Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcorevlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pcorevlem 22135
 Description: Lemma for pcorev 22136. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev.1
pcorev.2
pcorevlem.3
Assertion
Ref Expression
pcorevlem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)

Proof of Theorem pcorevlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev.1 . . . . 5
2 iitopon 21989 . . . . . . 7 TopOn
32a1i 11 . . . . . 6 TopOn
4 iirevcn 22036 . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6
6 id 22 . . . . . 6
73, 5, 6cnmpt11f 20756 . . . . 5
81, 7syl5eqel 2553 . . . 4
9 1elunit 11777 . . . . 5
10 oveq2 6316 . . . . . . . 8
11 1m1e0 10700 . . . . . . . 8
1210, 11syl6eq 2521 . . . . . . 7
1312fveq2d 5883 . . . . . 6
14 fvex 5889 . . . . . 6
1513, 1, 14fvmpt 5963 . . . . 5
169, 15mp1i 13 . . . 4
178, 6, 16pcocn 22126 . . 3
18 cntop2 20334 . . . . . 6
19 eqid 2471 . . . . . . 7
2019toptopon 20025 . . . . . 6 TopOn
2118, 20sylib 201 . . . . 5 TopOn
22 iiuni 21991 . . . . . . 7
2322, 19cnf 20339 . . . . . 6
24 ffvelrn 6035 . . . . . 6
2523, 9, 24sylancl 675 . . . . 5
26 pcorev.2 . . . . . 6
2726pcoptcl 22130 . . . . 5 TopOn
2821, 25, 27syl2anc 673 . . . 4
2928simp1d 1042 . . 3
30 pcorevlem.3 . . . 4
31 eqid 2471 . . . . . 6
32 eqid 2471 . . . . . 6 t t
33 eqid 2471 . . . . . 6 t t
34 dfii2 21992 . . . . . 6 t
35 0red 9662 . . . . . 6
36 1red 9676 . . . . . 6
37 halfre 10851 . . . . . . . 8
38 0re 9661 . . . . . . . . 9
39 halfgt0 10853 . . . . . . . . 9
4038, 37, 39ltleii 9775 . . . . . . . 8
41 1re 9660 . . . . . . . . 9
42 halflt1 10854 . . . . . . . . 9
4337, 41, 42ltleii 9775 . . . . . . . 8
4438, 41elicc2i 11725 . . . . . . . 8
4537, 40, 43, 44mpbir3an 1212 . . . . . . 7
4645a1i 11 . . . . . 6
47 simprl 772 . . . . . . . . . . 11
4847oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
49 2cn 10702 . . . . . . . . . . 11
50 2ne0 10724 . . . . . . . . . . 11
5149, 50recidi 10360 . . . . . . . . . 10
5248, 51syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
5352oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
5453, 11syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
5554oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
56 1m0e1 10742 . . . . . . . . . 10
5755, 56syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
5852, 57eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
5958oveq2d 6324 . . . . . . 7
6059oveq2d 6324 . . . . . 6
61 retopon 21862 . . . . . . . . 9 TopOn
62 iccssre 11741 . . . . . . . . . 10
6338, 37, 62mp2an 686 . . . . . . . . 9
64 resttopon 20254 . . . . . . . . 9 TopOn t TopOn
6561, 63, 64mp2an 686 . . . . . . . 8 t TopOn
6665a1i 11 . . . . . . 7 t TopOn
6766, 3cnmpt2nd 20761 . . . . . . . . 9 t
68 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
6966, 3, 67, 3, 5, 68cnmpt21 20763 . . . . . . . 8 t
7066, 3cnmpt1st 20760 . . . . . . . . 9 t t
7132iihalf1cn 22038 . . . . . . . . . 10 t
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 t
73 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
7466, 3, 70, 66, 72, 73cnmpt21 20763 . . . . . . . 8 t
75 iimulcn 22044 . . . . . . . . 9
7675a1i 11 . . . . . . . 8
77 oveq12 6317 . . . . . . . 8
7866, 3, 69, 74, 3, 3, 76, 77cnmpt22 20766 . . . . . . 7 t
79 oveq2 6316 . . . . . . 7
8066, 3, 78, 3, 5, 79cnmpt21 20763 . . . . . 6 t
81 iccssre 11741 . . . . . . . . . 10
8237, 41, 81mp2an 686 . . . . . . . . 9
83 resttopon 20254 . . . . . . . . 9 TopOn t TopOn
8461, 82, 83mp2an 686 . . . . . . . 8 t TopOn
8584a1i 11 . . . . . . 7 t TopOn
8685, 3cnmpt2nd 20761 . . . . . . . . 9 t
8785, 3, 86, 3, 5, 68cnmpt21 20763 . . . . . . . 8 t
8885, 3cnmpt1st 20760 . . . . . . . . . 10 t t
8933iihalf2cn 22040 . . . . . . . . . . 11 t
9089a1i 11 . . . . . . . . . 10 t
9173oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
9285, 3, 88, 85, 90, 91cnmpt21 20763 . . . . . . . . 9 t
93 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
9485, 3, 92, 3, 5, 93cnmpt21 20763 . . . . . . . 8 t
95 oveq12 6317 . . . . . . . 8
9685, 3, 87, 94, 3, 3, 76, 95cnmpt22 20766 . . . . . . 7 t
97 oveq2 6316 . . . . . . 7
9885, 3, 96, 3, 5, 97cnmpt21 20763 . . . . . 6 t
9931, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 3, 60, 80, 98cnmpt2pc 22034 . . . . 5
1003, 3, 99, 6cnmpt21f 20764 . . . 4
10130, 100syl5eqel 2553 . . 3
102 simpr 468 . . . . 5
103 0elunit 11776 . . . . 5
104 simpl 464 . . . . . . . . 9
105104breq1d 4405 . . . . . . . 8
106 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
107106oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
108107, 56syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
109104oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
110108, 109oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
111110oveq2d 6324 . . . . . . . 8
112109oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
113112oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
114108, 113oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
115114oveq2d 6324 . . . . . . . 8
116105, 111, 115ifbieq12d 3899 . . . . . . 7
117116fveq2d 5883 . . . . . 6
118 fvex 5889 . . . . . 6
119117, 30, 118ovmpt2a 6446 . . . . 5
120102, 103, 119sylancl 675 . . . 4
121 iftrue 3878 . . . . . . . 8
122121adantl 473 . . . . . . 7
123122fveq2d 5883 . . . . . 6
124 elii1 22041 . . . . . . . 8
1258, 6pcoval1 22122 . . . . . . . . 9
126 iihalf1 22037 . . . . . . . . . . 11
127126adantl 473 . . . . . . . . . 10
128 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13
129128fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
130 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
131129, 1, 130fvmpt 5963 . . . . . . . . . . 11
132 unitssre 11805 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133132sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
135134mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13
136135oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
137136fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
138131, 137eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
139127, 138syl 17 . . . . . . . . 9
140125, 139eqtrd 2505 . . . . . . . 8
141124, 140sylan2br 484 . . . . . . 7
142141anassrs 660 . . . . . 6
143123, 142eqtr4d 2508 . . . . 5
144 iffalse 3881 . . . . . . . 8
145144adantl 473 . . . . . . 7
146145fveq2d 5883 . . . . . 6
147 elii2 22042 . . . . . . . 8
1488, 6, 16pcoval2 22125 . . . . . . . . 9
149 iihalf2 22039 . . . . . . . . . . . 12
150149adantl 473 . . . . . . . . . . 11
151 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . 15
152132sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153152recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15
154 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . 15
155151, 153, 154sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14
156155mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13
157156oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
158 nncan 9923 . . . . . . . . . . . . 13
159151, 153, 158sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12
160157, 159eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . 11
161150, 160syl 17 . . . . . . . . . 10
162161fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
163148, 162eqtrd 2505 . . . . . . . 8
164147, 163sylan2 482 . . . . . . 7
165164anassrs 660 . . . . . 6
166146, 165eqtr4d 2508 . . . . 5
167143, 166pm2.61dan 808 . . . 4
168120, 167eqtrd 2505 . . 3
169132sseli 3414 . . . . . . . . . . . . 13
170169recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
171 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . 12
17249, 170, 171sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
173172adantl 473 . . . . . . . . . 10
174173mul02d 9849 . . . . . . . . 9
175174oveq2d 6324 . . . . . . . 8
176175, 56syl6eq 2521 . . . . . . 7
177 subcl 9894 . . . . . . . . . . . 12
178173, 151, 177sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
179151, 178, 154sylancr 676 . . . . . . . . . 10
180179mul02d 9849 . . . . . . . . 9
181180oveq2d 6324 . . . . . . . 8
182181, 56syl6eq 2521 . . . . . . 7
183176, 182ifeq12d 3892 . . . . . 6
184 ifid 3909 . . . . . 6
185183, 184syl6eq 2521 . . . . 5
186185fveq2d 5883 . . . 4
187 simpl 464 . . . . . . . . 9
188187breq1d 4405 . . . . . . . 8
189 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
190189oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
191190, 11syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
192187oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
193191, 192oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
194193oveq2d 6324 . . . . . . . 8
195192oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
196195oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
197191, 196oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
198197oveq2d 6324 . . . . . . . 8
199188, 194, 198ifbieq12d 3899 . . . . . . 7
200199fveq2d 5883 . . . . . 6
201 fvex 5889 . . . . . 6
202200, 30, 201ovmpt2a 6446 . . . . 5
203102, 9, 202sylancl 675 . . . 4
20426fveq1i 5880 . . . . 5
205 fvex 5889 . . . . . . 7
206205fvconst2 6136 . . . . . 6
207206adantl 473 . . . . 5
208204, 207syl5eq 2517 . . . 4
209186, 203, 2083eqtr4d 2515 . . 3
210 simpl 464 . . . . . . . . . . 11
211210, 40syl6eqbr 4433 . . . . . . . . . 10
212211iftrued 3880 . . . . . . . . 9
213 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
214213oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
215210oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
216 2t0e0 10788 . . . . . . . . . . . 12
217215, 216syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
218214, 217oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
219218oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
220212, 219eqtrd 2505 . . . . . . . 8
221220fveq2d 5883 . . . . . . 7
222 fvex 5889 . . . . . . 7
223221, 30, 222ovmpt2a 6446 . . . . . 6
224103, 223mpan 684 . . . . 5
225 subcl 9894 . . . . . . . . . 10
226151, 170, 225sylancr 676 . . . . . . . . 9
227226mul01d 9850 . . . . . . . 8
228227oveq2d 6324 . . . . . . 7
229228, 56syl6eq 2521 . . . . . 6
230229fveq2d 5883 . . . . 5
231224, 230eqtrd 2505 . . . 4
2328, 6pco0 22123 . . . . 5
233 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
234233, 56syl6eq 2521 . . . . . . . 8
235234fveq2d 5883 . . . . . . 7
236235, 1, 205fvmpt 5963 . . . . . 6
237103, 236ax-mp 5 . . . . 5
238232, 237syl6req 2522 . . . 4
239231, 238sylan9eqr 2527 . . 3
24037, 41ltnlei 9773 . . . . . . . . . . . 12
24142, 240mpbi 213 . . . . . . . . . . 11
242 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12
243242breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11
244241, 243mtbiri 310 . . . . . . . . . 10
245244iffalsed 3883 . . . . . . . . 9
246 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
247246oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
248242oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
249 2t1e2 10781 . . . . . . . . . . . . . . . 16
250248, 249syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15
251250oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
252 2m1e1 10746 . . . . . . . . . . . . . 14
253251, 252syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13
254253oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
255254, 11syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
256247, 255oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
257256oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
258245, 257eqtrd 2505 . . . . . . . 8
259258fveq2d 5883 . . . . . . 7
260259, 30, 222ovmpt2a 6446 . . . . . 6
2619, 260mpan 684 . . . . 5
262261, 230eqtrd 2505 . . . 4
2638, 6pco1 22124 . . . . 5
264263eqcomd 2477 . . . 4
265262, 264sylan9eqr 2527 . . 3
26617, 29, 101, 168, 209, 239, 265isphtpy2d 22096 . 2
267 ne0i 3728 . . . 4
268266, 267syl 17 . . 3
269 isphtpc 22103 . . 3
27017, 29, 268, 269syl3anbrc 1214 . 2
271266, 270jca 541 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   wss 3390  c0 3722  cif 3872  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  c2 10681  cioo 11660  cicc 11663   ↾t crest 15397  ctg 15414  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ctx 20652  cii 21985  cphtpy 22077   cphtpc 22078  cpco 22109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-ii 21987  df-htpy 22079  df-phtpy 22080  df-phtpc 22101  df-pco 22114 This theorem is referenced by:  pcorev  22136
 Copyright terms: Public domain W3C validator