Theorem pcorevlem 20557

Description: Lemma for pcorev 20558. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcorev.1	|- G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
pcorev.2	|- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } )
pcorevlem.3	|- H = ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pcorevlem	|- ( F e. ( II Cn J ) -> ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) /\ ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P ) )

Distinct variable groups:   t, s, x, F   G, s, t   J, s, t, x   P, s, t, x

Allowed substitution hints:   G( x)   H( x, t, s)

Proof of Theorem pcorevlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev.1	. . . . 5 |- G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
2		iitopon 20414	. . . . . . 7 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
4		iirevcn 20461	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - x ) ) e. ( II Cn II )
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - x ) ) e. ( II Cn II ) )
6		id 22	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F e. ( II Cn J ) )
7	3, 5, 6	cnmpt11f 19196	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) ) e. ( II Cn J ) )
8	1, 7	syl5eqel 2525	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> G e. ( II Cn J ) )
9		1elunit 11400	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
10		oveq2 6098	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( 1 - x ) = ( 1 - 1 ) )
11		1m1e0 10386	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
12	10, 11	syl6eq 2489	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( 1 - x ) = 0 )
13	12	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` 0 ) )
14		fvex 5698	. . . . . 6 |- ( F ` 0 ) e. _V
15	13, 1, 14	fvmpt 5771	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
16	9, 15	mp1i 12	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
17	8, 6, 16	pcocn 20548	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
18		cntop2 18804	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. Top )
19		eqid 2441	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
20	19	toptopon 18497	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
21	18, 20	sylib 196	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
22		iiuni 20416	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
23	22, 19	cnf 18809	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
24		ffvelrn 5838	. . . . . 6 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
25	23, 9, 24	sylancl 657	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) e. U. J )
26		pcorev.2	. . . . . 6 |- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } )
27	26	pcoptcl 20552	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ ( F ` 1 ) e. U. J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) )
28	21, 25, 27	syl2anc 656	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) )
29	28	simp1d 995	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> P e. ( II Cn J ) )
30		pcorevlem.3	. . . 4 |- H = ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
31		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
32		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
33		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
34		dfii2 20417	. . . . . 6 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
35		0red 9383	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> 0 e. RR )
36		1red 9397	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> 1 e. RR )
37		halfre 10536	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. RR
38		0re 9382	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
39		halfgt0 10538	. . . . . . . . 9 |- 0 < ( 1 / 2 )
40	38, 37, 39	ltleii 9493	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
41		1re 9381	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
42		halflt1 10539	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) < 1
43	37, 41, 42	ltleii 9493	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
44	38, 41	elicc2i 11357	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
45	37, 40, 43, 44	mpbir3an 1165	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
46	45	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
47		simprl 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> s = ( 1 / 2 ) )
48	47	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
49		2cn 10388	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
50		2ne0 10410	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
51	49, 50	recidi 10058	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
52	48, 51	syl6eq 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = 1 )
53	52	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
54	53, 11	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = 0 )
55	54	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - 0 ) )
56		1m0e1 10428	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 0 ) = 1
57	55, 56	syl6eq 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = 1 )
58	52, 57	eqtr4d 2476	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. s ) = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
59	58	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
60	59	oveq2d 6106	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( s = ( 1 / 2 ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
61		retopon 20301	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
62		iccssre 11373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
63	38, 37, 62	mp2an 667	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
64		resttopon 18724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
65	61, 63, 64	mp2an 667	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
67	66, 3	cnmpt2nd 19201	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
68		oveq2 6098	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( 1 - x ) = ( 1 - t ) )
69	66, 3, 67, 3, 5, 68	cnmpt21 19203	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
70	66, 3	cnmpt1st 19200	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> s ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
71	32	iihalf1cn 20463	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
73		oveq2 6098	. . . . . . . . 9 |- ( x = s -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
74	66, 3, 70, 66, 72, 73	cnmpt21 19203	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. s ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
75		iimulcn 20469	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x x. y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II )
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x x. y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
77		oveq12 6099	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 1 - t ) /\ y = ( 2 x. s ) ) -> ( x x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) )
78	66, 3, 69, 74, 3, 3, 76, 77	cnmpt22 19206	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
79		oveq2 6098	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
80	66, 3, 78, 3, 5, 79	cnmpt21 19203	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
81		iccssre 11373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
82	37, 41, 81	mp2an 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
83		resttopon 18724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
84	61, 82, 83	mp2an 667	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
86	85, 3	cnmpt2nd 19201	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> t ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
87	85, 3, 86, 3, 5, 68	cnmpt21 19203	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - t ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
88	85, 3	cnmpt1st 19200	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> s ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
89	33	iihalf2cn 20465	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
91	73	oveq1d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( x = s -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
92	85, 3, 88, 85, 90, 91	cnmpt21 19203	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
93		oveq2 6098	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( 2 x. s ) - 1 ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
94	85, 3, 92, 3, 5, 93	cnmpt21 19203	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
95		oveq12 6099	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 1 - t ) /\ y = ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) -> ( x x. y ) = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
96	85, 3, 87, 94, 3, 3, 76, 95	cnmpt22 19206	. . . . . . 7 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
97		oveq2 6098	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
98	85, 3, 96, 3, 5, 97	cnmpt21 19203	. . . . . 6 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
99	31, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 3, 60, 80, 98	cnmpt2pc 20459	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
100	3, 3, 99, 6	cnmpt21f 19204	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( s e. ( 0 [,] 1 ) , t e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
101	30, 100	syl5eqel 2525	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> H e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
102		simpr 458	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> y e. ( 0 [,] 1 ) )
103		0elunit 11399	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
104		simpl 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> s = y )
105	104	breq1d 4299	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
106		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> t = 0 )
107	106	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - 0 ) )
108	107, 56	syl6eq 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - t ) = 1 )
109	104	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. y ) )
110	108, 109	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( 1 x. ( 2 x. y ) ) )
111	110	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
112	109	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
113	112	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
114	108, 113	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
115	114	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
116	105, 111, 115	ifbieq12d 3813	. . . . . . 7 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
117	116	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( ( s = y /\ t = 0 ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
118		fvex 5698	. . . . . 6 |- ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. _V
119	117, 30, 118	ovmpt2a 6220	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
120	102, 103, 119	sylancl 657	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
121		iftrue 3794	. . . . . . . 8 |- ( y <_ ( 1 / 2 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
122	121	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) )
123	122	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
124		elii1 20466	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) )
125	8, 6	pcoval1 20544	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( G ` ( 2 x. y ) ) )
126		iihalf1 20462	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) )
127	126	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) )
128		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 2 x. y ) -> ( 1 - x ) = ( 1 - ( 2 x. y ) ) )
129	128	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 2 x. y ) -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
130		fvex 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) e. _V
131	129, 1, 130	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
132		unitssre 11428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
133	132	sseli 3349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. RR )
134	133	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
135	134	mulid2d 9400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 x. ( 2 x. y ) ) = ( 2 x. y ) )
136	135	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. y ) ) )
137	136	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 2 x. y ) ) ) )
138	131, 137	eqtr4d 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. y ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
139	127, 138	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( G ` ( 2 x. y ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
140	125, 139	eqtrd 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
141	124, 140	sylan2br 473	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
142	141	anassrs 643	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) ) )
143	123, 142	eqtr4d 2476	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
144		iffalse 3796	. . . . . . . 8 |- ( -. y <_ ( 1 / 2 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
145	144	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
146	145	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
147		elii2 20467	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
148	8, 6, 16	pcoval2 20547	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
149		iihalf2 20464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
150	149	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
151		ax-1cn 9336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
152	132	sseli 3349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. RR )
153	152	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
154		subcl 9605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
155	151, 153, 154	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
156	155	mulid2d 9400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
157	156	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
158		nncan 9634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
159	151, 153, 158	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
160	157, 159	eqtr2d 2474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
161	150, 160	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
162	161	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( F ` ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
163	148, 162	eqtrd 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
164	147, 163	sylan2 471	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
165	164	anassrs 643	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) = ( F ` ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
166	146, 165	eqtr4d 2476	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. y <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
167	143, 166	pm2.61dan 784	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 1 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 1 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
168	120, 167	eqtrd 2473	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 0 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` y ) )
169	132	sseli 3349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. RR )
170	169	recnd 9408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> y e. CC )
171		mulcl 9362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
172	49, 170, 171	sylancr 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
173	172	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
174	173	mul02d 9563	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 x. ( 2 x. y ) ) = 0 )
175	174	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) = ( 1 - 0 ) )
176	175, 56	syl6eq 2489	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) = 1 )
177		subcl 9605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. y ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
178	173, 151, 177	sylancl 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) e. CC )
179	151, 178, 154	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. CC )
180	179	mul02d 9563	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) = 0 )
181	180	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - 0 ) )
182	181, 56	syl6eq 2489	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) = 1 )
183	176, 182	ifeq12d 3806	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 1 , 1 ) )
184		ifid 3823	. . . . . 6 |- if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 1 , 1 ) = 1
185	183, 184	syl6eq 2489	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) = 1 )
186	185	fveq2d 5692	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` 1 ) )
187		simpl 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> s = y )
188	187	breq1d 4299	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> y <_ ( 1 / 2 ) ) )
189		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> t = 1 )
190	189	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - 1 ) )
191	190, 11	syl6eq 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - t ) = 0 )
192	187	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. y ) )
193	191, 192	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( 0 x. ( 2 x. y ) ) )
194	193	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) )
195	192	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
196	195	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) )
197	191, 196	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) )
198	197	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) )
199	188, 194, 198	ifbieq12d 3813	. . . . . . 7 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) )
200	199	fveq2d 5692	. . . . . 6 |- ( ( s = y /\ t = 1 ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
201		fvex 5698	. . . . . 6 |- ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) e. _V
202	200, 30, 201	ovmpt2a 6220	. . . . 5 |- ( ( y e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
203	102, 9, 202	sylancl 657	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( F ` if ( y <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( 0 x. ( 2 x. y ) ) ) , ( 1 - ( 0 x. ( 1 - ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) ) ) ) )
204	26	fveq1i 5689	. . . . 5 |- ( P ` y ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y )
205		fvex 5698	. . . . . . 7 |- ( F ` 1 ) e. _V
206	205	fvconst2 5930	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y ) = ( F ` 1 ) )
207	206	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 1 ) } ) ` y ) = ( F ` 1 ) )
208	204, 207	syl5eq 2485	. . . 4 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( P ` y ) = ( F ` 1 ) )
209	186, 203, 208	3eqtr4d 2483	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( y H 1 ) = ( P ` y ) )
210		simpl 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> s = 0 )
211	210, 40	syl6eqbr 4326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> s <_ ( 1 / 2 ) )
212		iftrue 3794	. . . . . . . . . 10 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
213	211, 212	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) )
214		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> t = y )
215	214	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - y ) )
216	210	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. 0 ) )
217		2t0e0 10473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 0 ) = 0
218	216, 217	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = 0 )
219	215, 218	oveq12d 6108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) = ( ( 1 - y ) x. 0 ) )
220	219	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
221	213, 220	eqtrd 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
222	221	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( ( s = 0 /\ t = y ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
223		fvex 5698	. . . . . . 7 |- ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) e. _V
224	222, 30, 223	ovmpt2a 6220	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
225	103, 224	mpan 665	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
226		subcl 9605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ y e. CC ) -> ( 1 - y ) e. CC )
227	151, 170, 226	sylancr 658	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - y ) e. CC )
228	227	mul01d 9564	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - y ) x. 0 ) = 0 )
229	228	oveq2d 6106	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) = ( 1 - 0 ) )
230	229, 56	syl6eq 2489	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) = 1 )
231	230	fveq2d 5692	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) = ( F ` 1 ) )
232	225, 231	eqtrd 2473	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 H y ) = ( F ` 1 ) )
233	8, 6	pco0 20545	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( G ` 0 ) )
234		oveq2 6098	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( 1 - x ) = ( 1 - 0 ) )
235	234, 56	syl6eq 2489	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( 1 - x ) = 1 )
236	235	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( F ` ( 1 - x ) ) = ( F ` 1 ) )
237	236, 1, 205	fvmpt 5771	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( G ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
238	103, 237	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( G ` 0 ) = ( F ` 1 )
239	233, 238	syl6req 2490	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
240	232, 239	sylan9eqr 2495	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H y ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
241	37, 41	ltnlei 9491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
242	42, 241	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
243		simpl 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> s = 1 )
244	243	breq1d 4299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( s <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
245	242, 244	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> -. s <_ ( 1 / 2 ) )
246		iffalse 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
247	245, 246	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) )
248		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> t = y )
249	248	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - y ) )
250	243	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = ( 2 x. 1 ) )
251		2t1e2 10466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 1 ) = 2
252	250, 251	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 2 x. s ) = 2 )
253	252	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
254		2m1e1 10432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
255	253, 254	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) = 1 )
256	255	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = ( 1 - 1 ) )
257	256, 11	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) = 0 )
258	249, 257	oveq12d 6108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( ( 1 - y ) x. 0 ) )
259	258	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
260	247, 259	eqtrd 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) = ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) )
261	260	fveq2d 5692	. . . . . . 7 |- ( ( s = 1 /\ t = y ) -> ( F ` if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 2 x. s ) ) ) , ( 1 - ( ( 1 - t ) x. ( 1 - ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) ) ) ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
262	261, 30, 223	ovmpt2a 6220	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
263	9, 262	mpan 665	. . . . 5 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 H y ) = ( F ` ( 1 - ( ( 1 - y ) x. 0 ) ) ) )
264	263, 231	eqtrd 2473	. . . 4 |- ( y e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 H y ) = ( F ` 1 ) )
265	8, 6	pco1 20546	. . . . 5 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
266	265	eqcomd 2446	. . . 4 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ` 1 ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
267	264, 266	sylan9eqr 2495	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H y ) = ( ( G ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
268	17, 29, 101, 168, 209, 240, 267	isphtpy2d 20518	. 2 |- ( F e. ( II Cn J ) -> H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) )
269		ne0i 3640	. . . 4 |- ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) )
270	268, 269	syl 16	. . 3 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) )
271		isphtpc 20525	. . 3 |- ( ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P <-> ( ( G ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) /\ P e. ( II Cn J ) /\ ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) =/= (/) ) )
272	17, 29, 270, 271	syl3anbrc 1167	. 2 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P )
273	268, 272	jca 529	1 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( H e. ( ( G ( *p ` J ) F ) ( PHtpy ` J ) P ) /\ ( G ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   ran crn 4837   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   2c2 10367   (,)cioo 11296   [,]cicc 11299   ↾_t crest 14355   topGenctg 14372   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   Cn ccn 18787   tX ctx 19092   IIcii 20410   PHtpycphtpy 20499   ~=ph cphtpc 20500   *pcpco 20531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-ii 20412  df-htpy 20501  df-phtpy 20502  df-phtpc 20523  df-pco 20536

This theorem is referenced by:  pcorev  20558