oveq2 6288 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s
) )  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) ) )
8066, 3, 78, 3, 5, 79cnmpt21 20466 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s ) ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
81 iccssre 11662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
8237, 41, 81mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
83 resttopon 19957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
8461, 82, 83mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
8584a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
8685, 3cnmpt2nd 20464 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  t )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  tX  II )  Cn  II ) )
8785, 3, 86, 3, 5, 68cnmpt21 20466 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  t ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  tX  II )  Cn  II ) )
8885, 3cnmpt1st 20463 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  s )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  tX  II )  Cn  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) ) ) )
8933iihalf2cn 21728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  |->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  Cn  II )
9089a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  |->  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  Cn  II ) )
9173oveq1d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) )
9285, 3, 88, 85, 90, 91cnmpt21 20466 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  tX  II )  Cn  II ) )
93 oveq2 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( 2  x.  s )  - 
1 )  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )
9485, 3, 92, 3, 5, 93cnmpt21 20466 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  tX  II )  Cn  II ) )
95 oveq12 6289 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( 1  -  t )  /\  y  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )  ->  ( x  x.  y )  =  ( ( 1  -  t
)  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
9685, 3, 87, 94, 3, 3, 76, 95cnmpt22 20469 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( 1  -  t
)  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  tX  II )  Cn  II ) )
97 oveq2 6288 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  s
)  -  1 ) ) )  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) )
9885, 3, 96, 3, 5, 97cnmpt21 20466 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  tX  II )  Cn  II ) )
9931, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 3, 60, 80, 98cnmpt2pc 21722 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  II ) )
1003, 3, 99, 6cnmpt21f 20467 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
s  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
( 1  -  t
)  x.  ( 2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  s
)  -  1 ) ) ) ) ) ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
10130, 100syl5eqel 2496 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  H  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
102 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )
103 0elunit 11694 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
104 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  s  =  y )
105104breq1d 4407 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( s  <_ 
( 1  /  2
)  <->  y  <_  (
1  /  2 ) ) )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  t  =  0 )
107106oveq2d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( 1  -  t )  =  ( 1  -  0 ) )
108107, 56syl6eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( 1  -  t )  =  1 )
109104oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( 2  x.  s )  =  ( 2  x.  y ) )
110108, 109oveq12d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s
) )  =  ( 1  x.  ( 2  x.  y ) ) )
111110oveq2d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) )
112109oveq1d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  s )  - 
1 )  =  ( ( 2  x.  y
)  -  1 ) )
113112oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) )
114108, 113oveq12d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  s
)  -  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) ) ) )
115114oveq2d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )
116105, 111, 115ifbieq12d 3914 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) )  =  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y
) ) ) ,  ( 1  -  (
1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) ) ) ) ) )
117116fveq2d 5855 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  0 )  ->  ( F `  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( F `  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) ) )
118 fvex 5861 . . . . . 6  |-  ( F `
 if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) ) )  e.  _V
119117, 30, 118ovmpt2a 6416 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( y H 0 )  =  ( F `  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) ) )
120102, 103, 119sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( y H 0 )  =  ( F `  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) ) )
121 iftrue 3893 . . . . . . . 8  |-  ( y  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  (
2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y
) ) ) )
122121adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  y  <_ 
( 1  /  2
) )  ->  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  (
2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y
) ) ) )
123122fveq2d 5855 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  y  <_ 
( 1  /  2
) )  ->  ( F `  if (
y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( F `
 ( 1  -  ( 1  x.  (
2  x.  y ) ) ) ) )
124 elii1 21729 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  y  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1258, 6pcoval1 21807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( ( G ( *p `  J
) F ) `  y )  =  ( G `  ( 2  x.  y ) ) )
126 iihalf1 21725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
127126adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( 2  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
128 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 2  x.  y )  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  ( 2  x.  y
) ) )
129128fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 2  x.  y )  ->  ( F `  ( 1  -  x ) )  =  ( F `  (
1  -  ( 2  x.  y ) ) ) )
130 fvex 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( 1  -  ( 2  x.  y
) ) )  e. 
_V
131129, 1, 130fvmpt 5934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  ( 2  x.  y ) )  =  ( F `  (
1  -  ( 2  x.  y ) ) ) )
132 unitssre 11723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
133132sseli 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
2  x.  y )  e.  RR )
134133recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
135134mulid2d 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  y ) )  =  ( 2  x.  y ) )
136135oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y ) ) )  =  ( 1  -  ( 2  x.  y
) ) )
137136fveq2d 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  ( 1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y
) ) ) )  =  ( F `  ( 1  -  (
2  x.  y ) ) ) )
138131, 137eqtr4d 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  ( 2  x.  y ) )  =  ( F `  (
1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ) )
139127, 138syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( G `  ( 2  x.  y
) )  =  ( F `  ( 1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y
) ) ) ) )
140125, 139eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( ( G ( *p `  J
) F ) `  y )  =  ( F `  ( 1  -  ( 1  x.  ( 2  x.  y
) ) ) ) )
141124, 140sylan2br 476 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  <_  (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) F ) `  y )  =  ( F `  ( 1  -  (
1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ) )
142141anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  y  <_ 
( 1  /  2
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) F ) `  y )  =  ( F `  ( 1  -  (
1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ) )
143123, 142eqtr4d 2448 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  y  <_ 
( 1  /  2
) )  ->  ( F `  if (
y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J ) F ) `
 y ) )
144 iffalse 3896 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  (
2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) )
145144adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  -.  y  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  (
2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) )
146145fveq2d 5855 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  -.  y  <_  ( 1  /  2
) )  ->  ( F `  if (
y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( F `
 ( 1  -  ( 1  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) ) )
147 elii2 21730 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  y  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
1488, 6, 16pcoval2 21810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( (
1  /  2 ) [,] 1 ) )  ->  ( ( G ( *p `  J
) F ) `  y )  =  ( F `  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) )
149 iihalf2 21727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
150149adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( (
1  /  2 ) [,] 1 ) )  ->  ( ( 2  x.  y )  - 
1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
151 ax-1cn 9582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
152132sseli 3440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  RR )
153152recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  CC )
154 subcl 9857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  y )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )  e.  CC )
155151, 153, 154sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )  e.  CC )
156155mulid2d 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) )
157156oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  ( 1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) )
158 nncan 9886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  y )  -  1 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  y
)  -  1 ) )
159151, 153, 158sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) )
160157, 159eqtr2d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  y
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 1  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )
161150, 160syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( (
1  /  2 ) [,] 1 ) )  ->  ( ( 2  x.  y )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )
162161fveq2d 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( (
1  /  2 ) [,] 1 ) )  ->  ( F `  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )  =  ( F `  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) )
163148, 162eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( (
1  /  2 ) [,] 1 ) )  ->  ( ( G ( *p `  J
) F ) `  y )  =  ( F `  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) )
164147, 163sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  y  <_ 
( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( G ( *p `  J ) F ) `  y
)  =  ( F `
 ( 1  -  ( 1  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) ) )
165164anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  -.  y  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( G ( *p
`  J ) F ) `  y )  =  ( F `  ( 1  -  (
1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) ) ) ) ) )
166146, 165eqtr4d 2448 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  -.  y  <_  ( 1  /  2
) )  ->  ( F `  if (
y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
1  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( G ( *p `  J ) F ) `
 y ) )
167143, 166pm2.61dan 794 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  (
2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 1  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( G ( *p
`  J ) F ) `  y ) )
168120, 167eqtrd 2445 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( y H 0 )  =  ( ( G ( *p
`  J ) F ) `  y ) )
169132sseli 3440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  y  e.  RR )
170169recnd 9654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  y  e.  CC )
171 mulcl 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  y
)  e.  CC )
17249, 170, 171sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
173172adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 2  x.  y )  e.  CC )
174173mul02d 9814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  x.  ( 2  x.  y
) )  =  0 )
175174oveq2d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  ( 0  x.  (
2  x.  y ) ) )  =  ( 1  -  0 ) )
176175, 56syl6eq 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  ( 0  x.  (
2  x.  y ) ) )  =  1 )
177 subcl 9857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  y )  -  1 )  e.  CC )
178173, 151, 177sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 2  x.  y )  - 
1 )  e.  CC )
179151, 178, 154sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )  e.  CC )
180179mul02d 9814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) )  =  0 )
181180oveq2d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  ( 0  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  0 ) )
182181, 56syl6eq 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  ( 0  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) )  =  1 )
183176, 182ifeq12d 3907 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )  =  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  1 ,  1 ) )
184 ifid 3924 . . . . . 6  |-  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  1 ,  1 )  =  1
185183, 184syl6eq 2461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )  =  1 )
186185fveq2d 5855 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( F `  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  (
2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( F `  1 ) )
187 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  s  =  y )
188187breq1d 4407 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( s  <_ 
( 1  /  2
)  <->  y  <_  (
1  /  2 ) ) )
189 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  t  =  1 )
190189oveq2d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( 1  -  t )  =  ( 1  -  1 ) )
191190, 11syl6eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( 1  -  t )  =  0 )
192187oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( 2  x.  s )  =  ( 2  x.  y ) )
193191, 192oveq12d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s
) )  =  ( 0  x.  ( 2  x.  y ) ) )
194193oveq2d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) )  =  ( 1  -  ( 0  x.  ( 2  x.  y ) ) ) )
195192oveq1d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  s )  - 
1 )  =  ( ( 2  x.  y
)  -  1 ) )
196195oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) )  =  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) )
197191, 196oveq12d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  s
)  -  1 ) ) )  =  ( 0  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) ) ) )
198197oveq2d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( 0  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) )
199188, 194, 198ifbieq12d 3914 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) )  =  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  -  ( 0  x.  ( 2  x.  y
) ) ) ,  ( 1  -  (
0  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) ) ) ) ) )
200199fveq2d 5855 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  y  /\  t  =  1 )  ->  ( F `  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( F `  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
0  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) ) )
201 fvex 5861 . . . . . 6  |-  ( F `
 if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) ) ) ) )  e.  _V
202200, 30, 201ovmpt2a 6416 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( y H 1 )  =  ( F `  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
0  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) ) )
203102, 9, 202sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( y H 1 )  =  ( F `  if ( y  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  (
0  x.  ( 2  x.  y ) ) ) ,  ( 1  -  ( 0  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  y
)  -  1 ) ) ) ) ) ) )
20426fveq1i 5852 . . . . 5  |-  ( P `
 y )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
1 ) } ) `
 y )
205 fvex 5861 . . . . . . 7  |-  ( F `
 1 )  e. 
_V
206205fvconst2 6109 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  1
) } ) `  y )  =  ( F `  1 ) )
207206adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 1 ) } ) `  y )  =  ( F ` 
1 ) )
208204, 207syl5eq 2457 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( P `  y )  =  ( F `  1 ) )
209186, 203, 2083eqtr4d 2455 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( y H 1 )  =  ( P `  y ) )
210 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  s  =  0 )
211210, 40syl6eqbr 4434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  s  <_  (
1  /  2 ) )
212211iftrued 3895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  -  (
( 1  -  t
)  x.  ( 2  x.  s ) ) ) )
213 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  t  =  y )
214213oveq2d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  ( 1  -  t )  =  ( 1  -  y ) )
215210oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  ( 2  x.  s )  =  ( 2  x.  0 ) )
216 2t0e0 10734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
217215, 216syl6eq 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  ( 2  x.  s )  =  0 )
218214, 217oveq12d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s
) )  =  ( ( 1  -  y
)  x.  0 ) )
219218oveq2d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) )  =  ( 1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) ) )
220212, 219eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  -  (
( 1  -  y
)  x.  0 ) ) )
221220fveq2d 5855 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  0  /\  t  =  y )  ->  ( F `  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( F `  ( 1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) ) ) )
222 fvex 5861 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( 1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) ) )  e. 
_V
223221, 30, 222ovmpt2a 6416 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 H y )  =  ( F `  ( 1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) ) ) )
224103, 223mpan 670 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
0 H y )  =  ( F `  ( 1  -  (
( 1  -  y
)  x.  0 ) ) ) )
225 subcl 9857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  -  y
)  e.  CC )
226151, 170, 225sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  y )  e.  CC )
227226mul01d 9815 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( 1  -  y
)  x.  0 )  =  0 )
228227oveq2d 6296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) )  =  ( 1  -  0 ) )
229228, 56syl6eq 2461 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) )  =  1 )
230229fveq2d 5855 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( F `  ( 1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) ) )  =  ( F ` 
1 ) )
231224, 230eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
0 H y )  =  ( F ` 
1 ) )
2328, 6pco0 21808 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( G ( *p
`  J ) F ) `  0 )  =  ( G ` 
0 ) )
233 oveq2 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  ( 1  -  0 ) )
234233, 56syl6eq 2461 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
1  -  x )  =  1 )
235234fveq2d 5855 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  ( 1  -  x ) )  =  ( F `  1
) )
236235, 1, 205fvmpt 5934 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( G `  0 )  =  ( F ` 
1 ) )
237103, 236ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( G `
 0 )  =  ( F `  1
)
238232, 237syl6req 2462 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F `  1 )  =  ( ( G ( *p `  J
) F ) ` 
0 ) )
239231, 238sylan9eqr 2467 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 H y )  =  ( ( G ( *p
`  J ) F ) `  0 ) )
24037, 41ltnlei 9739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
24142, 240mpbi 210 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
242 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  s  =  1 )
243242breq1d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( s  <_ 
( 1  /  2
)  <->  1  <_  (
1  /  2 ) ) )
244241, 243mtbiri 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  -.  s  <_  ( 1  /  2 ) )
245244iffalsed 3898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  -  (
( 1  -  t
)  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) ) )
246 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  t  =  y )
247246oveq2d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( 1  -  t )  =  ( 1  -  y ) )
248242oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( 2  x.  s )  =  ( 2  x.  1 ) )
249 2t1e2 10727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
250248, 249syl6eq 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( 2  x.  s )  =  2 )
251250oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( ( 2  x.  s )  - 
1 )  =  ( 2  -  1 ) )
252 2m1e1 10693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  -  1 )  =  1
253251, 252syl6eq 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( ( 2  x.  s )  - 
1 )  =  1 )
254253oveq2d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) )  =  ( 1  -  1 ) )
255254, 11syl6eq 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) )  =  0 )
256247, 255oveq12d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  (
( 2  x.  s
)  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  -  y
)  x.  0 ) )
257256oveq2d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) ) )
258245, 257eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  -  (
( 1  -  y
)  x.  0 ) ) )
259258fveq2d 5855 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  1  /\  t  =  y )  ->  ( F `  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  (
2  x.  s ) ) ) ,  ( 1  -  ( ( 1  -  t )  x.  ( 1  -  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) ) ) )  =  ( F `  ( 1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) ) ) )
260259, 30, 222ovmpt2a 6416 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 H y )  =  ( F `  ( 1  -  ( ( 1  -  y )  x.  0 ) ) ) )
2619, 260mpan 670 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1 H y )  =  ( F `  ( 1  -  (
( 1  -  y
)  x.  0 ) ) ) )
262261, 230eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1 H y )  =  ( F ` 
1 ) )
2638, 6pco1 21809 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( G ( *p
`  J ) F ) `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
264263eqcomd 2412 . . . 4  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( F `  1 )  =  ( ( G ( *p `  J
) F ) ` 
1 ) )
265262, 264sylan9eqr 2467 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 H y )  =  ( ( G ( *p
`  J ) F ) `  1 ) )
26617, 29, 101, 168, 209, 239, 265isphtpy2d 21781 . 2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  H  e.  ( ( G ( *p `  J ) F ) ( PHtpy `  J ) P ) )
267 ne0i 3746 . . . 4  |-  ( H  e.  ( ( G ( *p `  J
) F ) (
PHtpy `  J ) P )  ->  ( ( G ( *p `  J ) F ) ( PHtpy `  J ) P )  =/=  (/) )
268266, 267syl 17 . . 3  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  (
( G ( *p
`  J ) F ) ( PHtpy `  J
) P )  =/=  (/) )
269 isphtpc 21788 . . 3  |-  ( ( G ( *p `  J ) F ) (  ~=ph  `  J ) P  <->  ( ( G ( *p `  J
) F )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  P  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( ( G ( *p `  J ) F ) ( PHtpy `  J ) P )  =/=  (/) ) )
27017, 29, 268, 269syl3anbrc 1183 . 2  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( G ( *p `  J ) F ) (  ~=ph  `  J ) P )
271266, 270jca 532 1  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  ( H  e.  ( ( G ( *p `  J ) F ) ( PHtpy `  J ) P )  /\  ( G ( *p `  J ) F ) (  ~=ph  `  J ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ifcif 3887   {csn 3974   U.cuni 4193   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455    X. cxp 4823   ran crn 4826   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    x. cmul 9529    < clt 9660    <_ cle 9661    - cmin 9843    / cdiv 10249   2c2 10628   (,)cioo 11584   [,]cicc 11587   ↾t crest 15037   topGenctg 15054   Topctop 19688  TopOnctopon 19689    Cn ccn 20020    tX ctx 20355   IIcii 21673   PHtpycphtpy 21762    ~=ph cphtpc 21763   *pcpco 21794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-ii 21675  df-htpy 21764  df-phtpy 21765  df-phtpc 21786  df-pco 21799
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